复数题型归纳史上

1、北师大版数学选修北师大版数学选修 2-22-2 第五章数系的扩充与复数的引入第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷自我总结卷一、选择题：一、选择题：1 1、复数、复数1zi （i是虚数单位是虚数单位） ，则复数，则复数(1)(1)zz虚部是虚部是( () )【答案】【答案】D DA A、-1+2-1+2iB B、-1-1C C、2 2iD D、2 21 1、0a是复数是复数( ,)abia bR为纯虚数的（为纯虚数的（）【答案】【答案】B BA A、充分条件、充分条件B B、必要条件、必要条件C C、充要条件、充要条件D D、非充分非必要条件、非充分非必要条件1 1、已知复数已知复数134zi

2、，2zti ，且且12z z是实数是实数，则实数则实数t等于等于( (A A) )期中期中考试题考试题A.A.3 34 4B.B.4 43 3C C4 43 3D D3 34 4解析解析z z1 1z z2 2(3(34i)(4i)(t ti)i)(3(3t t4)4)(4(4t t3)i.3)i.因为因为z z1 1z z2 2是实数，所以是实数，所以 4 4t t3 30 0，所以，所以t t3 34 4. .因此选因此选 A.A.1 1、若复数、若复数22(34)(56)mmmmi是虚数，则实数是虚数，则实数m满足（满足（） 【答案】【答案】D D（A A）1m （B B）6m ( (C

3、 C) )1m 或或6m ( (D D) )1m 且且6m 1 1、若、若12,z zC，则，则1212zzzz是（是（）【答案】【答案】B BA A纯虚数纯虚数B B实数实数C C虚数虚数D D无法确定无法确定1 1、若、若22(1)(32)xxxi是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数x的值是（的值是（ ）【答案】【答案】A AA A1 1B B1C C1D D以上都不对以上都不对1 1已知复数已知复数11222i,34i,zzmzz若为实数为实数，则实数则实数m的值为的值为( () ) 【答案答案】D DA A、2 2B B2C C、23D D232 2i表示虚数单位，则表示虚数单位，则200

4、8321iiii的值是（的值是（）答案答案A AA A0 0B B1 1C CiD Di2 2、已知、已知1,2iz 则则501001zz的值为（的值为（A A）A A、iB B、1 1C C、2iD D、3 32 2 、复数、复数45(22 )(13 )ii等于（等于（）答案答案: :B BA A13iB B13i C C13iD D13i 2 2、复数复数101()1ii的值是的值是（）【答案】【答案】A AA A1 1B B1 1C C3232D D32322 2、已知、已知11xx，则，则199619961xx的值为（的值为（ ）【答案】【答案】A AA A1B B1 1C CiD D

5、i2 2、( ),()nnf niinN的值域中，元素的个数是（的值域中，元素的个数是（B B）A A、2 2B B、3 3C C、4 4D D、无数个无数个3 3、在复平面内，若复数满足、在复平面内，若复数满足|1| |zzi，则所对应的点的集合构成的，则所对应的点的集合构成的图形图形yx 直线 3 3、|34 | 2zi ，则，则|z的最大值为（的最大值为（B B）A A3 3B B7 7C C9 9D D5 53 3若若Cz且且1|z，则，则|22|iz的最小值是的最小值是（C C）A A22B B122C C122D D23 3如果复数如果复数z z满足满足| |z zi|i| |z

6、zi|i|2 2，那么那么| |z z1 1i|i|的最小值的最小值是是( () )A A1 1B.B. 2 2C C2 2D.D. 5 5解析解析| |z zi|i| |z zi|i|2 2，则点，则点Z Z在以在以(0,1)(0,1)和和(0(0，1)1)为端点的线段上为端点的线段上，| |z z1 1i|i|表示点表示点Z Z到到( (1 1，1)1)的距离由图知最小值为的距离由图知最小值为 1.1.答案答案A A3 3若若2z 且且1ziz，则复数，则复数z= =)1 (2iz或或)1 (2iz3 3如果如果Cz，且且1z，则则iz21的最大值为的最大值为【答案答案】513 3 若若C

7、z且且|22|, 1|22|iziz则的最小值是的最小值是 （）答案答案: :B BA A2 2B B3 3C C4 4D D5 53 3已知复数已知复数zxyi( (, x yR，12x ) )，满足满足1zx，那么那么z在复平面上对在复平面上对应的点应的点( , )x y的轨迹是的轨迹是( () )A A圆圆B B椭圆椭圆C C双曲线双曲线D D抛物线抛物线解析解析z zx xy yi(i(x x，y yR R，x x1 12 2) )，满足，满足| |z z1|1|x x，( (x x1)1)2 2y y2 2x x2 2，故，故y y2 22 2x x1.1.答案答案D D3 3、已知

8、方程、已知方程|2|2|zza表示等轴双曲线，则实数表示等轴双曲线，则实数a的值为（的值为（A A）A A、2 2B B、2 2C C、2D D、24 4已知复数已知复数1zi ，则则z在复平面内对应的点在第几象限在复平面内对应的点在第几象限( () )【答案答案】C CA A一一B B二二C C三三D D四四4 4在复平面内，复数在复平面内，复数ii12对应的点位于对应的点位于( () )【答案】【答案】D DA.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限4 4在复平面内，复数在复平面内，复数2(13 )1iii对应的点位于对应的点位于( (

