多重损失模型

1、第八章多重损失模型本章结构n多重损失模型简介n多重损失残存组确定n多重损失表的构造本章中英文单词对照n多重损失模型n随机残存组n确定性残存组n绝对损失率nMultiple decrement modelsnRandom survivorship groupnDeterministic survivorship groupnAbsolute rate of decrement第一节多重损失模型简介使用背景n如果被保险人投保寿险且在缴费期间死亡，那就意味着他将获得保险赔付而且不再缴纳保险费了。就此人而言，保险人遭受到了损失。在前面七章中我们都是讨论在以死亡为唯一损失变量时，各种保险要素的确定。n在

2、实际中，除了死亡这个损失变量，我们可能还会遇到其它的提前终止缴费的损失变量，比如，寿险中，被保险人退保；劳动力计划中，雇员辞职、残疾或者退休等，都会对单一考虑死亡因素时的缴纳赔付之间的平衡构成影响。多重损失模型就是在这种背景下产生的。 一、多损失模型的构造n两变量模型 n多种损失模型的实质就是一个两变量模型。变量一是状况终止的时间 ，在寿险场合它可以表示为剩余寿命； 变量二是状况终止的原因 ，这是一个离散随机变量，比如在寿险场合，我们可以令 表示死亡， ，表示退保。 ( )T xJ1J 2J 相关函数n联合密度函数n边际分布函数( , )f t j01( )( , )( )( , )mjh j

3、f t j dtg tf t j事件的概率1( , )Pr,Pr,( , )Pr( , )babmjaf t j dttTtdt JjaTb Jjf t j dtaTbf t j dt 多重损失函数（一） n由原因j引起且损失发生在时间t之前的概率 n由原因j引起的损失发生的概率 ( )0( , )tjtxqs j ds( )0( )( , )jxh jqf s j ds多重损失函数（二）n 的密度函数n 的分布函数 ( )T x( )T x1( )( , )mjg tf t j100( )( )( , )ttmjG tg s dsf s j ds多重损失函数（三）n由各种原因引起且损失发生在

4、时间t之前的概率 n损失不会发生在时间t之前的概率 ( )10( , )( )tmtxjqs j dsG t( )( )1txtxpq 多重损失函数（四）nx+t时刻由原因j造成的损失效力 nx+t时刻由所有原因造成的总损失效力 ( )( )( , )( , )1( )jx ttxf t jf t jG tp( )( )( )( )1( )lnmjx ttxx tjtxg tdppdt 多重损失函数（五）n给定损失时间t，J的条件概率函数 ( )( )( , )()( )jx tx tf t jh j Ttg t例8.1n考虑2个损失原因的多重损失模型，其损失效力分别为：n计算该模型的联合、边

5、际、条件概率密度函数。n计算(1)(2)1,0,0100100 x tx tttt 2E TE T J 及例8.1答案（一）( )(1)(2)2( )( )0( )( )2211002expexp,0200( , )2exp,0,110020012exp,0,2100200 x sx sx sttxx sjtxx ssttpdstf t jpttttjtttj例8.1答案22( )( )1012( )( , )exp1002000.1159 ,1( )( , )0.8841 ,2,11()1,21txx sjtttg tf t jpjh jf t j dtjtjth j tjt 例8.1答案0

6、20020 ( )12exp11.59100200( ,2)2(2)121exp7.631002000.1159E Ttg t dtttttdttf tE T Jdthtttdt第二节残存组的确定随机残存组定义n考察一组a岁的 个生命，每一个生命的终止（损失）时间与原因的分布由下列联合概率密度函数确定：( )al( )( )( , )jtaa tf t jp随机残存组函数n ：在年龄 x与x+n之间因原因j而离开的成员的期望个数 n ：在年龄 x与x+n之间因各种原因而总共离开的成员的期望个数 ( ) jnxd( )nxd( )( )( )( )0,1,2,x n ajjnxataa tx a

7、dlpdttjm ( )( )( )( )( )10,1,2,mx n ajnxataa tnxx ajdlpdtdtjm 随机残存组函数n ：原先 个a岁成员在x岁时的残存数随机变量的期望( )xl( )al( )( )( )xax aallp确定性残存组的定义n总的损失效力可以看作总的损失率，而不作为条件密度函数。则一组 个a岁成员随着年龄的增加按决定性损失效力 演变 ，则原先 个岁成员在岁时的残存数为 ( )al( )y( )al( )( )( )expxxayalldy确定性残存组函数n ：在年龄 x与x+n之间因各种原因而离开的成员数 n ：现在x岁，将来因为原因j而终结的个体数(

8、)xd!( )( )( )( )( )( )( )111 expxxxxxxxyxdlllpldy( ) jxl( )( )1mjxxjll确定性残存组函数n ：因原因j而引起的损失效力n ：各种原因引起的总损失效力( ) jx( )x( )( )( )( )1( )( )01limjjjjxxxxhxxlldlhlldx ( )( )( )( )( )1( )( )011limmjxxxxxhjxxlldlhlldx 第三节损失表的构造绝对损失率n单重损失函数定义n 称为绝对损失率，是指原因j在 的决定过程中不与其它损失原因竞争。它也称为净损失率（net probabilities of d

9、ecrement）或独立损失率(independent rate of decrement)。( ) jtxq( )( )0( )( )exp1tjjtxx sjjtxtxpdsqp ( ) jtxq基本关系( )( )( )( )( )( )1( )( )( )01( )( )( )0jtxtxjjjtxx ttxx tjjjtxtxx tjjtxx ttxppppqpdtpdtq常数损失效力假定n假定条件n等价推出( )( )01jjx txt ( )( )( )( )( )( )01lnln1,2,x txxxjjxxtppjm 关系式( )( )( )( )( )( )11( )( )

10、( )( )( )( )( )( )00( )( )( )( )( )()( )( )( )( )()( )( )( )lnlnexp ln(1)11 (1)jxxjxxjjjjxxxtxxtxxxxxjjxxxxjqqjxxxxxqqjjxxxqpdtpdtqpqqpqppqqqpq 均匀分布假定n假定条件n等价推出( )( ),1,2,01jjtxxqt qjmt ( )( )( )( )( )( )( ),1,2,011txxjjjxxx ttxxqt qjmtqqpt q 关系式( )( )( )( )0( )( )0( )( )( )()( )1 exp1 exp11 expln(1)1 (1)jxxtjjxx tjtxxjxxxqqxqdtqdtt qqt qqq 由单重损失函数推导多重损失函数( )( )1( )( )( )1111( )( )( )( )( )001(1)mjxxjmmjjxxxjjmjjjjxtxx t