多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用

1、第三章第三章 多指标问题及正交表在试多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用验设计中的灵活运用231多指标问题的处理单指标试验多指标试验衡量试验效果的指标只有一个衡量试验效果的指标有多个科学试验3多指标试验多个指标之间可能存在一定的矛盾，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都尽可能好的生产条件4多指标问题处理方法综合评分法综合平衡法排队评分法在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原则，对各个指标综合评分，将多个指标综合为单指标。将各个指标的最优条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。综合各个指标，按效果好坏，进行排队打分。这也是将多个指标转化为单指标。三种方法综合应用5 一、综

2、合评分法 在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原则，对各个指标综合评分，将多个指标综合为单指标。 此方法关键在于评分的标准要合理。 评分标准即权值，综合评分法也称加权评分法。6 例例31 白地雷核酸生产工艺的试验白地雷核酸生产工艺的试验 试验目的：原来生产中核酸的试验目的：原来生产中核酸的得率太低得率太低，成本成本太高太高，甚至造成亏损。试验目的是提高含量，甚至造成亏损。试验目的是提高含量，寻找好的工艺条件。寻找好的工艺条件。 本例介绍由北京大学生物系与生产厂联合攻关本例介绍由北京大学生物系与生产厂联合攻关中的第一批中的第一批L9 (34 ) 正交试验的情况。正交试验的情况。因素水平白

3、地雷核酸含量（）腌制时间（小时）加热时pH值1237.48.46.224404.86.09.0加水量1:41:31:2因素水平表7列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9 (34 )256.1108.2113.236.137.715.915.9128.4116.3132.642.838.844.25.4127.3131.1118.942.443.739.64.1143.7127.5106.247.942.535.412.5试验指标1217.812.26.28.04.54.18.57.34.429.841.359.924.350.658.230.920.473.

4、459.451.245.532.236.639.436.828.547.7综合评分1 核酸泥纯度（）2 纯核酸回收率（）试验方案及结果分析分数2.5纯度0.5回收率2.517.8+0.529.8=59.4850454035 A3 A2 A1 B3 B2 B1 C3 C2 C1 D3 D2 D1因素指标指标（得分）因素图因素水平白地雷核酸含量（）腌制时间（小时）加热时pH值1237.48.46.224404.86.09.0加水量1:41:31:2最优条件：A1B3C2D19 从图上和表上的极差都可以看出，因素的主次为： 所以，A取A1，D取D1，PH值选取便于操作的水平C2，B取B3，故，最优条

5、件为：A1B3C2D1 事实上，试验结果也证明，上述最优条件效果很好。投产后核酸质量得到显著提高，做到了不经提纯一次可以入库。ADBC主次10正交设计助手极差分析11 极差分析12指标因素图13 二、综合平衡法 （1）对各个指标进行分析，与单指标的分析方法完全一样，找出各个指标的最优生产条件。 （2）将各个指标的最优生产条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。14 例32 液体葡萄糖生产工艺最佳条件选取试验目的：生产中存在的主要问题是出率低，质量不稳定，经过问题分析，认为影响出率、质量的关键在于调粉、糖化这两个工段，决定将其它工段的条件固定，对调粉、糖化的工艺条件进行探索。 （1）出率

6、：越高越好 （2）总还原糖：在3240之间 （3）明度：比浊度越小越好，不得大于300mg/l （4）色泽：比色度越小越好，不得大于20ml。15因素水平A粉浆浓度（Be）B粉浆酸度（PH）C稳压时间（分）1231618201.52.02.50510D工作压力（kg/cm）2.22.73.2因素水平表产量还原糖明度色泽指标前进16 四个因素对四个指标的主次关系为：四个因素对四个指标的主次关系为： 产量：产量： DCA B 还原糖：还原糖：BDAC 明度：明度： ABCD 色泽：色泽： BACD 分析顺序确定（分析顺序确定（BADC）主 次B对还原糖和色泽影响均最大，应首先分析；A对明度影响最大

7、，对色泽影响较大，次要分析；然后是D、Cif权重：权重： 8 4 2 1则：则： A16、B21、C9、D14分析顺序：分析顺序：BADC返回前进17 综合考察四个指标，还原糖含量要求在3240之间，从趋势及因素主次知道B的影响最重要，取1.5和2.5都不行，只有选2.0最合适。B取B2最好。 从色泽来看，B最重要，而且仍然以B2最好； 从明度来看，B为次要因素，但也仍以B2为好； 因此可确定B2是最优水平。 粉浆浓度A对产量影响很大，取A1最好。但对于明度来说，取A1时大于300不合适，浓度A2时比A1略低一些，但其它指标，除色泽外，都能达到要求。因此粉浆浓度定位A2。返回前进18 工作压力

