高等数学-第七版-课件-3-9曲率

1、第九讲 曲率曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径0M0 xMxxyo规定：规定：设函数设函数f(x)在在(a,b)上具有连续导数上具有连续导数M0(x0，y0)度量基点度量基点M(x，y)曲线上任一点曲线上任一点(1) 曲线的正向与曲线的正向与x增大的方向一致增大的方向一致s0s0s为为x的函数，记为：的函数，记为：s(x)s(x)为为x的单调增加函数的单调增加函数有向弧段的值有向弧段的值的方向与曲线的正向相反的方向与曲线的正向相反MM0的方向与曲线的正向一致的方向与曲线的正向一致MM0(2) 有向弧段有向弧段

2、的值为的值为sMM0MM0| sM Rxx M0M0 xxxyo弧微分弧微分x的值：的值：xx+x对应的点：对应的点：MM0,xMM 0limxyyx dd21syx s(x)为为x的单调增加函数的单调增加函数dd21syx 弧微分公式弧微分公式y MMs 22222)(|xMMMMMMxMMxs 2222)()()(|xyxMMMM 221|xyMMMM 221|xyMMMMxs1|lim MMMMMM曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径描述曲线局部性质（弯曲程度）描述曲线局部性质（弯曲程度）1M3M)2 2

3、M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大转角越大弧段弯曲程度越大转角越大转角相同转角相同,弧段越短弯曲程度越大弧段越短弯曲程度越大1 )背景背景定义定义) S S) .M .MC0MyxosKs 0limMM切线转角切线转角: Ks dds 曲线曲线C在在M处的曲率处的曲率|sMM 的平均曲率的平均曲率MM 计算公式计算公式(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,tany 2dd ,1yxy arctan,y 2d1dsyx l注注sKs 0limdds 3 221y

4、ky ( )( )xtyt C: 3 222( )( )( ) ( )( )( )ttttktt u例例1抛物线抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大上哪一点处的曲率最大?曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径D)(xfy Mk1 xyo定义定义设曲线设曲线y=f(x)在点在点M(x,y)处的曲率为处的曲率为K(K0).在点在点M处的曲线的法线上处的曲线的法线上,在在凹的一侧取一点凹的一侧取一点D,使使1DMK 以以D为圆心为圆心,为半径作圆为半径作圆,称为曲线在点称为曲线在点M处的曲率圆处的曲率圆.其中其中: D曲率中心曲率中心曲率半径曲率半径l注注1. 曲率半径与曲率互为倒数曲率半径与曲率互为倒数.2. 曲率半径越大曲率半径越大, 曲线越平坦曲线越平坦;曲率半径越小曲率半径越小, 曲线越弯曲曲线越弯曲.3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧u思考思考椭圆椭圆 x=2cost，y=3sint 上哪些点处曲率最大上哪些点处曲率最大？l解答解答232)(1 |yyk 2322)cos