第4章电路定理

1、第第4 4章章 电路定理电路定理 ( (Circuit Theorems) ) 4.1 4.1 叠加定理叠加定理 (Superposition Theorem) 4.2 4.2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem) 4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin- -Norton Theorem)4.4 4.4 最大功率传输定理最大功率传输定理 4.54.5特勒根定理特勒根定理 (Tellegens Theorem) 4.6 4.6互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem) 4.7 4.7 对偶原理对偶原理 (Dual

2、Principle)l 重点重点: : 掌握各定理的内容、适用范围及掌握各定理的内容、适用范围及如何应用；如何应用；1. 叠加定理叠加定理在线性电路中，任一支路的电流在线性电路中，任一支路的电流( (或电压或电压) )可以看成可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流产生的电流( (或电压或电压) )的代数和。的代数和。 4.1 4.1 叠加定理叠加定理 ( (Superposition TheoremSuperposition Theorem) )2 .定理的证明定理的证明R1is1R2us2R3us3i2i3+1用结点

3、法：用结点法：(G2+G3)un1= =G2 2us2+ +G3 3us3+ +iS1R1is1R2us2R3us3i2i3+1或表示为：或表示为：支路电流为：支路电流为：321323332221GGiGGuGGGuGuSSSn+=)()()( 3322113322111nnnSsSnuuuuauaiau+ + += =+ + += =)()()( )(32221233221132132332232222121iiiububibGGiGGuGuRGGGRuuiSSSSSSSn+ + += =+ + += =+ + + + +- -+ += =- -= =)()()( )()(332313321

4、33323232233131iiiGGiuRGGGuGGGRuuiSSSSn+ + += =+ + +- -+ + + += =- -= =结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 结论结论3. 3. 几点说明几点说明1. 1. 叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2. 2. 一个电源作用，其余电源为零一个电源作用，其余电源为零电压源为零电压源为零短路。短路。电流源为零电流源为零开路。开路。3. 3. 功率不能叠加功率不能叠加( (功率为电压和

5、电流的乘积，为电源的功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数二次函数) )。4. 4. u u, ,i i叠加时要注意各分量的参考方向。叠加时要注意各分量的参考方向。5. 5. 含受控源含受控源( (线性线性) )电路亦可用叠加，但叠加只适用于电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。独立源，受控源应始终保留。+ +us2单独作用单独作用us3单独作用单独作用R3三个电源共同作用三个电源共同作用1is1单独作用单独作用=R1is1R2us2R3us3i2i3+1+ +R1R2us2R3+1)(22i)(23iR1R2us3+1)(32i)(33iR1is1R2R3)(12i)(

6、13i4. 4. 叠加定理的应用叠加定理的应用例例1求电压求电压U.8 12V3A+6 3 2 +U8 3A6 3 2 +U(2）8 12V+6 3 2 +U(1)画出分画出分电路图电路图12V电源作用：电源作用：3A电源作用：电源作用：解解VU264=+-=VU63)3/6()2(= = =9VU4312)1(- -= =- -= =例例210V2Au2 3 3 2 求电流源的电压和发出求电流源的电压和发出的功率的功率10VU（1）2 3 3 2 2AU（2）2 3 3 2 画出分画出分电路图电路图为两个简为两个简单电路单电路10V电源作用：电源作用：2A电源作用：电源作用：Vu210)52

7、53()1(=-=5Vu8422322.)(= = =Vu86.= =8WP61326.= = =例例3u12V2A1 3A3 6 6V计算电压计算电压u。画出分画出分电路图电路图1 3A3 6 u（1）12V2A1 3 6 6Vu (2）i (2)说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。3A电流源作用：电流源作用：其余电源作用：其余电源作用：Ai2361262= =+ + += =)/()()(Viu8126622= =+ +

8、- -= =)()(Vuuu178921= =+ += =+ += =)()(Vu931361= =+ += =)/()(例例4计算电压计算电压u电流电流i。画出分画出分电路图电路图u（1）10V2i (1)1 2 i（1）u10V2i1 i2 5Au(2)2i (2)1 i (2)2 5A受控源始受控源始终保留终保留10V电源作用：电源作用：5A电源作用：电源作用： )/()()()(1221011+ +- -= =iiViiiu63211111= = =+ += =)()()()(Ai21= =)( )()()()(02512222= =+ + + +iiiViu212222= =- -