8、对产量影响最大，取D3最好。但它的色泽不好，用2.7产量会低一些，但其余指标都还比较好，因此确定为D2。 稳压时间对四个指标来说，对产量影响最大，对还原糖没有什么影响，对明度、色泽影响也不大，照顾产量应选C25分钟。但此时色泽、明度都不好，考虑将时间延长一些，定为57分钟。 最后得出最优条件为：A2 B2 C2 D2 事实上，结果证明采用后各项指标都有明显提高。返回前进19列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9 (34 )3266325731201088.71085.7104048.73125325832331050.710861077.735.331743

9、308316110581102.71053.749303932163318101310701129.3116试验结果产量（斤）99611351135115410241079100210991019试验方案及结果计算表-1返回2011301110107010401010 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3因素产量（斤）指标因素图-1返回21列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9 (34 )112109.813337.336.337.711.1126.4117.291.242.139.130.411.7112.4111.811

10、0.637.537.336.90.6108.811211436.337.3381.7试验结果还原糖（）41.639.43142.437.230.242.440.630试验方案及结果计算表-2返回2242383430 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3因素还原糖含量（）指标因素图-2返回23列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9 (34 ) 130 525 525 433.3 175 175258.3 825 625 900 275 208.3 30091.7 800 800 650 266.7 300 216.783.3

11、925 725 700 308.3 241.7 233.375试验结果明度（mg/l）近 500近 400近 400 200 125近 200 125 100 300试验方案及结果计算表-3返回24450390330270210150 A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3因素明度（mg）指标因素图-3返回25列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B1C3D4L9 (34 )4580801526.726.811.76050952016.731.7156080652026.721.76.770607523.320255试验结果色泽（ml）101

12、025 30近 20近 30近 20 20ECDFBif权重： 32 16 8 4 2 1则： A48、B3、C24、D6、E33、F4分析顺序：AECDFB前进下页33 电沉积的最佳工艺水平: 镀速:E5A5C4D2F5B4 光亮度:A4C5(B4D2F2)E4 分析顺序：AECDFB 综合两个指标后,得出最佳工艺水平为: A4B4C4D2E5F4 A4B4C4D2E5F5亦可前进返回34 确定电沉积光亮镍铁合金的最佳配方及工艺条件为: 硫酸镍:NiSO47H2O: 25g/l 硫酸亚铁:FeSO47H2O: 3-5g/l 硼酸: H3BO3: 9g/l 温度：50 PH值：3.84.2 电

13、流密度：3.5A/dm2前进返回35指标因素图-A镀速光亮度返回最优条件：A4因素A对镀速和光亮度都重要36指标因素图-B镀速光亮度返回最优条件：B4因素B对镀速和光亮度都不重要37指标因素图-C镀速光亮度返回最优条件：C4因素C对镀速和光亮度都重要38指标因素图-D镀速光亮度返回最优条件：D2因素D对镀速和光亮度在同一点出现最优39指标因素图-E镀速光亮度返回最优条件：E5因素E对镀速重要，对光亮度不重要40指标因素图-F镀速光亮度返回最优条件：F4/F5因素F对镀速和光亮度都不太重要41 三、排队打分法 根据试验结果，综合全部指标，按效果好坏，进行排队打分 对综合评分进行直观分析 缺点：分

14、数平均分布，会影响指标主次关系返回42lA4B4C4D2E5F5，但指标主次关系不具有意义，但指标主次关系不具有意义返回4332 水平数不同的正交表的使用 一、直接套用混和正交表直接套用混和正交表 例例33 为了探索某胶压板的制造工艺，因素为了探索某胶压板的制造工艺，因素水平如表水平如表因素水平A压力（公斤）B温度（ ）C时间（分 ）123481011129590912此试验方案可以直接套用混和正交表此试验方案可以直接套用混和正交表L8(424)44因素水平12345678A1B2C345四块胶板得分指标总分1122334412121212121221211221122112122112664

15、42446653414356423142464221212241911135141017试验方案及计算结果表试验方案及计算结果表45K1K2K3K4k1k2k3k4RRS412419275.13.02.43.42.73.433.3448633.03.90.92.67.03164474.02.91.13.19.0357540.2859521.53K=111P=385.03试验方案及计算结果表（续表）试验方案及计算结果表（续表）46因素水平完全一样时，因素的主次关系完全由极差因素水平完全一样时，因素的主次关系完全由极差R的大的大小来决定。当水平数不完全一样时，直接比较时不行的，因为小来决定。当水平

16、数不完全一样时，直接比较时不行的，因为量因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。因量因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。因此要用系数对极差进行折算此要用系数对极差进行折算。折算系数水平数折算系数d23456789100.710.520.450.400.370.350.340.320.3147(3 1)2.7 0.4583.40.9 0.71162.61.1 0.71163.1ABCRRdnRRR所以：折算后用折算后用R 的大小衡量因素的主次，的大小衡量因素的主次，R 的计算公式为：的计算公式为：由上计算可知因素主次顺序为：由上计算可知因素主次顺序为：ACB主次然后可用前