9、) )【答案】【答案】B BA A第一象限第一象限B B第二象限第二象限C C第三象限第三象限D D第四象限第四象限4 4已知已知 i i 为虚数单位，则为虚数单位，则i1i所对应的点位于复平面内点所对应的点位于复平面内点( () ) 【答案】【答案】A AA A 第一象限第一象限B B 第二象限第二象限C C 第三象限第三象限D D 第四象限第四象限5 5、3()miR，则实数，则实数m的值为（的值为（B B）A A 、2 3B B、33C C 、3D D、325 5、若、若xC，则方程，则方程| 1 3xix 的解是（的解是（C C）A A、1322iB B、124,1xx C C、43i

10、 D D、1322i5 5、复数、复数1 cossin,(2 )zi 的模是（的模是（B B）A A2cos2B B2cos2C C2sin2D D2tan26 6221212iiii的值是的值是( () )【答案】【答案】C CA Ai iB B2i2iC C0 0D D456 6复数复数iiz131的虚部是的虚部是( () )【答案】【答案】B BA A2B B2C Ci 2D Di 26 6iiii1)2(1)21 (22等于等于( () )【答案】【答案】B BA Ai 43B Bi 43C Ci 43D Di 436 6若复数若复数12aii（i i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则

11、实数是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数 a a 等于等于()()【答案【答案】D DA A-1-1B B13C C13D D3 36 6已知复数已知复数,21,321izbiz若若21zz是实数，则实数是实数，则实数b的值为的值为( () )【答案】【答案】A AA A6 6B B-6-6C C0 0D D617 对于两个复数对于两个复数i2321，i2321， 有下列四个结论有下列四个结论： 1； 1；1；133，其中正确的结论的个数为（，其中正确的结论的个数为（）【答案】【答案】BA 1B2C 3D47下面是关于复数下面是关于复数21zi的四个命题的四个命题:【答案】【答案】C1p:2z

12、 ,2:p22zi3:pz的共轭复数为的共轭复数为1 i 4:pz的虚部为的虚部为1其中真命题为其中真命题为()A23,ppB12,p pC24,ppD34,pp8若复数若复数z满足方程满足方程022z，则，则3z的值为（的值为（）【答案】【答案】CA22B22Ci 22Di 2212定义运算定义运算|abcd|adbc，则对复数，则对复数 zxyi(x，yR)符合条件符合条件|z1z2i|32i 的复数的复数 z 等于等于_解 析解 析由 定 义 运 算 ， 得由 定 义 运 算 ， 得|z1z2i| 2zi z 3 2i ， 则， 则 z 32i12i32i12i12i12i1585i.答

13、案答案1585i二、填空题：1 1若复数若复数)()4(23222Rtitttz为纯虚数，则为纯虚数，则 t t 的值为的值为_【答案】【答案】212 2 已知已知i为虚数单位为虚数单位， 复数复数2i1iz， 则则 | | z z | | . .【答案答案】2103 3若若 i i 为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数31ii_【答案】【答案】1 2i4 4 已知已知niim11， 其中其中nm,是实数是实数，i是虚数单位是虚数单位， 则则 nim【答案答案】2i5 5若若(2 )ai ibi，其中，其中, a bR，i是虚数单位，复数是虚数单位，复数abi【答案】【答案】1 2i 6 6若

14、复数若复数iia213（aR，i为虚数单位）是纯虚数为虚数单位）是纯虚数, ,则实数则实数a的值为的值为【答案】【答案】67 7、设、设1322i ，则集合，则集合 A=A=|()kkx xkZ 中元素的个数是中元素的个数是2 2 。8 8、已知复数、已知复数122,1 3zi zi ，则复数，则复数215ziz= =i9 9、计算：、计算：106131222ii答案：答案：13222i三、解答题：三、解答题：【复数的分类问题】【复数的分类问题】1 1、实数、实数m取什么值时，复数取什么值时，复数(1)(1)zm mmi是是( (）实数）实数( (）纯虚数）纯虚数( (）虚数）虚数【答案】(1

15、）m=1(2）m=02 2、已知复数、已知复数22(232)(2)zmmmmi，()mR根据下列条件，求根据下列条件，求m值值. .( () )z是实数；是实数； ( () )z是虚数；是虚数；( (）z是纯虚数；是纯虚数；( () )0z . .【答案】 (1)当 m2+m2=0，即 m=2 或 m=1 时，z 为实数；(2)当 m2+m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数；(3)当222m +3m2 = 0m +m20，解得1m =m = 22m2m1 或且，即1m =2时，z 为纯虚数；(4)当222m +3m2 = 0m +m20，解得1m =m = 22m2m1 或或，即 m=2

