中心极限定理演示文稿3

1、第二节第二节 中心极限定理中心极限定理实际背景实际背景 在现实中为什么很多数量指标都服从在现实中为什么很多数量指标都服从或或近似正态分布近似正态分布。( ,)YN 近 似 研究发现这些指标通常是大量研究发现这些指标通常是大量相互相互独立的独立的随机因素综合而成，即随机因素综合而成，即12nYXXX0.niiX中心极限定理研究的内容，当研究的内容，当,n 时时,什么情况下什么情况下 i=1=,nniYXN 的 极 限 是=1=1=1-()()nniiiiniiXE XDX的极限的极限分布是分布是0,1 ?N中心极限定理中心极限定理 设 是相互独立，均值和方差存在 则随机变量 和 的标准化随机变量

2、 。 12,nX XX2()=,()=0, =1,2,.iiiiE XD Xi=1=1=1=12=1=1- ()-=()nnnniiiiiiiinnniiiiX EXXZDX ( =1,2,)i=1niiX(Z)= 0 ,D (Z)= 1nnE则则定义定义：若若 的分布函数的分布函数 对任对任意意 满足满足 =1=nniiYX( )nF xx=1=12=1-lim( )=limnniiiinnnniiXFxPx2-2-1=()2txed txnX则称则称服从服从中心极限定理中心极限定理。问：问： 服从中心极限定理的条件是什么服从中心极限定理的条件是什么? nX121,nX XX）相互独立。2)

3、 (); ()i=1,2,)iiE XD X都存在（3? ）定理定理4.5（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）设随机变量设随机变量12,nX XX相互独立相互独立,服从相同的分布服从相同的分布,且且2(), ()0,iiE XD X1, 2,;in则对于任何实数则对于任何实数x,有有2121lim()(4.6)2ntixinXnPxedtxn 注注：1）定理表明独立同分布的随机变）定理表明独立同分布的随机变量之和量之和 =1niiX1( 0 , 1 ) ,niiXnNn21,.niiXNnn当当n充分大时，随机变量之和与其标准化充分大时，随机变量之和与其标准化随机变量分别为随机

4、变量分别为 = 1niiX2-0,1 ;,XNXNnn= 11=niiXXn其 中2)独立同分布中心极限定理的另一种形独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为式可写为3)虽然在一般情况虽然在一般情况,我们很难求出我们很难求出的分布的确切形式。但当的分布的确切形式。但当n 很大时，可很大时，可以求出近似分布。以求出近似分布。推论推论1： 在独立同分布中心极限的条件在独立同分布中心极限的条件下，当下，当 很大时，对任意实数很大时，对任意实数ab,有近有近似公式：似公式：1）2）n=1-15 =1-P15 =1- -1515P XXPX于 是-15-0-015-0= 1 -1500 1121500

5、1121500 112XP15=1- 2-1 =1- 21.342 -11500 112= 2 1 -0 .9 0 9 9= 0 .1 8 0 2 . 2）设最多有）设最多有n个数相加，使误差总和个数相加，使误差总和符合要求。即要确定符合要求。即要确定n，试，试=1=niiYX100.90P Yn由中心极限定理，当时有近似公式- 01 1 2YPxxn10 =-1010PYPY于是-1010=1 121 121 12YPnnn10-1010-=2-1121212nnn 102-10.9012nn因 而满 足1 00 .9 5 =1 .6 4 51 2n1 01 .6 4 5 ,4 4 3 .4

6、 51 2nn例例3某汽车销售点每天销售的汽车服从参某汽车销售点每天销售的汽车服从参数为数为 泊松分布，若一年泊松分布，若一年365天都经天都经营汽车销售，且每天销售的汽车数是相营汽车销售，且每天销售的汽车数是相互独立的，求一年中售出互独立的，求一年中售出700辆以上汽车辆以上汽车的概率？的概率？ 2解解: 记记,iXi为第 天出售的汽车辆数则则12365YXXX为一年的总销量为一年的总销量,由由()()2,iiD XE X( )( )365 2730.E YD Y 利用独立同分布中心极限定理，可得利用独立同分布中心极限定理，可得7 0 0 - 7 3 01 -7 3 0=1-1.11 =0.

