第九章动力学微分方程(陆)

1、理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程1第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程1、本章内容您大都学过、本章内容您大都学过.2、是基本内容、是基本内容.理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程29-1 9-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 第一定律第一定律 ( (惯性定律惯性定律):):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律第二定律重力重力2m,9.8sPmg g力的单位力的单位:牛牛顿顿,1112mNkg

2、s第三定律第三定律 (作用与反作用定律作用与反作用定律):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反方向相反,沿着同一直线沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。且同时分别作用在这两个物体上。iFFam理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程3牛顿定律牛顿定律惯性参考系惯性参考系牛顿定律适用范围：牛顿定律适用范围：速度、尺度要求速度、尺度要求惯性参考系惯性参考系单位制和量纲单位制和量纲基本量：长度（基本量：长度（m），时间（），时间（s），质量（），质量（kg）量量 纲：长度纲：长度L，时

3、间，时间T，质量，质量M理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程41 1米的定义：米的定义：1 1299792458299792458秒的秒的时间间隔时间间隔内光在真空中行程的内光在真空中行程的长度长度. . 1 1秒的定义：秒的定义：铯铯133133原子原子基态基态的两个超精细的两个超精细能阶能阶间间跃迁跃迁对应辐对应辐射的射的9,192,631,7709,192,631,770个周期的持续时间。这个定义提到的铯原个周期的持续时间。这个定义提到的铯原子必须在子必须在绝对零度绝对零度时是静止的，而且在地面上的环境是零时是静止的，而且在地面上

4、的环境是零磁磁场场。 千克千克 标准是一个用铂（标准是一个用铂（9090）铱（）铱（1010）合金制成的、直）合金制成的、直径和高度均为径和高度均为3939毫米的圆柱体形状的标准砝码。毫米的圆柱体形状的标准砝码。 理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程59-2 9-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程1 、在直角坐标轴上的、在直角坐标轴上的投影222222,xiyizixyzmFmFmFttt dddddd22ddiimaFrmFt 或OxyzriFFM理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动

5、力学微分方程62、在自然轴上的投影、在自然轴上的投影 ,0,tnbaaa n a由由2, 0ttinibivmaFmFF 有有OxyzriFFMtanainitFmvFdtsmd/222理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程73 、质点动力学的两类基本问题、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力第一类问题：已知运动求力.第二类问题：已知力求运动第二类问题：已知力求运动.混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合. (未知量既有力也有加速度未知量既有力也有加速度)理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9

6、章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程8xyMor例题例题 一质点一质点M在在xy平面内运动，已知运动平面内运动，已知运动轨迹为轨迹为x=b cos(kt)，y=c sin(kt),b,c,k为常数。为常数。试分析质点的受力。试分析质点的受力。rmkj yi xmkjFiFFyx22)(解解:)cos(222ktmbkdtxdmmaFxxxmk2)sin(222ktmckdtydmmaFyyymk2有心力作用有心力作用.F理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程9例题例题 一质点以水平初速度一质点以水平初速度v0在空中受重力和

7、空气阻力作自由在空中受重力和空气阻力作自由落体运动落体运动,若空气阻力大小若空气阻力大小F=kv（k为常数）为常数）,方向与速度相反。方向与速度相反。试求质点的运动方程。试求质点的运动方程。解：解： 1、受力分析，画示力图、受力分析，画示力图2、建立质点运动微分方程，求解。、建立质点运动微分方程，求解。xixkvFdtxdm22yiykvmgFdtydm22初始条件：初始条件：00000| )( , 0| )(0| )( ,| )(vtxtxtyhtyttttxyOvomgFh理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程10第一个方程的解：第一

8、个方程的解：xxvmkdtdvdtmkvdvxxctvmkxlntmkxcev初始条件：初始条件：000|vcvvtxtmkxevv0dtevdxtmk0tmkekmvxx00初始条件：初始条件：kmvxxt/0|000)1(0tmkekmvxxyOvomgFh理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程11第二个方程的解：第二个方程的解：初始条件：初始条件：初始条件：初始条件：)(yyvkmgmkdtdvdtmkkmgvdvyytmkyycekmgvctmkkmgv)ln()1(0|0tmkytyekmgvkmgcv)(0temkkmgyyd