9、-= =- -= =)()()(Ai112= =- -+ += =)(Vu826= =+ += =Ai12- -= =)(例例5无源无源线性线性网络网络uSiiS 封装好的电路如图，已知下封装好的电路如图，已知下列实验数据：列实验数据：解解 根据叠加定理，有：根据叠加定理，有：代入实验数据，得：代入实验数据，得：研研究究激激励励和和响响应应关关系系的的实实验验方方法法AiAiVuSS211= = = = , 响应响应时，时，当当AiAiVuSS121= = =- -= = , 响应响应时，时，当当？响应响应时，时，求求= = = =iAiVuSS , 53SSukiki21+ += =221=

10、 =+ + kk1221= =- -kkAiuiSS253= =+ +- -= =+ += =1121=kk例例6.6.采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A。则则求电流求电流 i 。RL=2 R1=1 R2=1 us=51V+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i =1A解解5. 5. 齐性原理齐性原理（homogeneity property)Aiuuiuuii5113451. ssss= = = = =即即齐性原理齐性原理线性电路中，所有激励线性电路中，所有激励( (独立源独立源) )都增大都增大( (或减小或减小) )同样

11、同样的倍数，则电路中响应的倍数，则电路中响应( (电压或电流电压或电流) )也增大也增大( (或减小或减小) )同样同样的倍数。的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。可加性可加性(additivity property)。4. 2 4. 2 替代定理替代定理 ( (Substitution TheoremSubstitution Theorem) )对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为u uk k、电流为电流为i ik k，那么这条支路就可以用一个电压等于，那么这条支路就可以用一个电压等于u uk k的的

12、独立电压源，或者用一个电流等于独立电压源，或者用一个电流等于i ik k的的 独立电流源，独立电流源，或用一或用一R=uk/ik的电阻的电阻来替代，替代后电路中全部电压来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值和电流均保持原有值( (解答唯一解答唯一) )。ik 1. 1.替代定理替代定理支支路路 k ik+uk+ukik+ukR=uk/ikAik+uk支支路路 k A+ukukukukAik+uk 支支路路 k 证毕证毕! 2. 2. 定理的证明定理的证明例例求图示电路的支路电压求图示电路的支路电压和电流。和电流。i310 5 5 110V10 i2i1u解解替替代代i310 5 5 1

13、10Vi2i160V替代以后有：替代以后有：替代后各支路电压和电流完全不变。替代后各支路电压和电流完全不变。Viu60102= = = Ai101010551101= =+ + += = /)(/Aii65312= = =/Aii45213= = =/Ai105601101= =- -= =/ )(Ai415603= = =/ 替代前后替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的关系相同，其余支路的u、i关关系不变。用系不变。用uk替代后，其余支路电压不变替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支其余支路电流也不变，故第路电流也不变，故第k k条支路条支路ik也不变也不变(KCL) )。用。用i

14、 ik k替代后，替代后，其余支路电流不变其余支路电流不变(KCL) )，其余支路电压不变，故第，其余支路电压不变，故第k k条支条支路路uk也不变也不变(KVL)。原因原因注：注：1.1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.3.替代后其余支路及参数不能改变。替代后其余支路及参数不能改变。2. 2. 替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电压源回路；无电流源节点无电流源节点( (含广义节点含广义节点) )。1.5A1.5A10V5V2 5 2.5A1A 5V+？例例1 1若要使若要使试求试求Rx。3. 3. 替代

15、定理的应用替代定理的应用0.5 0.5 +10V3 1 RxIx+UI0.5 解解用替代：用替代：=+0.5 0.5 1 +UI0.5 ,IIx81= =0.5 0.5 1 +UI0.5 I810.5 0.5 0.5 1 +UI81xIIIIU8 .01 .05 .05 .25 .115 .21= = =- -= =xIIIU6 . 0075. 01815 . 25 . 1 - -= =- -= =- -= =U=U+U=(0.8- -0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 例例2 2试求试求i1。解解用替代：用替代：6 5 +7V3 6 I1+1 2 +6V3V4A

16、4 2 4 4A7VI1AI5 . 26154242671= = =+ + += =I1IRR8 3V4 b2 +a20V3 I例例3 3已知已知: uab=0, 求电阻求电阻R。C1A解解用替代：用替代：用结点法：用结点法：AIIuab1033= = =+ +- -= =AIIR211= =+ += =AI11= =Vuuba8= = = = = =6212RVuuubCR12820= =- -= =- -= =VuC20= =14201)4121( = =- -+ +aua点点对对例例4 42V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。4

