2006考研数三真题及解析

1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1nn1limn设函数设函数设函数f(x)在x2的某领域内可导，且fxfxe,f21,则f设函数,一-12f(u)可微，且f0一,则zf4x22y在点(1,2)处的全微分dz1,2(4)设矩阵21A,E为2阶单位矩阵，矩阵12E满足BAB2E,则(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX,Y1设总体X的概率密度为fxe'x2,X,x2,xn为总体x的简单随机样本，其样本方差S2，则ES2=、选择题：9-14小题,每小题4分，共32分，下

2、列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0,&x为自变量x在x处的增，若q0,则()量,ay与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分(A)0(A)0(A)0dx乙y.(B)0乙ydy.(C)乙ydy0.(D)dyr0.(8)设函数fh0处连续，且lim2h0h21,则(A)f0存在(B)1且f0存在(C)f0存在(D)1且f0存在(9)若级数an收敛，则级数()n1n1(A)an收敛(B)1nan收敛n1n1(C)3n3n1收敛(D)anan1收敛(10)设非齐次线性微分方程yP(x)y

3、Q(x)有两个的解yx,y?x,C为任意常数，则该方程通解是()(A)C(A)Cyixy?(B)yixCyixy?x(C)Cyixy?(D)yixCyixy?x0,已知x0,y0是fx,y在约束(11)设fx,y与x,y均为可微函数，且yx,y条件x,y0下的一个极值点，下列选项正确的是()(A)若fxx°,y°0,则fy处"。0(A)若fxx°,y°0,则fy处"。0(C)若fxx°,y°0,则fy处"。0(B)若fxx°,y°0,则fysy。0(D)若fxx°,y00,则

4、fyxg,y00(i?)设i,?/'',s均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是()(A) 若i,?,，s线性相关，则Ai,A?/b+,As线性相关.(B) 若1,2,，s线性相关，则A1,A2,，As线性无关.(C) 若i，?，,s线性无关，则Ai,A?,，As线性相关.(D) 若1,?,，s线性无关AiA?,，As线性无关.(i?)设i,?/'',s均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是()(E) 若i,?,，s线性相关，则Ai,A?/b+,As线性相关.(F) 若1,2,，s线性相关，则A1,A2,，As线性无关.(G) 若i，?，,s线性

5、无关，则Ai,A?,，As线性相关.(H) 若1,?,，s线性无关AiA?,，As线性无关.1行得B，再将B第一列的-1倍加到第2列得C,110记P010,则()001(13)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第(A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPTAP(D)cpapt(14)设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布N2,2，且，则必有(A)1(A)1(B)1(C)(D)12三、解答题:15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设fx,y设fx,y设fx,yxylimyx1ysin,xarctanx(I

6、I)0,y0,求limgx.x0(16)(本题满分计算二重积分D(16)(本题满分计算二重积分D(16)(本题满分计算二重积分Dyy2xdy,其中D是由直线yx,y1,x0,所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明：当0ab时,bsinb2cosbbasina2cosaa.(18)(本题满分8分)在XOY坐标平面上，连续曲线L过点M1,0在XOY坐标平面上，连续曲线L过点M1,0在XOY坐标平面上，连续曲线L过点M1,0,其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)求L的方程；(II)当L与直线y(II)当L与直线y(II)当L与直线yax所围成平

7、面图形的面积为-时，确定a的值.3(19)(本题满分求藉级数10分)n12n12n1x的收敛域及和函数s(x).(20)(本题满分13分)设4维向量组T11a,1,1,1,22,2a,2,2T,33,3,3Ta,3T44,4,4,4a问a为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量T1,2,1T0,1,1是线性方程组Ax0的两个解

8、.求A的特征值与特征向量(II)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得qtaqA;.“一36.(III)求A及(AE)6,其中2E为3阶单位矩阵(22)(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为fx2,令YX2,Fx,y为二维随机变量X,Y的分布函数，求：Y的概率密度fYy(II)covX,Y;(III)(23)(本题满分13分)X的概率密度为x,1,X1,X2,.Xn为来自总体0,其它0,1其它2,其中未知参数X的简单随机样本，记N为样本值x，x2,.xn中小于1的个数，求:的矩估计；(II)的最大似然估讨2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题【答案】1【详解】题目考察数列的极限