17、面所讲的方差分析法分析即可得出结果然后可用前面所讲的方差分析法分析即可得出结果48 二、并列法二、并列法对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平的正对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平的正交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的改造，得到交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的改造，得到新的混和水平的正交表。新的混和水平的正交表。L8(424)表就是由表就是由L8(27)改造而来：改造而来：列号试验号1 2 3 4 5 6 7 123456781111222211221122112222111212121212122121122112211221211249 （1）首先从）首先从L8(

18、27) 中随便选两列，例如中随便选两列，例如1、2列，列，讲次两列同横行组成的讲次两列同横行组成的8个数对，恰好个数对，恰好4种不同搭种不同搭配各出现两次，我们把每种搭配用一个数字来表配各出现两次，我们把每种搭配用一个数字来表示：示：新列新列试验号试验号1 212345678111122221122112211223344规则：规则：(1,1)1(1,2)2(2,1)3(2,2)450 （2）于是）于是1、2列合起来形成一个具有列合起来形成一个具有4水平的新列，再将水平的新列，再将1、2列的交互作用列第列的交互作用列第3列从正交表中去除，因为它已不能再安排列从正交表中去除，因为它已不能再安排任

19、何因素，这样就等于将任何因素，这样就等于将1、2、3列合并成新的一个列合并成新的一个4水平列：水平列：列号试验号1 2 3 4 5 6 7 123456781122334412121212121221211221122112212112L8(424)正交表正交表51显然，新的表显然，新的表L8(424)仍然是一张正交表，仍然是一张正交表，不难验证，它仍然具有正交表不难验证，它仍然具有正交表均衡分散均衡分散、整齐可整齐可比比的性质。的性质。 （1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中，各）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。水平出现二次，二水平

20、列各水平出现四次）。 （2）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同（对）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同（对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一列二水平，于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一列二水平，它们各横行的八种不同搭配它们各横行的八种不同搭配(1,1) 、(1,2) 、(2,1) 、(2,2) 、(3,1) 、(3,2) 、(4,1) 、(4,2) 各出现一次。各出现一次。52例例34 聚氨酯合成橡胶的试验中，要考察聚氨酯合成橡胶的试验中，要考察A、B、C、D对抗张强度的影响，其中因素对抗张强度的影响，其中因素A取取4水平，因素水平，因素B、C、D均取二水平，还需要

21、均取二水平，还需要考察交互作用考察交互作用AB、AC。显然这是一个显然这是一个4123因素的试验设计问题。因素的试验设计问题。自由度计算如下：自由度计算如下： fA=4-1=3 fB = fC = fD =2-1=1 fAB = fAC =(4-1)(2-1)=3 f总总=3+31+23=12故可以选用故可以选用L16(215)改造得到的改造得到的L16 (41 212)混混和正交表安排试验和正交表安排试验53表头设计如下：表头设计如下：表头设计 A B AB C AC D列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1554 三、拟水平法：三、拟水平法：拟水平法是将水

22、平数少的因素纳入水平拟水平法是将水平数少的因素纳入水平数多的正交表中的一种设计方法。数多的正交表中的一种设计方法。 例例35对例对例11的转化率试验，如果除已考虑的温度的转化率试验，如果除已考虑的温度（A）、时间（）、时间（B）、用碱量（）、用碱量（C）外还要考虑搅拌速度）外还要考虑搅拌速度（D）的影响，而电磁搅拌器只有快慢两挡，即因素）的影响，而电磁搅拌器只有快慢两挡，即因素D只只有两个水平，这是一项四因素的混合水平试验，如果套用有两个水平，这是一项四因素的混合水平试验，如果套用现成的正交表，则以现成的正交表，则以L18（2137）为宜，但由于人为物力为宜，但由于人为物力所限，所限，18次试

23、验太多了，能否用次试验太多了，能否用L9(34)来安排呢？这是可来安排呢？这是可以的，解决的办法给搅拌速度凑足三个水平，这个凑足的以的，解决的办法给搅拌速度凑足三个水平，这个凑足的水平叫拟水平。我们让搅拌速度快的（或慢的）一档多重水平叫拟水平。我们让搅拌速度快的（或慢的）一档多重复一次，凑成三个水平。复一次，凑成三个水平。55 ST、SA、SB、SC的计算与原来相同，只是的计算与原来相同，只是SD的计算不同试验方案的计算不同试验方案及结果计算表见及结果计算表见3 31919。221211()()63DDDQKK2115322504.53212976 因素水平A温度()B时间(分)C用碱量(%)

24、D搅拌速度12380859090120150567快慢快5657DDTeDS =QP=22504.5SS =822211f211ABCDeTABCDeTABCD22500=4.5由于=S +S +S +S +S所以=S -S -S -S -S而f =f -f -f -f -f 这里 58 显然，因素显然，因素D的影响是不显著的，可将它的影响是不显著的，可将它与误差合并，因此方差分析表与表与误差合并，因此方差分析表与表25完全一完全一样。通过此例我们可看到拟水平法有如下特点：样。通过此例我们可看到拟水平法有如下特点： （1）每个水平的试验次数不一样。转化率的试验，）每个水平的试验次数不一样。转化

