2022年医用高数第一章函数及极限第三节：函数的连续性

1、一、连续函数的概念一、连续函数的概念(ginin)(ginin)二、初等二、初等(chdng)(chdng)函数的连续函数的连续性性三、闭区间三、闭区间(q jin)(q jin)上连续函数的性上连续函数的性质质第三节函数的连续性第三节函数的连续性第一页，共二十六页。连续变化连续变化(binhu)的曲线对应的函数为连续函数的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数(hnsh)的连续性的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映正

2、是客观世界中事物连续变化现象的反映0 xy第二页，共二十六页。1.函数函数(hnsh)的增量的增量一、连续函数的概念一、连续函数的概念(ginin)(ginin) 设函数设函数 在点在点 附近有定义附近有定义,把把 附近的点附近的点 记为记为 ,则称则称 为自变量由为自变量由 变到变到 的的增量增量.)(xfy 0 x0 xxxxx00 xxx0 xx)()(00 xfxxfy为函数在点为函数在点 的增量的增量.0 xxy00 xxx 0)(xfy y x 第三页，共二十六页。2 2函数函数(hnsh)(hnsh)连续性的定义连续性的定义,00 xxx就就是是).()(00 xfxfy就就是是

3、 定义定义1-9 设函数设函数(hnsh) 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义,如如果果 时时,也有也有 ,即即0 x0 x0)()(limlim00000 xfxxfyxx,0 xxx设设)()(0 xfxfy注意注意故定义中故定义中1-9的极限式等价于的极限式等价于)()(lim00 xfxfxx0 x0 x则称函数则称函数(hnsh) 在点在点 处连续处连续,称称 为为 的连续点的连续点.)(xfy 0y)(xfy )(xf第四页，共二十六页。因此，函数在一点连续因此，函数在一点连续(linx)的充分必要条件的充分必要条件是是;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)

4、2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1-29 讨论函数讨论函数 在在 的的连续性连续性 0, 00,1sin)(xxxxxf0 x解解0)0() 1 (f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以(suy) 在在 连续连续0 x)(xf第五页，共二十六页。单侧连续单侧连续(linx).)(),()(lim)(;)(),()(lim)(00000000处处右右连连续续在在点点则则称称在在且且处处的的右右极极限限存存在在若若函函数数处处左左连连续续在在点点则则称称处处的的左左极极限限存存在在且且在在若若函函数数xxfxfxfxxf

5、xxfxfxfxxf xxxx显然显然.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx第六页，共二十六页。解解abaxxfxx)(lim)(lim00又又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 例例1-30 设设 在点在点 处连续处连续,00 xxbxxbxaxf,sin,)(0 x问、应满足什么关系问、应满足什么关系?abbbxbxbxbxxxsinlimsinlim00af)0(第七页，共二十六页。连续连续(linx)(linx)函数与连续函数与连续(linx)

6、(linx)区间区间 在区间上每一点在区间上每一点(y din)(y din)都连续的函数都连续的函数, ,叫做在该区间上的叫做在该区间上的连连续函数续函数, ,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续. .,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称函函数数处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形连续函数的图形(txng)是一条连续而不间断的曲线是一条连续而不间断的曲线.第八页，共二十六页。例例1-311-31.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 x

7、y证明证明(zhngmng),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy第九页，共二十六页。;)()(没没有有定定义义在在点点01xxf;)(lim)(不存在不存在xfxx02).()(lim,)(lim)(0003xfxfxfxxxx但但存存在在3 3函数函数(hnsh)(hnsh)的间断点的间断点 函数的不连续点称为函数的函数的不连续点称为函数的间断点间断点,

8、即满足下列三个即满足下列三个条件之一的点条件之一的点 为函数为函数 的间断点的间断点.0 x)(xf第十页，共二十六页。跳跃间断点跳跃间断点.)(),(lim)(lim,)(断断点点的的跳跳跃跃间间为为函函数数则则称称点点但但右右极极限限都都存存在在处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxfxxxx0000 )(lim)(lim00 xfxfxx.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf例例1-321-32解解1)(lim, 0)(lim00 xfxfxx第十一页，共二十六页。可去间断点可去间断点.)(

9、,)(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数称称点点则则处处无无定定义义在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf 讨论函数讨论函数例例1-331-33在在 的连续性的连续性1x第十二页，共二十六页。解解11 )(f2)(lim1 xfx)1(f.0为为函函数数的的可可去去间间断断点点所所以以x 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数(hnsh)的定的定义义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.