9、tvdytmky2200|kgmyhyt)(kmtekmkmgytmkxyOvomgFh理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程12rM例题例题 一小球在光滑圆弧面顶部以初速一小球在光滑圆弧面顶部以初速度为零向下滑动。试求运动过程中小度为零向下滑动。试求运动过程中小球的速度和圆弧面的约束力，并确定球的速度和圆弧面的约束力，并确定小球在什么位置开始脱离圆弧面。小球在什么位置开始脱离圆弧面。解：解：1 受力分析画示力图受力分析画示力图2 运动分析，确定运动描述方法和坐标。运动分析，确定运动描述方法和坐标。3 建立运动微分方程，求解。建立运动微分

10、方程，求解。FNmgnata rararstn 2sincosmgmaFmgmatNn理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程13第二个方程的解：第二个方程的解：sinrg drgdsincrgcos221rgctt/0| , 0|00)cos1(22rgrM)cos1(2grrv代入方程代入方程1求求FN)2cos3()cos1(/2coscosmgrrmgmgmamgFnN脱离时脱离时FN =0)/arccos(cos3202300v理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程14质点系

11、的动力学问题：质点系的动力学问题：求运动微分方程组（混合问题）求运动微分方程组（混合问题）难！难！难！难！难！难！理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程159-3 9-3 非惯性系中的质点运动微分方程非惯性系中的质点运动微分方程a转轮转轮A 坐在车或转轮上观看，小球的运动显然不遵循牛顿定律。坐在车或转轮上观看，小球的运动显然不遵循牛顿定律。问题：能否建立适用于非惯性系的运动微分方程？问题：能否建立适用于非惯性系的运动微分方程？理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程16a转轮转轮A 1

12、. 取定系取定系oxy(惯性系惯性系)，动系动系oxy(非惯性系非惯性系)；xyoxyoxyoxyo2.oxy中中Fama 3. 加速度关系加速度关系Creaaaaa CeramamFam 4. 记记CICeIeamFamF ,ICIerFFFam 为为科科氏氏惯惯性性力力为为牵牵连连惯惯性性力力称称ICIeFF 理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程17a转轮转轮A CICeIeamFamF ,ICIerFFFam 为科氏惯性力为科氏惯性力为牵连惯性力为牵连惯性力称称ICIeFFIeFIeFICF在质点上添加惯性力后，在质点上添加惯性力

13、后，便可用便可用“牛顿第二定律牛顿第二定律”解决非惯性系问题。解决非惯性系问题。理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程18转轮转轮A 例题例题 质量质量m的小球初始时刻位于转轮上的滑槽中点，相对转的小球初始时刻位于转轮上的滑槽中点，相对转轮的速度为零。转轮半径为轮的速度为零。转轮半径为r，在，在水平面水平面上以匀角速度上以匀角速度作定作定轴转动。求小球到达转轮边缘时的速度及该时刻滑槽对小球轴转动。求小球到达转轮边缘时的速度及该时刻滑槽对小球的约束力。的约束力。解：解：1. 以小球为研究对象，在以小球为研究对象，在轮盘上固定一坐标架轮盘上固

14、定一坐标架oxy2. 运动分析运动分析xyoCaea相对运动轨迹为直线；相对运动轨迹为直线；牵连加速度和科氏加牵连加速度和科氏加速度方向如图。速度方向如图。理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程19转轮转轮A 3. 受力分析受力分析NFxyo重力及支持力未画出；重力及支持力未画出；惯性力如图示；惯性力如图示；还有约束力。还有约束力。IeFICF转轮转轮A xyoCaea4. 动力学方程动力学方程xmmaFeIe2 xmmaFCIC 2 xmFxmxmmaNr 202初始条件初始条件2 , 0 :0rxxt 222/rxx 解得解得rmFrvrxNr23 , 2/3 时时，理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程209-4 质点动力学普遍定理质点动力学普遍定理1. 牛顿第二定律牛顿第二定律Fdtrdm 222. 动量定理动量定理Fdtrdmdtd IFdtvmvmpptt 211212 Fdtvmd Fdtpd vmp 记记积分形式积分形式IddtFpd 或或动量动量理论力学电子教案理论力学电子教案第第9 9章章 约束约束 质点动力学微分方程质点动力学微分方程213. 动量矩定理动量矩定理 Frdtvmdr Fdtvmd oAvmrF Frvmdtrddtvmrd 等