25、率的试验，D1的试验有的试验有6次，而次，而D2的试验只有的试验只有3次。通常把预次。通常把预计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的水平试验次数少一些。水平试验次数少一些。 （2）自由度小于所在正交表的自由度，因此）自由度小于所在正交表的自由度，因此D占占了了L9(34) 的第四列，但它的自由度的第四列，但它的自由度f fD D=1=1小于第四列小于第四列的自由度的自由度f fD D=2=2.就是说，就是说，D虽然占了第四列，但没有虽然占了第四列，但没有占满，没有占满的地方就是试验误差占满，没有占满的地方就是试验误差.59 还需作两点说明：还需作两

26、点说明： （1）因素）因素D由于和其他因素的水平数不同，用极差由于和其他因素的水平数不同，用极差R来比来比较因素的主次是不恰当的。但用方差分析法仍能得到可靠较因素的主次是不恰当的。但用方差分析法仍能得到可靠的结果。的结果。 （2）虽然拟水平法扩大了正交表的使用范围，但值得注）虽然拟水平法扩大了正交表的使用范围，但值得注意的是，正交表经拟水平改造后不再是一张正交表了，它意的是，正交表经拟水平改造后不再是一张正交表了，它失去了各因素的各水平之间的均衡搭配的性质，这是和并失去了各因素的各水平之间的均衡搭配的性质，这是和并列法所不同的。列法所不同的。60 四、混和水平有交互作用的正交设计四、混和水平有

27、交互作用的正交设计例例35 有一试验需要考虑有一试验需要考虑A、B、C、D四个四个因素，其中因素，其中A为四水平因素，为四水平因素，B、C、D都为二水都为二水平因素，还需要考虑它们的交互作用平因素，还需要考虑它们的交互作用AB、 AC、 BC 试验安排：试验安排：f总总=(41)3(21 ) 2 ( 41 ) ( 21 ) ( 21 ) ( 21 ) 13故选用故选用L16(215)正交表。正交表。61 （1）将）将L16(215)中的第中的第1、2、3列改造为四水平的，列改造为四水平的，得到得到L16(41 212)表；表； （2）将）将A占占1、2、3列，如果列，如果B放第放第4列，则由交

28、互列，则由交互作用表知：作用表知：1,45；2,46；3,47。于是。于是AB要占要占5、6、7三列；三列； （3）将）将C排在第排在第8列，可以查得：列，可以查得： 1,89；2,810；3,811。于是。于是AC要占要占9、10、11三列；三列； （4）B在第在第4列，列，C在第在第8列，列，4,812，BC放放12列列 （4）D可以安排在剩余的任何一列，假如放在第可以安排在剩余的任何一列，假如放在第15列。列。62表头设计 A B AB C AC BC D列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15表头设计如下该表头设计也可以有其它方式，比如表头设计 D A

29、 A BC A B AC AB AC AB C AB AC 列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15636433 活动水平与组合因素法 一、活动水平法一、活动水平法在多因素试验中，有时两因素和多因素直接在多因素试验中，有时两因素和多因素直接存在着相互依存的关系。即一个因素的水平的选存在着相互依存的关系。即一个因素的水平的选取将由另一因素的水平来决定，或者一因素水平取将由另一因素的水平来决定，或者一因素水平的选取将随着另一因素水平的选取情况而变化，的选取将随着另一因素水平的选取情况而变化，此时可采用活动水平法此时可采用活动水平法6566编号AgNO3(克/升）K

30、CN(克/升）15015010010025016025016067250/183150 274/100167：100氰化钾：硝酸银183：100如果这个比值不变，硝酸银用量是150克/升时，则氰化钾的用量应该是167150克 升100克 升6869707172111123A B C D E6AAgNO : 150/KCN: 250/C 6A4223所以初步确定了五个因素的水平为：从提高镀银速度来看，可试验将电流密度提高为，其余因素水平不变。试验后发现效果很好，这样就定了好的配方和工艺是：克 升克 升(NH ) S O : 不用温度： 50电流密度：73 二、组合因素法二、组合因素法在试验工作中

31、，力求通过尽可能少的试验次在试验工作中，力求通过尽可能少的试验次数并获得得与其相当的效果。在用正交试验设计数并获得得与其相当的效果。在用正交试验设计安排试验时，减少试验次数的有效方法就是把两安排试验时，减少试验次数的有效方法就是把两个或两个以上的因素组合起来当作一因素看待。个或两个以上的因素组合起来当作一因素看待。组合成的这个因素叫组合因素，采用组合因素法组合成的这个因素叫组合因素，采用组合因素法时，安排试验和试验结果分析的方法和一般正交时，安排试验和试验结果分析的方法和一般正交试验相同。试验相同。747534 分割试验法 分割试验法又称为裂区法分割试验法又称为裂区法 分割试验的基本思想：分割

