阿波罗尼斯圆问题

1、阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版数学必修 2P.112第12题：1已知点M (x, y)与两个定点0(0,0), A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】在平面轨迹一书中，曾公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A, B为两定点，动点 P满足PAPB ,1时，动点P的轨迹为圆,则1时，动点P的轨迹为直线；当后世称之为阿波罗尼斯圆.证：设AB 2m (m 0),PAPB 以AB中点为原点，直线 AB为x轴建立

2、平面直角坐标系，则 A ( m,0), B (m,0) 又设 C (x, y),则由 PA PB得.(x m)2 y2 (x m)2 y2 ,两边平方并化简整理得(21)2 2X2 2m（1）x （2 2 22、1）y m（1），1时，x 0，轨迹为线段AB的垂直平分线;2 11 时，（xm）2y24 2m2TF，轨迹为以点（hm,O）为圆心,2 1长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】例1 满足条件AB 2, AC2BC的三角形ABC的面积的最大值是解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（ 1,0）,B (1,0)，设 C(x，y)，由

3、AC,2 BC 得（x 1）2 y2平方化简整理得y2x2 6x 1 (x 3)2 8 8 , y 2/2，则S abc 1 2y 2 2 , S abc 的最大值是 2、2 .2变式在 ABC中，边BC的中点为D，若AB 2,BC -2AD，贝U ABC的面积的最大值是.解:以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC 2AD知，AD 2BD , D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为22x 1 y(x 3)2 y 8，设C(x,y) , BC的中点为D得D( ,)，所以点C的轨迹方程为2 2(3)(y)2 8，即(x 5)2y2 3

4、2 ,2 2S abc $2 y y .< 324 2，故 S abc 的最大值是 4'： 2 .例2 在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0,a), D(0, a 2)，若存在点P，使得PA . 2PB, PC PD，则实数a的取值范围是 .解：设 P(x,y), 则,(x 1)2 y22 (x 飞)2一y2 ,整理得(x 5)2 y2 8，即动点P在以(5,0)为圆心，2-, 2为半径的圆上运动.另一方面，由PC PD知动点P在线段CD的垂直平分线y a 1上运动，因而问题就转化为直线y a 1与圆(x 5)2 y28有交点，所以a 1 22，

5、故实数a的取值范围是22 1,22 1.例3在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3，直线I: y 2x 4设圆的半径为1 , 圆心在I上若圆C上存在点M，使MA 2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围2 2解：设 C a,2a4 ，则圆方程为x ay 2a 41又设M (xo, yo),QMA 2MO2xYo 3 $ 4xo24y。2,即2xyo214读万卷书行万里路32 2 2 2这说明M既在圆x a y 2a 41上，又在圆x2 y 14上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，1 2 22 1.a 02a 4 ( 1)2 1 ,解得0 a1212，即a的取值范围是0,.552 2例4

6、已知O O: x y 1和点M(4,2) (1) 过点M向O O引切线I，求直线I的方程；(2) 求以点M为圆心，且被直线 y 2x 1截得的弦长为4的O M的方程;(3 )设P为(2)中0 M上任一点，过点 P向O O引切线，切点为 Q.试探究：平面内是PQ否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，PR请说明理由|4k218 V19解：(1)设切线I方程为y 2 k(x 4)，易得 1，解得kJk2 115、8 Vi?切线I方程为y 2(x 4).15(2)圆心到直线y 2x 1的距离为 巧，设圆的半径为r，则r 2 22 C 5)2 92 2 OM的方程为

7、(x 4) (y 2)9(3)假设存在这样的点R(a,b)，点P的坐标为(x, y)，相应的定值为，根据题意可得PQ.(x a) (y b)2 2 2/2 2 2 . 2. “、即 x y 1 (x y2 ax 2by a b )(*),又点 P在圆上 (x 4)2 (y 2)29，即 x2 y2 8x 4y 11，代入(*)式得:2 2 28x 4y 12(8 2a)x (4 2b)y (a b 11)2 (8 2a) 8若系数对应相等，则等式恒成立，2 (4 2b) 42 (a2 b2 11)12f解得 a 2,b 1, 2或a , b ,0 ,553PQ；可以找到这样的定点 R，使得 为

8、定值.如点R的坐标为(2,1)时，比值为 2 ;PR点R的坐标为(2 ,丄)时，比值为5 510四、【练习】1 如图，在等腰 ABC中，已知AB AC , B( 1,0),AC边的中点为D(2,0)，点C的轨迹所包围的图形的面积等于 解：TAB 2AD ,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为(x 3) y 4,设C(x,y)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4x, y)，所以C的轨迹方程为(4 x 3)2( y)24，即(x 1)24，面积为42.如图，已知平面平面 ，A、B是平面 与平面CB占P八、 5的交线上的两个定点，DA,AD 4, BC 8, AB使得 APD BPC，求,CB ，且 DA6，在平面上有-PAB的面积的最大值.个动解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P所满足的几何条件.,AD4DADAPA,在 Rt PAD 中，tan APD -APAPBC8同理tan BPCBPBPAPD BPC BP 2AP，这样就转化为题 3的题型.在平面 上，以线段 AB的中点为原点，AB所在的直线为 x轴,建立平面直角坐标系，则A( 3,0), B(3,