含参变量的积分

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第六节第六节 含参变量的积分含参变量的积分 一、含参变量的积分的连续性一、含参变量的积分的连续性 二、含参变量的积分的微分二、含参变量的积分的微分 三、莱布尼茨公式三、莱布尼茨公式 四、小结四、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 )().(, bxadyyxfx 一、含参变量积分的连续性是变量是变量 在在 上的一个一元连续函数上的一个一元连续函数,设函数设函数 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的连续函数上的连续函数. 在在 上任意确定上任意确定 的一个值的一个值, 于是于是

2、),(x x,bax),(yxfy从而积分从而积分xx,ba存在存在, 这个积分的值依赖于取这个积分的值依赖于取定的定的 值值. 当当 的值改变时的值改变时,一般来说这个积分的值也一般来说这个积分的值也跟着改变跟着改变. 这个积分确定一个定义在这个积分确定一个定义在上的上的 的函的函数数, 我们把它记作我们把它记作即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理1 1 如果函数如果函数 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续. . )(x 证证设设 和和 是

3、是 上的两点，则上的两点，则xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfyxxfxxx这里变量这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量参变量.x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由于由于 在闭区域在闭区域 上连续，从而一致连续上连续，从而一致连续.),(yxfR因此对于任意取定的因此对于任意取定的 ,存在存在 ,使得对于使得对于 内内的任意两点的任意两点 及及 ,只要它们之间的距离只要它们之间的距离小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyx

4、f因为点因为点 与与 的距离等于的距离等于 ,所以当所以当),(yxx ),(yxx 时时,就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由（于是由（1）式有）式有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上连续上连续. 定理得证定理得证)(x ,ba注注 既然函数既然函数 在在 上连续上连续,那么它在那么它在 上上的积分存在的积分存在,这个积分可以写为这个积分可以写为)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端积分式函数右端积分式函数 先对先对 后对后对 的二次积分的二次

5、积分.),(yxfyx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理2 2 如果函数如果函数 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上连续上连续, ,则则)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式（公式（2）也可写成）也可写成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 我们在实际中还会遇到对于参变量我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函的函数数.这样这样,积分积分xx 3,dyyxfxxx 也是

6、参变量也是参变量 的函数的函数.下面我们考虑这种更为广泛地下面我们考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质依赖于参变量的积分的某些性质.x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理3 3 如果函数如果函数 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上连续，上连续，并且并且则由积分（则由积分（3 3）确定的函数）确定的函数 在在 上也连续上也连续. .证证设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则,baxxx .),(),()()()()()()(dyyxfdyy

7、xxfxxxxxxxxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf )4(.),(),(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 当当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，时，上式右端最后一个积分的积分限不变，0 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回根据证明定理根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零时同样的理由，这个积分趋于零.又又. )()(),(, )()(),()

8、()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根据根据 与与 在在 上连续的假定，由以上两式可见，上连续的假定，由以上两式可见， 当当 时，（时，（4）式右端的前两个积分都趋于）式右端的前两个积分都趋于零零. 于是，当于是，当 时，时，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函数所以函数 在在 上连续上连续. 定理得证定理得证上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回下面考虑由积分下面考虑由积分(*)确定的函数确定的函数 的微分问题的微分问题.)(x xy

9、xf ),(定理定理4 4 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),(),()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上连续上连续, ,那么由积分那么由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分, ,并且并且二、含参变量的函数的微分上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证因为因为,)()(lim)(0 xxxxxx 为了求为了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx 由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致

10、连续性，我们有的一致连续性，我们有xf )6(),(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回其中其中 ， 可小于任意给定的正数可小于任意给定的正数 ，只要，只要 10 x 小于某个正数小于某个正数 . 因此因此),()(),( xdydyxyx这就是说这就是说. 0),(lim0 dyxyxx综上所述有综上所述有,),(),()()( dyxyxdyxyxfxxxx令令 取上式的极限，即得公式（取上式的极限，即得公式（5）.0 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理5 5 如果函数如果函数 及其偏导数

11、及其偏导数 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 则由积分则由积分(3)(3)确定的函数确定的函数 在在 上可微，并且上可微，并且xyxf ),(矩形上矩形上 连续，又函数连续，又函数 与与 在区间在区间 上可微，并且上可微，并且)7().()(,)()(,),(),()()()()()(xxxfxxxfdyxyxfdyyxfdxdxxxxx 三、莱布尼茨公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证证由由(4)式有式有)8(.),(1),(1),(),()()()()()()()()(dyyxxfxdyyxxfxdyxy

12、xfyxxfxxxxxxxxxxxx 当当 时，上式右端的第一个积分的积分限时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则不变，则0 x.),(),(),()()()()(dyxyxfdyxyxfyxxfxxxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回对于对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得右端的第二项，应用积分中值定理得),()()(1),(1)()( xxfxxxxdyyxxfxxxx 其中其中 在在 与与 之间之间. 当当 时时,)(x )(xx 0 x),(,),(),()()(1xxfxxfxxxxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回类似地可证类似地可证,当

13、当 时时,0 x).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 因此，令因此，令 ，取，取(8)式的极限便得公式式的极限便得公式(7). 0 x公式公式(7)称为称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.于是于是).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回应用莱布尼茨公式，得应用莱布尼茨公式，得1sin2sincos)(2222 xxxxxxydyxxx例例1 1 2,sin)(xxdyyxyx).(x 设设求求xxxxxxyxx23sinsin2sin2 .sin2sin323xxx 解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回

14、返回例例2 2 求求).0(ln10badxxxxIab 解解 ,lnlnxxxyxdyxabbaybay .10 baydyxdxI这里函数这里函数 在矩形在矩形yxyxf ),()0 , 10(byaxR 上连续，根据定理上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有，可交换积分次序，由此有 baydyxdyI10.11ln11 abdyybadyyxbay1011 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3 计算定积分计算定积分.1)1ln(102 dxxxI 考虑含参变量考虑含参变量 的积分所确定的函数的积分所确定的函数 .1)1ln()(102 dxxx 显然，显然， 根

15、据公式根据公式(5)得得.)1(, 0)0(I .)1)(1()(102 dxxxx 解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回把被积函数分解为部分分式把被积函数分解为部分分式,得到得到.11111)1)(1(2222xxxxxxx 11111)(102102102 xdxxxdxxdx 于是于是,42ln21)1ln(112 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上式在上式在 上对上对 积分积分,得到得到1 , 0 ,1412ln211)1ln()0()1(102102102 ddd即即.22ln422ln4422ln III从而从而. 2ln8 I上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1、含参变量的积分所确定的函数的定义、含参变量的积分所确定的函数的定义 ；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用、莱布尼茨公式及其应用.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练习题练习题.)cos(lim2;1lim120201220 dyxyyyxdyxxxx限：限：积分所确定的函数的极积分所确定的函数的极一、求下列含参变量的一、求下列含参变量的.)