16、 时，z=0.3 3、m取何值时，复数取何值时，复数226(215)3mmzmmim( () )是实数；是实数；( () )是纯虚数是纯虚数. .【答案】(1)(2)230603015222mmmmmmm或是纯虚数时，或当z23mm.4 4、设复数、设复数 immmmz2322lg22，当，当m取何实数时？取何实数时？( () )z是纯虚数；是纯虚数；( () )z对应的点位于复平面的第二象限。对应的点位于复平面的第二象限。【答案】 （1）z是纯虚数当且仅当023022lg22mmmm，解得，3m(2）由023022lg22mmmm12331, 311mmmm或或所以当mm31311或3 时，

17、z对应的点位于复平面的第二象限。【求复数类型】【求复数类型】1 1、设复数、设复数z满足满足10z ，且，且12i z( (i是虚数单位是虚数单位) )在复平面上对应的点在直在复平面上对应的点在直线线yx上，求上，求z. .【答案】设zxyi（xyR、）|10z ，2210 xy而(12 )(12 )()(2 )(2)i zi xyixyxy i又12i z在复平面上对应的点在直线xy 上，22xyxy即22103xyxy ，31xy 或31xy 即(3)zi 2 2、求虚数、求虚数z，使，使Rzz9，且，且33 z. .解：设)0,(bZbabiaz且，则：ibabbbaaabiabiazz

18、)9()9(992222，由Rzz9得0922babb，又0b，故922 ba；又由33 z得：3)3(22ba， 由得23323ba， 即iz23323或iz23323。3 3、把复数把复数 z z 的共轭复数记作的共轭复数记作z，已知，已知izi34)21 (，求，求z及及zz。解：设),(Rbabiaz，则biaz，由已知得ibiai34)(21 (，化简得：iibaba34)2()2(，所以32 , 42baba，解得1, 2ba，所以iz 2，iiizz545322。4 4、设、设, a b为共轭复数，且为共轭复数，且2()34 12ababii，求，求, a b的值。的值。【教师用

19、书【教师用书】解：设解：设,( ,)axyi bxyi x yR。带入原方程得。带入原方程得22243()4 12xxy ii，由复数相等的条件得，由复数相等的条件得22244,3()12.xxy解得解得13xy 或或13xy . .对应四组解略。对应四组解略。5 5、已知已知, z为复数，为复数，(1 3 ) iz为纯虚数，为纯虚数，2zi，且，且| 5 2。求复数求复数。 （教师用书章末小结题）（教师用书章末小结题）解法解法 1 1：设,( ,)zxyi x yR，则(1 3 ) iz=(3 )(3)xyxy i为纯虚数，所以30 xy，因为| | 5 22zi，所以22|5 10zxy；

20、又3xy。解得15,5;15,5xyxy 所以155(7)2iii 。 （还可以直接还可以直接计算）计算）解解法法2：设x+yi(x，yR)，2() 22zzixyiii 依题意得(1+3i)(2+i)(1+7i)为实数，且|52，227050 xyxy，解之得17xy或17xy ，1+7i 或17i。解解法法3：（提示： 设复数Z， 直接按照已知计算， 先纯虚数得3ab， 再模长得75bbi）6 6、已知复数满足、已知复数满足|4| |4 |,zzi且且141zzz为实数，求。为实数，求。解：,( ,)zxyi x yR， 因为|4| |4 |,zzi带入得xy， 所以,zxxi xR又因为

21、141zzz为实数，所以141411zzzzzz，化简得，所以有0zz或2|1|13z 由0zz得0 x ；由2|1|13z 得2,3xx 或。所以0;22 ;33 .zzi zi （也可以直接用代数形式带入运算）7 7、求同时满足下列两个条件的所有复数；、求同时满足下列两个条件的所有复数；（1 1）10zRz，且，且1016zz；（2 2）的实部与虚部都是整数。）的实部与虚部都是整数。解：设,( ,)zxyi x yR则1010zxyizxyi2210()xyixyixy22221010(1)(1)xyixyxy因为10zRz，所以2210(1)0yxy。所以22010yxy或。当0y 时，

22、zx，又1016zz，所以xR，而102 106zz，所以在实数范围内无解。当2210 xy时，则102z zzzzzxzz。由112632xx因为, x y为正整数，所以x的值为 1，或 2，或 3。当1,3;xy 时当2,6()xy 时舍；当3,1xy 时。则1 33zizi 或,。【根的问题】【根的问题】1 1、 关于关于x的方程是的方程是0)2()(tan2ixix； 若方程有实数根若方程有实数根， 求锐角求锐角和实数根和实数根；解：设实数根是a，则0)2()(tan2ixia，即2tan2aa0) 1(ia，a、Rtan，; 01, 02tan2aaa, 1a且1tan，又20，1,4a；2 2、若关于、若关于x的方程的方程2(12 )30 xi xmi 有实根，则实数有实根，则实数m等于等于( () )A112B112iC112D112i【答案】A【向量计算】【向量计算】1 1、在复平面上在复平面上，设点设点 A A、B B、C C ，对应的复数分别为对应的复数分别为,1,42ii。过过 A A、B B、C C 做平做平行四边形行四边形 ABCDABCD ，求此平行四边形的对角线，求此平行四边形的对角线 BDBD 的长。的长。解：由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1), (1,0),(