9、，由于数列中有(1)，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。1)n，则f次1、(记Un()n所以所以limnlimn(2)【答案】u2nu2nlimunn2e3limnlimn2n1、(1)2n2n)2n(1)2n()''2n1limn2n1()1'2n/lim(n2n1)12n/【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。可得出。利用题目已知的函数关系式进行求导便所以f(x)f(x)(x)e，有f(x)(e)ef(x)f(x)e2f(x)2f(x)2f(x)2f(x)3f(x)f(x)(e')e'(2f(x)2e')f(x)2ev7

10、以x2代入，得f(2)2e3f2e3.【答案】4dx2dy【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：方法1:由微分形式不变性，有22、22、.22、dzf(4xy)d(4xy)f(4xy)(8xdx2ydy)dz(1,2)f(0)(8dx4dy)4dx-2dy方法2:求偏导数，Zf(4x2y2)8x，xyf(4x22_y)(2y).以x1，y2,f(0)1zzS，代入dzdxdy便碍如上结果(4)【答案】2(4)【答案】2(4)【答案】2【详解】由已知条件BAB2E变形得，BA2EBB(AE)2E,两边取行列式,其中，AE因此，B(5)【答案】1/9B(AE)2EAE2.【详解】根

11、据独立性原理：若事件2E2,2E22EA,，An独立，则pAnjn-EpA1pa-pAn1、巾-.又随机变重31-dy03事件maxX,Y1X1,Y1X1ClY1，而随机变量X与Y均服从区间0,3上的均匀分布，有PX1；：dx1和PY1X与Y相互独立，所以，Pmax(x,y)1Px1,Y1Px1PY1【答案】2.【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量E(S2)D(X),故只要计算D(X)即可.X概率密度函数f(x)是偶函数，则xf(x)为奇函数，所以E(X)xf(x)dx02222所以E(S)D(X)E(X)E(X)E(X)2r/、_.2r/、_.2X2_Xxf(x)dx20xf(x)dx0x

12、edxoxdex2ex|0oexdx2x2ex|02。xdexx2ex|02xex|02°exdx0020(1)2.二、选择题【答案】A【详解】方法1:图示法.因为f(x)0,则f(x)严格单调增加；因为f(x)0,则f(x)是凹函数，又&x0,画f(x)x2的图形画f(x)x2的图形画f(x)x2的图形结合图形分析，就可以明显得出结论:方法2:用两次拉格朗日中值定理ydyf(x0x)结合图形分析，就可以明显得出结论:方法2:用两次拉格朗日中值定理ydyf(x0x)结合图形分析，就可以明显得出结论:方法2:用两次拉格朗日中值定理ydyf(x0x)0dy二y.f(x。)f(x0

13、x(前两项用拉氏定理)(再用一次拉氏定理)f()(xjq，其中x0f()(xjq，其中x0f()(xjq，其中x0x0己x,x°由于f(x)0,从而Aydy0.又由于dyf(xjx0,故选A方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：f(x)f(xc)f(x°)(xx°)f-()(xx。)2f(xx°)nRn,2!n!fSI'()其中Rn(xX0)n.此时n取1代入，可得(n1)!12ydyf(x°x)f(x°)f(x°)xf()(x)02又由dyf(x0)x0,选(A).(8)【答案】【详解】题目考察该抽象函数在

14、换元令xh2，由题设可得0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下:limh02f(h2)h2f(x)于正limf(x)limx0x0x因为函数f(x)在点x0处连续，故f(0)limf(x)0进而有x01lim昭肺f（x）f（0）f（0）x0xx0x0这表明f（0）0且f（0）存在.故应选（C）.【答案】D【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为an收敛所以31也收敛，所以（4n1因为an收敛所以31也收敛，所以（4n1方法2：记ann1（1）n,，则an收敛.但a.1）收敛，从而旦也收敛.选d.n12一,，1,（p级数,pz级数发散）；1，anan1n

15、1anan1n1anan1n1（p级数,p1级数发散）均发散。由排除法可知，应选D.n1,n、.n1（10）【答案】B【详解】线性方程解的性质与结构：1.由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解;2.线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解因为y（x）y2（x），所以（y（x）y2（x）是齐次微分方程的一个非零解，c是任意常数所以C（y（x）y2（x）是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，B.（11）【答案】D【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。O已知（by。）。，由（x，y）0，在（x0，y°）邻域，可确

16、定隐函数yy（x），满足y（A）y°，业dxx（x0，y0）是f（x，y）在条件（x，y）0下的一个极值点xx0是zf（x，y（x）的极值点。它的必要条件是dzf（为，y°）f（x°，y°）dydxxx0xydxxx,zf（x，y（x）的极值点。它的必要条件是dzf（为，y°）f（x°，y°）dydxxx0xydxxx,fx（x0，y°）fy（x0，y°）x（x0，y°）gy°）若fx（x0，y°）。，则fy（x0，y°）若fx（x0，y°）。，则fy（x