32、试验的基本思想：在比较复杂的试验中，要经过好几道工序才能得出结在比较复杂的试验中，要经过好几道工序才能得出结果，这些工序重复起来难易不等。为了对这类试验进行设果，这些工序重复起来难易不等。为了对这类试验进行设计，我们可以既按照工序的先后，又按照工序重复的难易计，我们可以既按照工序的先后，又按照工序重复的难易成度，把因素区分为一级因素、二级因素、三级因素等。成度，把因素区分为一级因素、二级因素、三级因素等。安排试验时，尽可能使重复困难的工序少做试验，而让重安排试验时，尽可能使重复困难的工序少做试验，而让重复容易的工序多做些试验。复容易的工序多做些试验。76 例例38 人造丝制造工艺大致由原液工序

33、、人造丝制造工艺大致由原液工序、纺丝工序、加工工序三部分组成。纺丝工序、加工工序三部分组成。为了提高人造丝的强度进行工业试验。为了提高人造丝的强度进行工业试验。提出提出A（2水平）、水平）、B（2水平）、水平）、C（2水平）作为水平）作为原液工序因素，提出原液工序因素，提出D（2水平）、水平）、E（2水平）作为加水平）作为加工工序因素，假定因素间无交互作用，因此可用工工序因素，假定因素间无交互作用，因此可用L8(27)正交表安排试验。正交表安排试验。为节约试验材料，可进行分割试验。把为节约试验材料，可进行分割试验。把A、B、C作作为一级因素，为一级因素，D、E作为二级因素。也就是说，当作为二级

34、因素。也就是说，当A、B、C的某一特定组合所构成的原液工序的一批产品送往加的某一特定组合所构成的原液工序的一批产品送往加工工序。这样工工序。这样L8(27)的试验就不要用的试验就不要用8批人造丝原液了。批人造丝原液了。777879 由上可见，只要生产由上可见，只要生产A1B1CI,A1B2C2,A2B1C2,A2B2C1 四批原液，再把各批源液分成两份就行了，这样就四批原液，再把各批源液分成两份就行了，这样就达到了分割试验的目的。达到了分割试验的目的。例310 有有A、B、C、D四个因素，每个都有两四个因素，每个都有两个水平，个水平，A、B是一级因素，它们没有交互作是一级因素，它们没有交互作用

35、，试验如何安排？用，试验如何安排？80仔细观察正交表仔细观察正交表L8(27)可以发现：第可以发现：第1、2列的水平号从列的水平号从上往下是成对的出现。这样，我们把因素上往下是成对的出现。这样，我们把因素A、B分别配置在分别配置在1、2、3列上。剩下的配列上。剩下的配D、E，如，如6、7列。列。列号列号试验号试验号1 2 3 4 5 6 7 1234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112试验时，只要生产试验时，只要生产A1B1、A1B2、A2B1、A2B2四批原液，再把各原液四批原液，再把各原液分成两分即可，这样

36、达到了分割试验的目的。分成两分即可，这样达到了分割试验的目的。81列号列号试验号试验号A B1234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112一级因素一级因素随机化随机化二级因素二级因素随机化随机化134212212112实际试实际试验号码验号码12658734正交分割试验正交分割试验4 5 6 782作作F检验时，一级因素用一级误差来检验，二级因素用二级误差来检验。检验时，一级因素用一级误差来检验，二级因素用二级误差来检验。如果如果Se1 /Se2不显著时，也可以将两项合并，作为共同的误差估计。不显著时，也可以将两

37、项合并，作为共同的误差估计。83 例例310 设有设有A 、B 、C 、D 、E 、F六个因素，其六个因素，其中中AB、AD、BD存在交互作用。存在交互作用。 A：一级因素：一级因素 B、C：二级因素：二级因素 D、E、F：三级因素：三级因素 f总总6(2-1)+3(2-1)(2-1)=9 故需要选用故需要选用L16 (215 )来安排试验。来安排试验。84L16 (215 )的分组情况的分组情况1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 2 3 4不同级的因素不能放在同一组，表头设计如下不同级的因素不能放在同一组，表头设计如下1 2 3 4 5 6 7 8 9

38、10 11 12 13 14 151 2 3 4表头设计列号组别A B AB C D A D E B D F第第2组没有安排试验，是为了给一级误差有一个估计组没有安排试验，是为了给一级误差有一个估计8512345678910111213141516因素列号试验号ABCDEF111111112222222211221122112211221122112222112211121212121212121212122121121221211221122121122112一级因素随机化二级因素随机化三级因素随机化实际试验号34121111222221211221121221211091211786515

39、1613144321正交表分割试验安排正交表分割试验安排86方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度Ae1BCABe2DEFA DB De3总和总和SA=S1Se1=S2 + S3SB=S4SC=S6SAB=S5Se2=S7SD=S8SE=S10SF=S13SAD=S9SBD=S12Se3=S11 + S14 + S15151TiiSS正交分割试验方差分析表正交分割试验方差分析表12111111111387 正交分割试验步骤：正交分割试验步骤：（1）把因素分为一级、二级）把因素分为一级、二级等。等。（2）选择适当正交表，把一级因素安排在第一组（或一、）选择适当正交表，把一级因素安排在第一组（或