10、2211)(lim,)(limxfxfxx又又第十三页，共二十六页。如例如例1-33中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃跳跃(tioyu)(tioyu)间断点间断点与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点. .特点特点(tdin)(tdin).0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点xoxy112第十四页，共二十六页。第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例1

11、-341-34.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxfoxy.0为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点x解解)(lim, 0)(lim00 xfxfxx这种情况称为这种情况称为无穷无穷(wqing)间断间断点点第十五页，共二十六页。解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为第第二二类类间间断断点点 xxy1sin 1-1-0.50.5yx.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf例例1-351-35这种情况这种情况(qngkung)称为称为振荡间断振荡间断点点第十六页，共二十六页。第一类间

12、断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点可去型可去型第一类间断第一类间断(jindun)点点oyx跳跃跳跃(tioyu)型型无穷无穷(wqing)型型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x第十七页，共二十六页。二、初等二、初等(chdng)函数的连续性函数的连续性(1) 一切一切(yqi)基本初等函数在其有定义的点都是连续的基本初等函数在其有定义的点都是连续的. (2) 若函数若函数 与与 在点在点 连续连续,则函数则函数 )(xf)(xg0 xx )()()(),()(),()(00 x

13、gxgxfxgxfxgxf在在 连续连续.0 xx (3) 若函数若函数 在点在点 处连续处连续,设设 ,而函数而函数 在点在点 处连续处连续,则复合函数则复合函数 在在点点 处连续处连续.)(xu0 xx )(00 xu)(ufy 0uu )(xfy0 xx 由以上可知由以上可知: :初等函数初等函数(hnsh)(hnsh)在其定义域内都是连续的在其定义域内都是连续的. .第十八页，共二十六页。故对初等函数故对初等函数, ,求极限就是求极限就是(jish)(jish)求这一点的函数求这一点的函数值值例例1-361-36215xxxarctanlim求求由于函数在其连续点由于函数在其连续点 满

14、足满足0 x)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx81512arctan解解215xxxarctanlim第十九页，共二十六页。. 1 )1(limln10 xxx eln xxx10)1ln(lim 原式原式解解.)1ln(lim0 xxx 求求例例1-381-38例例1-371-37xxxesinlim0求求解解10 xxxsinlim,而函数而函数 在点在点 连续连续,所以所以uey 1ueeeexxxxxx100sinlimsinlim第二十页，共二十六页。三、闭区间三、闭区间(q jin)(q jin)上连续函数性质上连续函数性质)()(,11xffba)()(,22x

15、ffbaab1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理） 若函数若函数 闭区间闭区间(q jin) 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间(q jin) 上必有最大值和上必有最大值和最小值最小值)(xfy )(xfy ,ba,ba 推论推论（有界性定理）（有界性定理） 若函数若函数 闭区间闭区间 上连续，则上连续，则 在闭区间在闭区间 上必有界上必有界)(xfy )(xfy ,ba,ba第二十一页，共二十六页。cy abf(a)f(b)cf)( 定理定理1-4（介值定理）（介值定理） 若函数若函数 闭区间闭区间 上连上连续，则对介于续，则对介于 和和 之间的任何数之间的任何数 ，至少存在一个

16、，至少存在一个(y ) ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bfc 其几何意义为其几何意义为 连续曲线弧连续曲线弧 与水平与水平(shupng)直线直线 至少相交于一点至少相交于一点 cy )(xfy ),(ba第二十二页，共二十六页。0)(f 推论推论（根的存在定理）若函数（根的存在定理）若函数 闭区间闭区间 上连上连续，且续，且 与与 异号（即异号（即 ) ，则至少存在一个，则至少存在一个(y ) ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf0)()(bfaf即为方程即为方程 的的根根0)(xf注：注：根不一定根不一定(ydng)唯一唯一ba)(xf),(ba第二十三页，共二十六页。例例1-39 证明证明0123 xx在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.证明证明123xxxf)(在在0 1上连续上连续0)(f0)1()0(, 1)1(, 1)0( ffff而而由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得0123 xx在在0，1内至少有一个根内至少有一个根.即即第二十四页，共二十六页。1函数函数(hnsh)连续的定义连续的定义2间断间断(jindun)点点类型类型：第一类第一类第二类第二类可去型可去型跳跃型跳跃型无穷无穷振荡振荡初等初等(chdng)函数的连续性函数的连续性闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性