17、0，y°）若fx（x0，y°）。，则fy（x0，y°）0，或x（x0，y°）0，因此不选（A），（B）.若fx（x0，y°）。，则fy（x0，y°）cdz0（否则dx0）.因此选（D）X0方法2：用拉格朗日乘子法.引入函数F（x，y，）f（x，y）方法2：用拉格朗日乘子法.引入函数F（x，y，）f（x，y）方法2：用拉格朗日乘子法.引入函数F（x，y，）f（x，y）（x，y），有FxFyFfx(x,y)fy(x,y)(x,y)0x(x,y)0(1)y(x,y)0(2)因为y(x),yc)0,所以fy(x°，y0),代入得yg

18、,%)fx(x,y°)fy(X0,y。)x(x°,y°)y(X0，y°)若fx(Xo，yo)。，则fy（Xo，y°）0,选(D)（12）【答案】A【详解】方法i：若方法i：若方法i：若1,2,s线性相关，则由线性相关定义存在不全为0的数临*2广,虹使得kss0为了得到A为了得到A为了得到A1,A2,，As的形式，用A左乘等式两边，&A1k2A2ksAs02,，As线性相关.于是存在不全为。的数k1,k2,ks使得成立，所以A1,A方法2:如果用秩来解，则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质，它们是：1.1，2,，s线性相关r(2,，s)s

19、；2.r(AB)r(B).矩阵(A1,A2,As)A(2,，s)，设B(1，2,s），则由r(AB)r(B)得r(A1,A2,As)r(1,2,，s）s.所以答案应该为（A）.（13）【答案】B【详解】用初等矩阵在乘法中的作用（矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换）得出将A的第2行加到第1行得B，即B将B的第1列的-1倍加到第2列得C，即PA110010A=记001110CB010001记BQ110110因为PQ010010E,故QP1EP1001001从而CBQBP1PAP1，故选(B).(14)【答案】A.1的大小与【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断P|X1|1

20、和P|Y2|参数关系.如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化若X，有一N(0,1),且其概率密度函数是偶函数.所以P(X1)1)2P12(【)(0)1(-)1.1同理有,P(Y同理有,P(Y同理有,P(Y11)2()12(x)(x)(x)单调递增函数当P|111P|Y1时，12(-)11-)1,即2211-一,所以22,故选(A).三、解答题(15)【详解】题目考察二元函数的极限,求g(x)时,可以将y视为常数g(x)limyf(x,y)limyy1xyx1ysin%,arctanx由于x0,所以limy_一xysinlimyx,limyxylimy11-xyarctanx.1

21、所以g(x)1x1(II)xin0g(x)!哪】x)arctanxlimx0arctanxxxarctanxlimx0arctanxlimx01212x1x22xlimx0x22x2-22(1x)(16) 【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：积分区域D如下图所示.D(x,y)0y1,0xy,r2,1,y,21-、；y,212,2Jyxydxdy0dy0Jyxydx;舟(Vx)0dy-0ydy9.【详解】令f(x)xsinx2cosxf(x)sinxxcosx2sinxf(x)cosxxsinxcosxf(x)单调减少(严格),又f()cos

22、0,故0x由ba有f(b)f(a)得证x,只需证明0x时，f(x)单调增加(严格)xcosxsinxxsinx0时f(x)0，则f(x)单调增加(严格)【详解】设所求的曲线方程为yy(x),按题意,在其上任意一点P(x,y)处的切线斜率y与OP的斜率Y的差等于ax(a0,x0),即有y-ax,并且有初始条件xxy(1)0.解之，按一阶线性微分方程解的公式，有1dx1dxyexaxexdxCenxaxenxdxCxadxCx(axC)x0区间，故x0区间，故(以上1dx不写成Inx而可以写成Inx的原因是，题中有初始条件y(1)0,x取在1处而x微分方程的解应是连续的，题设x0，故其解只能取在包