40、一、二组），二级因素安排在后面一组，依次类推，不同级的二组），二级因素安排在后面一组，依次类推，不同级的因素不可在同组。因素不可在同组。（3）有些交互作用不可忽略，设计时要注意不要让它和因）有些交互作用不可忽略，设计时要注意不要让它和因素混杂。素混杂。 分割法交互作用规律：分割法交互作用规律：（1）如果两个因素在不同组，则交互作用一定在两因素中）如果两个因素在不同组，则交互作用一定在两因素中的较高的一组的较高的一组（2）属于同一组的二因素的交互作用，其全部和一部分落）属于同一组的二因素的交互作用，其全部和一部分落在比它低的组中。在比它低的组中。 方差分析时先算出各列的平方和。方差分析时先算出各

41、列的平方和。883-5 部分追加法试验设计 在完成一组正交试验设计的试验和分析之后,若对某一显著因素的新水平感兴趣,则希望对新水平进行试验。但再做一组正交试验比较麻烦,而部分追加法试验设计可避免这种麻烦。这种方法在设计试验时还可把多下来的水平按此法进行处理。 表3-33给出了这种试验设计结果。因素B、C、D为两水平,A为五水平。A的14四个水平采用本章第二节的方法安排在内(1)(3)列组成的四水平新列内,A5则将4水平再重复两次,即第9、10两次试验,这样就完成了部分追加法试验设计。89表表333 部分追加法试验设计表部分追加法试验设计表90 2. 部分追加法试验结果计算部分追加法试验结果计算

42、 由于把由于把10次试验设想成次试验设想成16次试验次试验,因此计算时应按以下方因此计算时应按以下方法进行。法进行。 (1) 平方和计算平方和计算 SA=1/4(A12+A22+A32)+1/2(A42+A52)-G2/16 SB=1/16(B1-B2)2 SC=1/16(C1-C2)2 SD=1/16(D1-D2)2 ST=2(x12+x22+x32+x42+x52+x62)+x72+x82+x92+x102-G2/16 Se=ST-(SA+SB+SC+SD)912）修正系数）修正系数k的计算的计算 而误差平方和修正系数按下式计算而误差平方和修正系数按下式计算: 式中式中N选用的正交表试验次

43、数选用的正交表试验次数;P P正交表中安排的水正交表中安排的水平数平数; ; P P追加实验安排的水平数。追加实验安排的水平数。M实际完成的试验次数实际完成的试验次数; 1 311NMkPPfN1312NMfkNefNke929336配比试验和寿命试验 一、配比试验 如果对试验的总量不加限制，这就是所谓的配方试验。 如果限定总量必须是指定的数量，那么，这时的配方问题等价于配比问题。两者相互完全决定：即配方决定一组配比；反过来，配比决定出配方（一组配方等价于一组配比加上总用量）。 （一）电缆料配方 该厂选用了A、B、C三种增塑剂，根据国内、外的生产经验已知，当PVC树脂为100份时，增塑剂应取4

44、6份。那么A、B、C应各取几份搭配在一起才好呢？他们用单因素轮换法作试验，确定了A为18份，B为10份，C为18份。此时，电缆料的各项性能都达到了英国标准。这时该厂学习了正交试验法，他们决定要用正交试验法来降低生产成本。94 由于三种增塑剂的价格不等，由于三种增塑剂的价格不等，C的价格最高，的价格最高，A的价格次之，的价格次之，B的价的价格最低，因此正交试验的目的是试图减少格最低，因此正交试验的目的是试图减少C的用量比较，加大的用量比较，加大B的用量的用量比较，寻找既要满足性能指标，又要降低成本的配方。排出因素水平表比较，寻找既要满足性能指标，又要降低成本的配方。排出因素水平表336所示。所示

45、。因素ABC水平1水平2水平321份18份15份10份5份15份18份12份15份95（二）实验方案（二）实验方案（1）配比试验方案）配比试验方案96 在电缆料的配方中，增塑剂的总份数应为在电缆料的配方中，增塑剂的总份数应为46份。份。但是，在上面的配比试验方案中，有些试验条件但是，在上面的配比试验方案中，有些试验条件的三种增塑剂的总份数的三种增塑剂的总份数ABC不为不为46份，不能份，不能直接作试验。比如，第直接作试验。比如，第3号试验条件的增塑剂总份号试验条件的增塑剂总份数为数为1510123746份，须作调整，使增塑份，须作调整，使增塑剂的总份数为剂的总份数为46份。做调整如下：份。做调