7、8995700P Y 1700P Y 这表明这表明,该销售点一年售出该销售点一年售出700辆以上的辆以上的概率近似为概率近似为0.8665.二、棣美佛二、棣美佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理定理定理4.6 设在独立试验序列中，事件设在独立试验序列中，事件A的的概率概率p(A)=p(0P1),随机变量随机变量 nY表示表示A在在n次试验中发生的次数，则对任次试验中发生的次数，则对任何实数何实数 x有有lim(1)nnYnpPxnpp221( )(4.8).2txedtx 注记注记：1）该定理是概率论历史上第一）该定理是概率论历史上第一个中心极限定理，由棣美佛于个中心极限定理，由棣美佛

8、于1730年年给出给出 时的证明，几十年后经拉普时的证明，几十年后经拉普拉斯推广到拉斯推广到 的一般情况的一般情况1=2p01p( , ),(50)nXn pn 2)若服从时， -0,1(1-)nXnpNnpp则,(1-)nXNn p n pp,nXB n p服从于-(1- )(1- )nb npa npp a Xbnppnpp推论推论2 若若当当n很大时，则很大时，则 例例4 调整某种仪表调整某种仪表200台，调整无误的概率台，调整无误的概率为为0，设调整过大或过小的概率都是，设调整过大或过小的概率都是 ，问调整过大的仪表在问调整过大的仪表在95台到台到105台间的概率台间的概率是多少？是多

9、少？12,nnYYB np解：设 为调整过大的台数， 服从1=200, = =,=100,=50.2np qnpnpq=200n可以认为是较大的，根据拉普拉斯定理。-10095-100105-10095105 =505050nnYpYp=0.7071 -0.7071 =0.5202注：若直接用二项分布来计算105200-200=951195105 =( ) (1- )22kkknkpYC0.5633.=200n有误差的原因为不够大，中心极限定理当n很大时较准确例例5 某电视机厂每月生产某电视机厂每月生产10000台电视机，台电视机，但它的显像管车间的正品率为但它的显像管车间的正品率为0.8，为

10、了，为了以以0.997的概率保证出厂的电视机都装上的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，该车间每月生产多少只正品的显像管，该车间每月生产多少只显像管？显像管？解解: 设生产显像管正品数设生产显像管正品数X,月总产量月总产量n,则( ,0.8),XB n()0.8 ,E Xn( )0.16 ,D Xnpqn为了试电视机都装上正品，则每月至少为了试电视机都装上正品，则每月至少生产生产10000台正品，则所求为台正品，则所求为(10000 )=0.995.pXn由由拉普拉斯定理得：(10000 )pX n10000-0.8=0.5-=0.9970.16nnn1 0 0 0 0 -0 .8 0 ,

11、0 .1 6nn由 题 意 知10000-0.8-0.8-0.8=0.160.160.16nXnnnPnn 且且n较大，即较大，即(0.5)1n0.8 -10000=0.9970.16nn所 以反查正态分布表得0.8 -10000=2.750.4nn41.25 10 (n 所以只）例例6 从次品率为从次品率为0.05的一批产品中随机的一批产品中随机地取地取200件产品，分别用二项分别，泊松件产品，分别用二项分别，泊松分布，拉普拉斯中心极限计算取出的产分布，拉普拉斯中心极限计算取出的产品中至少有品中至少有3个次品的概率？个次品的概率？解解:设设X为表示取出的为表示取出的200件产品中的次件产品中

12、的次品数品数,则则(200,0.05),XB1) 用二项分布近似计算用二项分布近似计算(3)P X 1(3)PX 2200200010.050.95kkkkC 0.9996. 2）用泊松分布计算。）用泊松分布计算。=10,().np查表得p X 3099923）用中心极限计算(3)=1- (03)p XpX3-100-101-+9.59.5 =1-2.27 +-3.240.989. 注注：当：当n很大时，二项分布可以用泊松很大时，二项分布可以用泊松分布近似计算，也可以用标准正态近分布近似计算，也可以用标准正态近似计算，本题中用泊松分布所求的值似计算，本题中用泊松分布所求的值0.9992比用标准正态所求值比用标准正态所求值0.989更接更接近二项分布求得的值近二项分布求得的值