高中数学函数的单调性与最值习题及详解

1、高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1已知f(x)xx3，xa，b，且f(a)·f(b)<0，则f(x)0在a，b内()A至少有一实数根 B至多有一实数根C没有实数根 D有唯一实数根答案D解析函数f(x)在a，b上是单调减函数，又f(a)，f(b)异号f(x)在a，b内有且仅有一个零点，故选D.2(2010·北京文)给定函数yx，ylog(x1)，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A BC D答案B解析易知yx在(0,1)递增，故排除A、D选项；又ylog(x1)的图象是由ylogx的图象向左平移一个单位得到的，

2、其单调性与ylogx相同为递减的，所以符合题意，故选B.3(2010·济南市模拟)设y10.4，y20.5，y30.5，则()Ay3<y2<y1 By1<y2<y3Cy2<y3<y1 Dy1<y3<y2答案B解析y0.5x为减函数，0.5<0.5，yx在第一象限内是增函数，0.4<0.5，y1<y2<y3，故选B.4(2010·广州市)已知函数，若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A(1,2) B(2,3)C(2,3 D(2，)答案C解析f(x)在R上单调增，2<a3，故选C.5

3、(文)(2010·山东济宁)若函数f(x)x22xalnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba0Ca4 Da4答案D解析函数f(x)x22xalnx在(0,1)上单调递减，当x(0,1)时，f (x)2x20，g(x)2x22xa0在x(0,1)时恒成立，g(0)0，g(1)0，即a4.(理)已知函数ytanx在内是减函数，则的取值范围是()A0<1 B1<0C1 D1答案B解析tanx在上是减函数，<0.当<x<时，有<x<，1<0.6(2010·天津文)设alog54，b(log53)2，clog4

4、5，则()Aacb BbcaCabc Dbac答案D解析1>log54>log53>0，log53>(log53)2>0，而log45>1，c>a>b.7若f(x)x36ax的单调递减区间是(2,2)，则a的取值范围是()A(，0 B2,2C2 D2，)答案C解析f (x)3x26a，若a0，则f (x)0，f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f (x)0得x±，当x<和x>时，f (x)>0，f(x)单调增，当<x<时，f(x)单调减，f(x)的单调减区间为(，)，从而2，a2.点评f(x)的单调

5、递减区间是(2,2)和f(x)在(2，2)上单调递减是不同的，应加以区分8(文)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f()0，则适合不等式f(logx)>0的x的取值范围是()A(3，) B(0，)C(0，) D(0，)(3，)答案D解析定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f()0，则由f(logx)>0，得|logx|>，即logx>或logx<.选D.(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x0和x1，且在x1,0上f(x)单调递增，设af(3)，bf()，cf(2)，则a、b、c的大小关系是()Aa>

6、b>c Ba>c>bCb>c>a Dc>b>a答案D解析f(x)在1,0上单调增，f(x)的图象关于直线x0对称，f(x)在0,1上单调减；又f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)在1,2上单调增，在2,3上单调减由对称性f(3)f(1)f(1)<f()<f(2)，即a<b<c.9(2009·天津高考)已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案C解析x0时，f(x)x24x(x2)24单调递增，且f(x)0；当x<0时，f(x

7、)4xx2(x2)24单调递增，且f(x)<0，f(x)在R上单调递增，由f(2a2)>f(a)得2a2>a，2<a<1.10(2010·泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在a，b上有()A最小值f(a)B最大值f(b)C最小值f(b)D最大值f答案C解析令xy0得，f(0)0，令yx得，f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)对任意x1，x2R且x1<x2，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)>0，f(x1)>f(x2)，f(x)在

8、R上是减函数，f(x)在a，b上最小值为f(b)二、填空题11(2010·重庆中学)已知函数f(x)ax4(a，b为常数)，f(lg2)0，则f(lg)_.答案8解析令(x)ax，则(x)为奇函数，f(x)(x)4，f(lg2)(lg2)40，(lg2)4，f(lg)f(lg2)(lg2)4(lg2)48.12偶函数f(x)在(，0上单调递减，且f(x)在2，k上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k_.答案3解析偶函数f(x)在(，0上单调递减，f(x)在0，)上单调递增因此，若k0，则k(2)k2<3，若k>0，f(x)在2,0上单调减在0，k上单调增，最小值为f(

9、0)，又在2，k上最大值点与最小值点横坐标之差为3，k03，即k3.13函数f(x)在(，3)上是减函数，则a的取值范围是_答案解析f(x)a在(，3)上是减函数，3a1<0，a<.14(2010·江苏无锡市调研)设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，)上是增函数，若f0，f(logat)>0，则t的取值范围是_答案(1，)(0，)解析f(logat)>0，即f(logat)>f，f(x)在(0，)上为增函数，logat>，0<a<1，0<t<.又f(x)为奇函数，ff0，f(loga

10、t)>0又可化为f(logat)>f，奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)在(，0)上为增函数，0>logat>，0<a<1，1<t<，综上知，0<t<或1<t<.三、解答题15(2010·北京市东城区)已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值集合解析(1)要使f(x)loga(x1)loga(1x)有意义，则，解得1<x<1.故所求定义域为x|

11、1<x<1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数(3)因为当a>1时，f(x)在定义域x|1<x<1内是增函数，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值集合是x|0<x<116(2010·北京东城区)已知函数f(x)loga是奇函数(a>0，a1)(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若当x(1，a2)时，f(x)的值域为(1，)，求实数a的

12、值解析(1)依题意，f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，即logaloga0，·1，(1m2)x20恒成立，1m20，m1或m1(不合题意，舍去)当m1时，由>0得，x(，1)(1，)，此即函数f(x)的定义域，又有f(x)f(x)，m1是符合题意的解(2)f(x)loga，f (x)logae·logae若a>1，则logae>0当x(1，)时，1x2<0，f (x)<0，f(x)在(1，)上单调递减，即(1，)是f(x)的单调递减区间；由奇函数的性质知，(，1)是f(x)的单调递减区间若0<a<1，则logae<0当x

13、(1，)时，1x2<0，f (x)>0，(1，)是f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(，1)是f(x)的单调递增区间(3)令t1，则t为x的减函数x(1，a2)，t且a>3，要使f(x)的值域为(1，)，需loga1，解得a2.17(2010·山东文)已知函数f(x)lnxax1(aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a时，讨论f(x)的单调性解析(1)a1时，f(x)lnxx1，x(0，)f (x)，x(0，)，因此f (2)1，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1.又f(2)ln22，所以yf(x)在

14、(2，f(2)处的切线方程为y(ln22)x2，即xyln20.(2)因为f(x)lnxax1，所以f (x)ax(0，)令g(x)ax2x1a，当a0时，g(x)1x，x(0，)，当x(0,1)时，g(x)>0，f (x)<0，f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)<0，此时f (x)>0，f(x)单调递增；当a0时，f (x)a(x1)x(1)，()当a时，g(x)0恒成立，f (x)0，f(x)在(0，)上单调递减；()当0<a<时，1>1>0，x(0,1)时，g(x)>0，此时f (x)<0，f(x)单调递减；x(1，1)时，g(x)<0，此时f (x)>0，f(x)单调递增；x(1，)时，g(x)>0，此时f (x)<0，f(x