23、含x1而不跨过x0,因此lnx可以写成Inx).再由y(1)0定出Ca,于是所求的曲线方程为yax(x1),a0.(II)直线yax与曲线yax(x1)的交点(0,0)与(2,2a).所以直线yax与曲线yax(x1)所围平面图形的面积为2S(a)°axax(x2S(a)°axax(x2S(a)°axax(x1)dx2242axaxdx-a03【详解】记Un记Un记Unn-12n1M有limnUn1unlimn(-1)nx2n3(n1)(2n1)(-1)n-1x2n1n(2n-1)x2所以，当x21即x1时，原级数绝对收敛;当x21,即x1时，原级数通项不趋于0,

24、级数发散,十、，_“(-俨所以，收敛半径R1.在x1处un(；),Un绝对收敛，故收敛域为1,1.求和函数，应在收敛区间内进行，即x1,1,(-1)n-1x2n1x(-1)n-1x2nn(2n-1)n1n(2n-1)令f(x)(-1)n-1x2n1n(2n-1)(x)(nn-12n(-1)x)1n(2n-1)nn-12n(-1)x1n(2n-1)n2(-1)n-1x2n12n-1(x)(n2(-1)n-1x2n112n-1)2(-1)n-1x2n1(2n-11-)2n(-1)n-1x2n21再倒回去，有xf(x)f(0)0f(t)dtx2dt2arctanx01t于是又因在X立，即有（20）【

25、详解】f(x)f(0)x0f(t)dtxx002arctant|dt220Xarctanxdt2xarctantln(1x2)(1)n1x2n1n1n(2n-1)2,2xarctant2、xln(1x),1x1处级数收敛，右边和函数的表达式在s(x)n12n11xn2n1x1处连续，因此，在x1处上式仍成八22、2xarctanxxln(1x),方法1：记A1,2,3,4，则|A|把所有列都加到第一列101010把第一列公因式(10a）提到行列式前面10(10a)342341234a340a00(10a)23a400a0234a000aa11211存在一组不等于零的数(a10)a3k1,k2,

26、k3,k4,使得K1线性相关的定义:k33k440成立，则1,2,3,4线性相关.于是当A0时方程组k11k440有非零解，此时满足线性相关的定义即：(a10)a30解得当a0或a10时,1,2,3,4线性相关.1为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且221,331,441.可以看出由于3,2,3,4的一个极大线性无关组，且3,4为4的一个极大线性无关组，且对A作初等行变换10时,A923421192342110r92343113110183441110100041101100127410010010101236100010100100001,1,1,41a234213111a123412a

27、34411aa00123a4a0a01234aa00a1,2,3,AB4，对A施以初等行变换，有方法2:1234cj0000当a0时,B，得rArB1,因1,2,3,00000000为1,2,3,4的一个极大线性无关组，且221,331,441a0时，再对B施以初等行变换，有2a1a234144a100003a1334a11001221100BC1,2，3，101010101001100114,故10,C的秩为a1,2,3,4.4线性无关；如果4线性相关，此时如果a10时,C的秩为3,故3,由于2,3,4是1,2,3,4的一个极大线性无关组，且(21)【详解】(I)由题设条件A1001,A20

28、02,故1,2是a的对应于0的特征向量，又因为1,2线性无关，故特征向量，又因为1,2线性无关，故特征向量，又因为1,2线性无关，故0至少是A的二重特征值.又因为A的每行元素之和为3,所以有A(1,1,1)t(3,3,3)t3(1,1,1)t,由特征值、特征向量的定义，0(1,1,1)T是A的特征向量，特征值为33,3只能是单根K0K30是全体特征向量，从而知是二重特征值0;属于0的特征向量于是A的特征值为3,0,0;属于3的特征向量：k33,k3k11k22,k1,k2不都为0.(n)为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化先将°单位化，得0对1,2作施密特正交化，得1(0,学

29、)"2(当普,季)T作Q(1,2,3),则Q是正交矩阵，并且QtAQ作Q(1,2,3),则Q是正交矩阵，并且QtAQ作Q(1,2,3),则Q是正交矩阵，并且QtAQ1,2,Q-1AQ(III)由qtaq，其中qtAQQT126161指2"61：6121?21"2121"31313111一316121一3261313121一3001一3001一300132（22）【详解】fy（y）Fy（y）,由于fx（x）是分段函数，所以在计算PXy时，要相应分.1段讨论.求F（一，4）2求出F（x，y）的函数.P(X2，Y4)P(X12，X24），只是与X有关，不必先2因为Fy(y)PYyPX2y，当y0时，Fy(y)0；当0y1时，FY(y)P(3X.y)01,y1,_-dx-dxy204当1y4时，FY(y)P(yX.y)*xy1dx1042J;当y4时Ry)1;36T(A-E)(QQ36