非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

1、 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性分析分析非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析q 在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 对非线性系统则不然。 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的情况远比线性系统来得复杂。 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)q 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 由于非线性系统千差万别,没有统一

2、的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)q 对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如, 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法) 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线

3、性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)q 由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的所讨论的平衡态移至原点。 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡态的范围。q 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法 变量梯度法变量梯度法 阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法克拉索夫斯基法(1/7)5.4.1 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法q 设非线性定常连续系统的状态方程为 对该系统有如下假设:1) 所讨论的平衡态xe=0;2) f(x

4、)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵 对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。)()(xfxtxxfx/ )()(J克拉索夫斯基法(2/7)q 定理定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为 为负定的矩阵函数,且为该系统的一个李雅普诺夫函数。 更进一步,当|x|时,有|f(x)|,则该平衡态是大范围渐近稳定的。 ( )( )( )JJJxxx( )( ) ( )Vxx xfx f x )()(xfxtq 证明证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为 则其导数为 ( )( ) ( )Vxx xfx f x 克拉索夫斯基法(3/7) 由于 为系统的

5、一个李雅普诺夫函数,即 正定。 因此,若 负定,则 必为负定。 所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳定的。 )()(xfxt( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )VJJJxfx f xf xf xxf xfxxxxfxx f xfxx f xfxx f x( )( ) ( )Vxfx f x( ) ( )fx f x)(xJ)()()(),(xfxxfxJtV( )( ) ( )Vxx xfx f x 克拉索夫斯基法(4/7)q 在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定

6、的一个充分条件,不是必要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统 由于不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。 可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。11220127xxxx01( )( )( )114JJJxxx克拉索夫斯基法(5/7) 若V(x)=f(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 由克拉索夫斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定的条件是J(x)+J(x)为

7、负定矩阵函数。 由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+A负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。克拉索夫斯基法(6/7)q 例例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:q 解解 由于f(x)连续可导且q 可取作李雅普诺夫函数,因此,有3221213)(xxxxxxfx 0)()3()()(23221221xxxxxxfxf2231113)()(xJxxfx2262226)()()(xJJJxxx克拉

8、索夫斯基法(7/7) 由塞尔维斯特准则有 故矩阵函数 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的。2122226260,3680226xx ( )J x变量梯度法 (1/10)5.4.2 变量梯度法变量梯度法 q 舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺夫函数提供了一种比较实用的方法。 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析Lyapunov函数的定号性。q 设非线性定常连续系统的状态方程为且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。)()(xfxt变量梯度法 (2/10)q 设所找到的非线性系统的判定平衡态xe=0是渐近稳定的李雅普诺夫函数为V(x

9、),它是x的显函数,而不是时间t的显函数,则V(x)的单值梯度gradV存在。 梯度gradV是如下定义的n维向量: 舒尔茨和吉布生建议,先假设gradV具有某种形式,并由此求出符合要求的V(x)和V(x)。11dgrad ( )dnnVxVVVVVxxx变量梯度法 (3/10)q 由可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即 式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,xn)。 由场论知识可知,若梯度gradV的n维旋度等于零,即rot(gradV)=0,则V可视为保守场,且上式所示的线积分与路径无关。11( )(grad )nnVVVxxVxxxx xxxx010dd)grad()(n

10、iiixVVV变量梯度法 (4/10) 而rot(gradV)=0的充分必要条件是: gradV的雅可比矩阵是对称矩阵,即 当上述条件满足时,式(5-29)的积分路径可以任意选择,故可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分grad ( )ijn nVVxxx,1,2,jijiVVi jnxx001( )(grad ) dd(529)niiiVVV xxxxx12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )dddnnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx变量梯度法 (5/10)q 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假

11、设为式中,aij(i,j=1,2,n)为待定系数,它们可以是常数,也可以是t的函数或x1,x2,xn的函数。 通常将aij选择为常数或t的函数。11 1122121 122221 122gradnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xVa xa xa x变量梯度法 (6/10)2) 由 定义 。 由平衡态渐近稳定时 为负定的条件,可以决定部分待定参数aij。3) 由限制条件 式中决定其余待定参数aij。4) 按式(5-31)求线积分,获得V(x)。 验证V(x)的正定性,若不正定则需要重新选择待定参数aij,直至V(x)正定为止。5) 确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。( )V