17、4V10 3A2 +2V2 10 解解0.5AII110V2 +2V2 5 1应求电流应求电流I，先化简电路。先化简电路。应用结点法得：应用结点法得：622210)512121( 1= =+ += =+ + +uAI5 . 12/ )25(1= =- -= =AI15 . 05 . 1= =- -= = = = =21/2RVu52 . 1/61= = =例例5 5已知已知: uab=0, 求电阻求电阻R。解解用断路替代，得：用断路替代，得：短路替代：短路替代：4 42V30 0.5A60 25 10 20 40 badcR1A00 = = = =cdababiiuVubd105 . 020

18、= = =AiR214/ )3042( = =- - -= = = = = =15230 RRiuRVuac10 = =VuR3010120 = =+ += =4.3 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理 ( (Thevenin-Norton TheoremThevenin-Norton Theorem) )工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路换

19、为较简单的含源支路( (电压源与电阻串联或电流电压源与电阻串联或电流源与源与电阻并联支路电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。法。1. 1. 戴维宁定理戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效

20、电阻电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。）。AabiuiabReqUoc+- -u2.2.定理的证明定理的证明+abAi+uNiUoc+uNab+ReqabAi+uabA+uabPi+uReq则则替代替代叠加叠加A中中独独立立源源置置零零iRuuuueqoc- -= =+ += = ocuu = = iRueq- -= = 3.3.定理的应用定理的应用(1) 开路电压开路电压Uoc 的计算的计算 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零( (电压源电压源短路，电流源开路短路，电流源开路) )后，所得无源一端口网络的输入电阻。后，所得无源一端

21、口网络的输入电阻。常用下列方法计算：常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。算。23方法更有一般性。方法更有一般性。 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和Y 互换的方法计算等效电阻；互换的方法计算等效电阻；1开路电压，短路电流法。开路电

22、压，短路电流法。3外加电源法（加压求流或加流求压）。外加电源法（加压求流或加流求压）。2abPi+uReqabPi+uReqiuReq= iSCUocab+ReqscoceqiuR= = (1) (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变( (伏伏- -安特性等效安特性等效) )。(2) (2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。必须包含在被化简的同一部分电路中。注：注：例例1.1.

23、计算计算Rx分别为分别为1.2 、 5.2 时的时的I；IRxab+10V4 6 6 4 解解保留保留Rx支路，将其余一端口支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：网络化为戴维宁等效电路：ab+10V4 6 6 +U24 +U1IRxIabUoc+RxReq(1) 求开路电压求开路电压Uoc = U1 + U2 = - -10 4/(4+6)+10 6/(4+6) = - -4+6=2V+Uoc_(2) 求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2 时，时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.333ARx =5.2 时，时，I= Uoc /(Req

24、 + Rx) =0.2A求求U0 。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例2.Uocab+Req3 U0- -+解解(1) 求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V+Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻Req方法方法1：加压求流：加压求流U0=6I+3I=9II=I0 6/(6+3)=(2/3)I0U0 =9 (2/3)I0=6I0Req = U0 /I0=6 3 6 I+U0ab+6II0方法方法2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6 I1 +3I=9I=- -6I/3=- -2II=0Isc=I1=9/6=1.5AReq = Uoc /

25、 Isc =9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1独立源置零独立源置零独立源保留独立源保留(3) 等效电路等效电路abUoc+Req3 U0- -+6 9V 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求负载求负载RL消耗的功率。消耗的功率。例例3.100 50 +40VRLab+50VI14I150 5 解解(1) 求开路电压求开路电压UocV393630= =+ += =U100 50 +40VabI14I150 +Uoc100 50

26、 +40VabI1200I150 +Uoc+(2) 求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法Isc50 +40VabIsc50 AI1 . 01= =VIUoc101001= = =AIsc4 . 0100/40= = = = = = =254 . 0/10scoceqIUR4050i5i50100i111=+abUoc+Req5 25 10V50VIL已知开关已知开关S例例4.1 A 2A2 V 4V求开关求开关S打向打向3 3，电压，电压U等于多少等于多少解解线性线性含源含源网络网络AV5 U+S1321A4VVUAiocSc4 2= = = = = 2eqR