46、整如下： A=15*46/37=18.7（份） B=10*46/37=12.4（份） C=12*46/37=14.9（份）9798 从计算结果看出：从计算结果看出：A、B、C均以中等用量较好，均以中等用量较好，其中其中C的的15份比原配方的份比原配方的18份有所减少，节约了成本。份有所减少，节约了成本。最后，又围绕最后，又围绕“算一算算一算”好条件安排了第二批试验，好条件安排了第二批试验，找到了增塑剂的较好配方，在成本上比第一批的最好找到了增塑剂的较好配方，在成本上比第一批的最好条件又有所下降，经济效益十分显著条件又有所下降，经济效益十分显著。二、寿命试验寿命试验9937误差与重复 一、误差与

47、重复 在大多数实验中，当观察到的条件保持不变时，试验结果仍具有一定程度的误差。如果已经知道结果很准确，即误差很小，那么，可以不做相同条件的重复试验。否则，当做完正交试验后，应该对其中少数的好条件做些重复试验。后面这句话有两点含义：一是通过重复能看出误差的大小；二是好结果值得核实，而不必重复差的条件。经过重复，如果误差很小，这意味着干扰不大，容易看出条件的好或差.100101 几批不同的正交试验，联合在一起，还是正交试验。用这种办法，既重复了水平，又考察了新条件。对联合的大表进行统一的计算，由于加密了条件，因而增加了计算展望的可靠性。二、扣除区组因素的系统效应 在第一章第三节的二硝基苯肼L8(2

48、7)试验中，假设试验的结果在两台性能可能不一致的仪器上试验。为了排除仪器差别的干扰，安排方案时，可把化验仪器G这个区组因素安放到）表中没有因素的第7列上。两个水平分别是：水平1仪器甲，水平2仪器乙，如表340所示。 按照表340的安排，每台仪器所化验的试验号如下： 仪器甲第2、3、6、7号试验 仪器亿第1、4、5、8号试验102 这样化验，由于正交表的整齐可比性，因而在比较其他每种因素各个水平的效果时，就能避免仪器的系统误差所带来的干扰。 可是，在每号试验的结果中，却包含有这区组因素所用水平的系统误差。为了能直接比较每号试验中其他各种因素的配合条件，需要算出它们的真正结果。为此目的，应当扣除区

49、组因素所用水平的系统误差。下面提出系统误差的计算方法。 第i个水平的系统误差第i个水平的平均结果全体试验号的总平均结果第i个水平的试验结果（或平均结果）之和/第i个水平的使用次数全体试验号结果的总和/全体实验号的总数。103104221 20421258221 204 2.12586在上例中，第7列的区组因素分两个水平，应用上面的公式，可得221仪器甲 (水平1)的系统误差.4204仪器乙 (水平2)的系统误差4在各号实验中，前面种因素的配合条件的折算结果产率所用仪器的系统误差。在第2，3，6，7号的产率中减去2.125;在第1，4，5，8号的产率中加上2.125，得到8号试验前面6种因素的折

50、算结果如下表：试验号12345678折算产率58.162.951.945.165.157.939.944.1105说明：（1） 如果区组因素不止一种，但不超过空列的数目。那么，每种区组因素可以顺次安排在一个空列上。这样安排，能够算出每种因素每个水平的系统误差。除去水平所在试验号不同以外，计算系统误差的步骤是一样的。 （2）假如区组因素的数目多于空列的数目（至少有一个空列），这时可采用本章第三节（三）组合因素的办法，把几种不同的区组因素合并成一种复合的区组因素，放到一个空列上，共同使用这一列。 例如在上例中，假设有化验仪器和操作人员两种区组因素，仪器分甲、乙两台，操作人员是王、郑二人。但只有第7

51、列一个空列。复合的区组因素可以安排如下： 水平1仪器甲、王先生；水平2仪器乙、郑先生。 同时放在第7列上。这样做只能算出组合水平的联合系统误差，算不出仪器和操作人。10638 正交表的构造 1. 基本术语 不同类型的正交表的构造方法差异很大,甚至有些类型正交表的存在和构造至今还是一个未解决的数学问题。 Lu(tq)型表是一类特殊的正交表,其中: t表示水平数。它限定为某数(即除1和它自己以外,不能被任何其他数整除的大于1的正整数。如2、3、5、7、11、13、等)或系数幂(如22、32、23、等)。 u表示基本数列,可为任意正整数。 q表示总列数。 t、u为基本参数,当t、u给定后,则试验次数

52、为tu次,列数为 q=(tu-1)/(t-1) 107 一般常用的正交表,如L4(23)、L16(215)、L9(34)L16(45)、 L25(56)等属于此类型,其基本参数为(t=2、u=2)、(t=2、u=4)、(t=3、u=2)、(t=2、u=4)、(t=5、u=2)。 2. 正交表的同等变换 正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换,叫做正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的(或同构的)。 可以根据不同试验要求,把一个表变成与此等价的其他特殊型式的表。108二水平正交表的构造1.二水平运算法则 构造此类正交表要用到有限域的理论(所谓有限域,大致说就是对有

