第十六讲希尔伯特变换和解析过程

1、 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法窄带随机过程表示方法 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带正弦信号与窄带SPSP之和的包络和相位的特性之和的包络和相位的特性2022-3-172( )x t1 希尔伯特变换希尔伯特变换 ，其希尔伯特，其希尔伯

2、特 )(tx)(txH 设有一个实值函数设有一个实值函数（或记作（或记作 ）变换记作变换记作( )x t1( )( )( )xx tH x tdt反变换为反变换为11( )( )( )xx tHx tdt 希尔伯特希尔伯特2022-3-173 t1()1()( )1()1()( )x tx tx tddx tx tx tdd 2022-3-1742022-3-1741( )( )1( )( )*()xxx tddx tttt( )x t( )x t希尔伯特变换希尔伯特变换 正交滤波器正交滤波器 由由 可知，可知， 的希尔伯特变换看成是：将的希尔伯特变换看成是：将 通过一个具有冲通过一个具有冲击

3、响应为击响应为 的线性滤波器（时不变系统）的线性滤波器（时不变系统） 。( )1/h tt2022-3-1752022-3-175希尔伯特变换的冲击响应及传递函数希尔伯特变换的冲击响应及传递函数01( )()sgn( )0HHjhtHjjjt 证明：由对称性性质可知，若证明：由对称性性质可知，若 ，则，则)()(jFtf)(2)(fjtF因为因为jt2)sgn(，所以，所以)sgn(2)sgn(22jt整理得：整理得：1( )()sgn( )HHhtHjjt 2022-3-1762022-3-176002( )|( )| 1( )002jHHj 正交滤波器的传输函数正交滤波器的传输函数2022

4、-3-1772022-3-177希尔伯特逆变换希尔伯特逆变换11()1( )( )* ( ) x tx tHx tdx tt 11( )Hhtt 为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。 证明：证明： 若输入信号为若输入信号为 ( )( )*( )Hx tx tht通过一个滤波器通过一个滤波器 1( )Hht输出为输出为 11( )( )*( )( )*( )*( )HHHx tx thtx ththt显然有显然有1()()1HHHjHj所以所以 111()sgn( )()sgn( )HHHjjHjj反变换反变换 111( )()sgn( ) HHhtHjjt 2022

5、-3-1782022-3-1792022-3-1710可见，若可见，若x(t)x(t)若为若为t t的偶函数，则的偶函数，则 为为t t的奇函数。的奇函数。同理，可见，若同理，可见，若x(t)x(t)若为若为t t的奇函数，则的奇函数，则 为为t t的偶函数。的偶函数。( )x t( )x t2022-3-17112022-3-1712 1. 的希尔伯特变换为的希尔伯特变换为 。( )X t( )X t连续两次希尔伯特变换相当于连续两次连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相度相移，正好移，正好180度相反。度相反。1( )( )( )XH X tdX tt 希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的

6、性质2022-3-17132022-3-17142022-3-17152 解析过程及其性质解析过程及其性质 定义任一实随机过程定义任一实随机过程 ， 是是 的希尔伯特变换的希尔伯特变换, , 即即 ( )X t( )X t( )X t复复随机过程定义为随机过程定义为 ( )( )( )X tX tjX t为实随机过程为实随机过程 的复解析过程，简称的复解析过程，简称解析过程解析过程。( )X t( )X tdtXtXHtX)(1)()(2022-3-1716解析过程的性质解析过程的性质（1）若）若 为实平稳随机过程，则为实平稳随机过程，则 也是实随也是实随 机平稳过程，且联合平稳。机平稳过程，

7、且联合平稳。( )X t( )X t 因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。平稳。 2022-3-1717（2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同( )( )* ( )X tX th t2( )( )()( )XXXSSH jS2()1)H j经傅里叶反变换，得经傅里叶反变换，得( )( )XXRR( )( ),( )( )XXXXRRSS2022-3-1718（3）( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )(