27、VU1141)52(= =+ + + += =WIPLL204552= = = =AUIocL2306052550= = =+ + += =任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导用一个电流源和电导( (电阻电阻) )的并联组合来等效置换；电流的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导源的电流等于该一端口的短路电流，而电导( (电阻电阻) )等于把等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导该一端口的全部独立电源置零后的输入电导( (电阻电阻) )。4. 4. 诺顿定理诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效

28、电路经电源等效诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。方法证明。证明过程从略。AababGeq(Req)Isc例例1求电流求电流I 。12V2 10 +24Vab4 I+(1) 求短路电流求短路电流IscI1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=- -I1- -I2=- - 3.6- -6=- -9.6A解解IscI1 I2(2) 求等效电阻求等效电阻ReqReq =10/2=1.67 (3) 诺顿等效电路诺顿等效电路:Req2 10 ab应 用 分应

29、用 分流公式流公式4 Iab-9.6A1.67 I =2.83A例例2求电压求电压U。3 6 +24Vab1A3 +U6 6 6 (1) 求短路电流求短路电流IscIsc解解本题用诺顿定理求本题用诺顿定理求比较方便。因比较方便。因a a、b b处的短路电流比开处的短路电流比开路电压容易求路电压容易求(2) 求等效电阻求等效电阻ReqReq(3) 诺顿等效电路诺顿等效电路:Iscab1A4 UAIsc363366/3242136/624= =+ + + + += = = =+ + += =466/3/63/6eqRVU164)13(= =+ += =4.4 4.4 最大功率传输定理最大功率传输定

30、理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。程意义的。Ai+u负载负载iUoc+u+ReqRL应用戴维应用戴维宁定理宁定理RL P0P maxeqLRR= = eqocRuP4 2max=最大功率最大功率匹配条件匹配条件对对P求导：求导：2)( LeqocLRRuRP+ += =0)()(2)( 422= =+ + +- -+ += =L

31、eqLeqLLeqocRRRRRRRuP例例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。20 +20Vab2A+URRL10 20RU(1) 求开路电压求开路电压Uoc(2) 求等效电阻求等效电阻ReqUocI1I2AII121= = =2021RUII= = =AII221= =+ +221III= = =IIIU202/2010= =+ += = = = =20IUReqVIUoc6020201022= =+ + += =20 +Iab+UR10 UI2I120RU(3) 由最大功率传输定理得由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率时其上可获得最大功

32、率注注 最大功率传输定理用于一端口电路给定最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况负载电阻可调的情况; 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大因此当负载获取最大 功率时功率时,电路的传输效率并不一定是电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便或诺顿定理最方便.WRUPeqoc4520460422max= = = = = = =20eqLRR4.5 4.5 特勒根定理特勒根定理 ( (Tellegens Theo

33、remTellegens Theorem) )1. 1. 特勒根定理特勒根定理1 1 任何时刻，对于一个具有任何时刻，对于一个具有n个结点和个结点和b条支路的集总电路，条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: = = =bkkkiu10功率守恒功率守恒定理证明：定理证明： 表明任何一个电路的全部支路吸收的功率表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。之和恒等于零。4651234231应用应用KCL:123支路电支路电压用结压用结点电压点电压表示表示0421= =+ + +- -iii0654= =+ + +- -iii0632=

34、=- -+ +- -iii = =+ + + += =bkkkiuiuiuiu1662211L632524213323111)()()(iuuiuiuuiuiuuiunnnnnnnnn- -+ + +- -+ + +- -+ +- -0)()()(632365424211= =- -+ +- -+ + + +- -+ + + +- -iiiuiiiuiiiunnn1. 1. 特勒根定理特勒根定理2 2 任何时刻，对于两个具有任何时刻，对于两个具有n个结点和个结点和b条支路的集总电路，条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成

35、，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足流和电压取关联参考方向下，满足: = = =bkkkiu10 = = =bkkkiu1046512342314651234231拟功率定理拟功率定理),(kkiu),(kkiu定理证明：定理证明：对电路对电路2应用应用KCL:123632524213323111)()()(iuuiuiuuiuiuuiunnnnnnnnn- -+ + +- -+ + +- -+ +- - = =+ + + += =bkkkiuiuiuiu1662211L0)()()(632365424211= =- -+ +- -+ + + +- -+ + + +- -iiiuiiiui