53、限个元素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算)。 我们用0和1表示二水平记号,这个有限域只有两个元素,它们的加法和乘法定义为:a加法法则: 0+0=0 0+1=1 1+1=0b 乘法法则: 00=0 01=0 11=1109 用这种规则定义加法和乘法,是有限域理论所要求的。构造正交表时,将用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都指这种有限域中的加法和乘法而言。2. 正交表与交互作用列表的构造 (1) L4(23)的构造 L4(23)表是二水平中最小的一个表。 它的两个基本参数是t=2、u=2,列数q=(4-1)/(2-1)=3。 第一列是将4个试验分成两半,前一半是“0”水平,后一半

54、是“1”水平,称为二分列。 第二列是将第一列的两个“0”水平试验和两个“1”水平试验分别再分成一个“0”水平和1个“1”水平,称为四分列。 二分列和四分列称为L4(23)的基本列 第三列是将第一列与第二列的相应水平,按“加法规则”相加所得如表1所示。110表表-1 L4(23)表的构造表的构造 1 2 3 1 0 0 0+0=1 2 0 1 0+1=1 3 1 0 1+0=1 4 1 1 1+1=0 列号列号 a b ab列号试验号 构造交互作用列表时构造交互作用列表时, ,一般引进一般引进“列名列名”和和“列名运算规则列名运算规则”来进行。用来进行。用a a、b b分别一记分别一记L L4

55、4(2(23 3) )的两个基本列的两个基本列, ,称称a a为第为第1 1列的列号列的列号,b,b为第二列的列名。第为第二列的列名。第3 3列是由第列是由第1 1列和第列和第2 2列相加得到的列相加得到的, ,它的列名可它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘得到的用第一列列名与第二列列名相乘得到的111 列名的运算规则是一种指数运算,指数的相加或相乘按加法表或乘法表给出的规则进行。二列交互作用列为其列名相乘。 如第1,2两列的交互作用列为ab=ab,即第三列;第1、3列的交互作用列为aab=a1+1b=a0b=b列,即第二列。 由此可见,当给出一组完备列的列名后,二列的交互作用列可由列名运算

56、得到。 (2) L8(27)的构造 L8(27)的参数为t=2、u=3,它有三个基本列,分别置于第1、2、4列,如表2所示。 第1列是:二分列,列名为a,这列8个试验被分成两半。 第2列的列名为b,是一个四分列。 第四列的列名为C,是8分列。 其他4列通过列间运算才能得到。112表表4 L8(27) 表的构造表的构造 1 2 3 4 5 6 7 1 0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0 2 0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=1 3 0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=1 4 0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=

57、0 5 1 0 1+0=1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=1 6 1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=0 7 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=0 8 1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1 列号试验号 将列名列成表将列名列成表,它就是它就是L8(27)的一组完备列名表如下的一组完备列名表如下:列号列号 1 2 3 4 5 6 7列名列名 a b ab c ac bc abc113 可以验证可以验证,L8(27)中任意二列的交互作用列是七列中的某一列中任意二列的交互作用列是七列中的某一列,并可通并可通过列名运算得到。如过列名运

58、算得到。如1、7两列的交互作用两列的交互作用aabc=a2bc=bc列列,即第即第6列。列。 因此因此,可根据列名运算构造交互作用表可根据列名运算构造交互作用表(如表如表3所示所示)供直接查用。供直接查用。表-3 L8(27)交互作用表交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1 (2) 1 6 7 4 5 2 (3) 1 6 5 4 3 (4) 1 2 3 4 (5) 3 2 5 (6) 1 6 (7) 7114（2） Lu(2q)型正交表与交互作用列表的构造型正交表与交互作用列表的构造 根据上面的方法根据上面的方法,可以类似地构造任意基本列数为可以类似地

59、构造任意基本列数为u的二水平正的二水平正交表交表Lu(2q)和交互作用列表。和交互作用列表。 a 基本列的构造基本列的构造 在在Lu(2q)的正交表中的正交表中,有有u个基本列个基本列,分别置于第分别置于第1列列,第第2列列,第第4列列,第第2u-1列上列上,基本列的列名分别用字母基本列的列名分别用字母a、b、c来表示。来表示。 b 交互作用列表的构造交互作用列表的构造 通过上述通过上述a、b两个步骤两个步骤,就可得到正交表的就可得到正交表的q=(2u-1)/(2-1)=2u-1个列个列,这这q列即组成列即组成Lu(2q)的完备列。的完备列。 任意两列的交互作用列则是任意两列的交互作用列则是q

60、列中的某一列列中的某一列,这一列可用这两列这一列可用这两列的列名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。的列名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。115下面再以下面再以L16(215)加以说明加以说明: 它的基本列数它的基本列数u=4,即有即有4个基本列个基本列,分别置于分别置于1、2、4、8列列,其其列名分别为列名分别为a、b、c、d。 a为二分列；为二分列；b为四分列；为四分列；c为八分列；为八分列；d为十六分列。为十六分列。 第第2至第至第4列之间的列列之间的列(即第即第3列列)为第为第2列加第列加第1列列,列名列名ab,而第而第4列与第列与第8列间的列列间的列(即第即第5至第至第7列列)是