8、)()XXRE X t X t代入代入 1( )( )XX tdt1( )( )()XXXREdX ttt令令 1()()( )XXX tX tREd11()()E X tX td()1( )XXRdR 将将 2022-3-1719（4）( )( )XXXXRR ( )( )XXXRR ( )( )XXXRR( )( )XXXXRR 2022-3-1720（5）()( )XXXXRR ()( )XXXXRR 1( )()( )()()XXXRE X t X tEdX tt令令 并作变量替换并作变量替换t()()1()XXE X tX tRd()()11XXRRdd ( )( )XXXRR 希尔

9、伯特变换与它的原实过程之间的希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数互相关函数为奇函数2022-3-1721（6）(0)0XXR()( )XXXXRR (0)0XXR(0)(0)XXXXRR 表明在同一个时刻表明在同一个时刻t，随机变量，随机变量 和和 正交，即正交，即注意，上式并不意味着注意，上式并不意味着 和和 两个随机过程正交。两个随机过程正交。tXtXtXtX0ttXXE2022-3-1722（7）( )2( )( )2( )( )XXXXXXRRjRRjR( )( ) () ( )( ) ()()( )( )( )( )2( )( )XXXXXXXXXXRE X t X t

10、E X tjX tX tjX tRRj RRRjR2022-3-1723（8）( )0( )( )0XXXXjSSjS由性质由性质（3）可知，可知， ( )( )( )*( )XXHXXRRRh两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换 ( )sgn( )( )XXXSjS ( )0( )( )0XXXXjSSjS2022-3-1724（9）4( )0( )00XXSS由性质由性质（7）可知，可知， ( )2( )( )XXXXRRjR两边取傅里叶变换两边取傅里叶变换 ( )2( )( )2( )sgn( )( )2( )sgn( )( )4( )000XXXXXXXXXSSjSSjjSSSS解析过程的

11、功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率解析过程的功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的4倍。倍。2022-3-1725 ( )XS 4( )XS012022-3-17262022-3-17261( ) ( )()( )X ttjX tt1( )()1sgn( )2 ( )tjjjut ( )u将解析信号表达式进行变换：将解析信号表达式进行变换：而而式中：式中： 是频域的单位阶跃函数，因此是频域的单位阶跃函数，因此 如果如果 是平稳随机信号，则解析信号是随机的，是平稳随机信号，则解析信号是随机的，其频

12、谱为：其频谱为：( )X t2( ) 0( )( )2 ( )0 0XXXu 解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正解析信号本质是原信号的正频率部分，为原信号频谱正频域分量的两倍。它是实信号的一种频域分量的两倍。它是实信号的一种“简洁简洁”形式。形式。研究解析信号的意义研究解析信号的意义2022-3-17272022-3-1727实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时频率( )( )( )X tX tjX t22( )( )( )( )A tX tXtXt( )( )arctan( )X ttX t( )( )dttdt包络，瞬时振幅包络，瞬时振幅瞬时相

13、位瞬时相位瞬时频率瞬时频率2022-3-17282022-3-1728Matlab实例clc;clear all;n=0:1:50;a=0.1;x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) %信x的表达式y=hilbert(x);z=x+j*y;rz=real(z);iz=imag(z);A=sqrt(abs(x).2+abs(y).2); %求信号x的包络，瞬时振幅subplot(2,2,1);plot(x);title(信号x(t)subplot(2,2,2);plot(A);title(信号x(t)的包络)thet=atan(iz./rz); %求信号x的瞬时相位subplot(2,2,3);plot(thet);title(信号x(t)的瞬时相位)2022-3-17292022-3-17292022-3-1730例例 设低频信号设低频信号 的频谱为的频谱为( )|2( )0AA其他)(ta证明：当证明：当 时，满足时，满足20ttattaHttattaH0000cos)(sin)(sin)(cos)(2022-3-1731设设证证其频谱为：其频谱为：ttats0cos)()(0)(210)(21)()(21)(0000AAAAS其希尔伯特变换的频谱密度为：其希尔伯特变换的频谱密度为：0000( )sgn( ) ( ) ()()2( )( )s