36、iiunnn0632= =- -+ +- -iii0654= =+ + +- -iii0421= =+ + +- -iii例例1(1) R1=R2=2 , Us=8V时时, I1=2A, U2 =2V(2) R1=1.4 , R2=0.8 , Us=9V时时, I1=3A, 求此时的求此时的U2 。解解把（把（1 1）、（）、（2 2）两种情况看成是结构相同，参数不同）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理的两个电路，利用特勒根定理2 2由由(1)得：得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A无源无源电阻电阻网络网络 P +U1+UsR1I1I2+

37、U2R2) , ( )()(113221132211的方向不同的方向不同负号是因为负号是因为IUIIRIUIUIIRIUIUbkkkkbkkkk = = = = + + +- -= =+ + +- -222211(5/4)/ A,3 V,8 . 44 . 139 :(2) = = = = =- -= =URUIIU得得由由V6 . 15 . 1/4 . 2 2= = = U 128 . 425. 123422+ +- -= =+ +- - UU 例例2.解解P+U1+U2I2I1P+2 已知：已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AV102= = U.1 U求求 )()(2

38、2112211IUIUIUIU + +- -= =- -+ +112 = =IUV.11= = U )(2221111IUIUUU + +- -= = 110)5(21011+ +- -= = UU1 U1 I2 I2 U应用特勒根定理需注意：应用特勒根定理需注意：（1 1）电路中的支路电压必须满足）电路中的支路电压必须满足KVL; ;（2 2）电路中的支路电流必须满足）电路中的支路电流必须满足KCL; ;（3 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向； （否则公式中加负号）（否则公式中加负号）（4 4）定理的正确性与元件的特征全然无

39、关。）定理的正确性与元件的特征全然无关。4. 6 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等

40、方面。1. 1. 互易定理互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。l 情况情况1 1 i2线性线性电阻电阻网络网络 NR+uS1abcd(a)激励激励电压源电压源电流电流响应响应cd线性线性电阻电阻网络网络 NRi1+uS2ab(b)当当 uS1 = uS2 时，时，i2 = i1 则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电

41、流有如下关系：22112112 iuiuuiuiSSSS= = =或或证明证明:由特勒根定理：由特勒根定理：即：即：两式相减，得两式相减，得 22112211iuiuiuiu + += =+ + 0 011= = = = = = bkkkbkkkiuiu和和 0 32211322111 = =+ + += = + + += = = = = = = = bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu 0 32211322111 = =+ + += = + + += = = = = = = = bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu将图将图(a)(a)与图与图(b)(b

42、)中支路中支路1 1，2 2的条件代入，即的条件代入，即: :即：即：证毕！证毕！22112112 iuiuuiuiSSSS= = =或或i2线性线性电阻电阻网络网络 NR+uS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRi1+uS2ab(b) , 0 , 0 ,221211SSuuuuuu= = = = = 0 0221211iuiiiuSS+ += =+ +22112112 SSSSiuiuiuiu= = =或或l 情况情况2 2 激励激励电流源电流源电压电压响应响应u2线性线性电阻电阻网络网络 NR+iS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRu1+iS2ab(b)则两个

43、支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：当当 iS1 = iS2 时，时，u2 = u1 22112112 iuiuuuiiSSSS= = =或或l 情况情况3 3 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：当当 iS1 = uS2 时，时，i2 = u1 激励激励电流源电流源电压源电压源图图b图图a电流电流响应响应图图b图图a电压电压i2线性线性电阻电阻网络网络 NRiS1abcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 NRu1+uS2ab(b)+(3) (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，互易定理只适用于线性电阻网络在单

44、一电源激励下， 两个支路电压电流关系。两个支路电压电流关系。(1) (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；(2) (2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联关联，要么都非关联) )；(4) (4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：应用互易定理分析电路时应注意：例例1 1求求(a)图电流图电流I ，(b)图电压图电压U。解解利用互易定理利用互易定理1 6 I+12V2 (a)4 (b)1 2 4 +U6 6AI12V+U6AA5 . 1216/6112= =+ += =IVU623= = =例例2 22 1 2 4 +8V2 Iabcd求电流求电流I 。解解利用互易定理利用互易定理I1 = I 2/(4+2)=2/3AI2 = I 2/(1+2)=4/3AI= I1- -I2 = - - 2/3A2 1 2 4 +8V2 IabcdI1I2IA248212428= = =+ + += =/ I例例3 3测得测得a图中图中U110V，U25V，求，求b图中的电流图中的电流I 。解解1(