12、x,1,2,jijiVVi jnxx( )(grad )VVxx( )V x12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )ddd(531)nnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx变量梯度法 (7/10)例5-14q 由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李雅普诺夫函数的充分性方法。 用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。q 例例5-14 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。q 解解 显然xe=0是系统的平衡态。 可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为123221xxxxx 22212121211121gradxaxaxaxa

13、VVV变量梯度法 (8/10) 由gradV可得如下V(x)的导数 当时,V(x)为负定。 即上述aij所满足的条件是V(x)负定的一个充分条件。211 112221 12223212241211212212122221 1( )(grad )()()VVxa xa xa xa xxxx x aaa xxaaa xxx21121221122221000aaa xaaa变量梯度法 (9/10) 由限制条件(5-30),并设a12和a21为常数,有 综上所述,有,1,2,(530)jijiVVi jnxx12122121VVaaxx1221222112122100aaaaaa x变量梯度法 (10

14、/10) 计算线积分式(5-31),得 由于0a12a22,故V(x)是正定的。 因此,该系统原点是渐近稳定的。 当|x|时,有V(x),所以该系统原点是系统大范围渐近稳定的。1211212121122(,0)(,)0011 1121 12222002212211121 12222004221212212( )dddddd11142xxxx xxxxxVVxVxa x xa xa xxaa xx xa xa xxaaxaaxxx12112121122(,0,0)(,0,0)(,)000( )ddd(531)nnxxxnnxx xx xxVVxVxVxx阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(1/10)5.4

15、.3 阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法q 假设系统中出现的非线性关系为如图5-8所示的静态非线性关系,即它是一个单值的非线性函数,且满足,1,2(0)0( )0iiiiiiiff xkkxx fi(xi) xi ki,2xi ki,1xi fi(xi) 图图5-8 一类静态非线性特性一类静态非线性特性 上述非线性函数fi(xi)为通过坐标原点,且介于直线ki,1xi和ki,2xi之间的任意形状的曲线函数,因此具有一定的代表性,可用来描述一大类非线性系统。阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(2/10)q 考虑具有上述非线性函数关系的如下非线性系统的状态方程:( )(533)ABxxf x式中,x为n维状态变量向量

16、; A和B为适宜维数的常数矩阵; f(x)=f1(x1) f2(x2) fn(xn)T为n维关于状态向量x的向量函数。 由式(5-32)和式(5-33)可知,原点x=0是状态空间的平衡态。,1,2(0)0(532)( )0iiiiiiiff xkkxx阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(3/10)q 对于上述系统的李雅普诺夫稳定性分析,阿依捷尔曼法的思想是先用线性关系ixi取代非线性关系fi(xi),即令ixi=fi(xi)。 因而对于该非线性系统,其线性化后的系统同样可以建立正定的李雅普诺夫函数,并判定渐近稳定性; 若线性化后的系统是渐近稳定的,则由使李雅普诺夫函数的导数为负定的渐近稳定的充分条件来确

17、定原非线性系统在ki,1fi(xi)/xi ki,2xi内是否渐近稳定的。q 因此,应用阿依捷尔曼法判定非线性系统渐近稳定性的步骤如下。1) 系统中的非线性函数fi (xi)用线性关系ixi代替。阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(4/10)2) 对线性化后的系统,找出其相应的判定渐近稳定的二次型李雅普诺夫函数,即V(x)=xPx,其中矩阵P为正定的,并满足同时有V(x)=-xQx;3) 将求取的V(x)作为原非线性系统的李雅普诺夫函数,再求出它对时间的全导数,即将非线性状态方程(5-33)代入,得到非线性系统的V(x)。 最后根据V(x)应是负定的系统渐近稳定的充分条件,确定非线性关系渐近稳定时的ki

18、,1和ki,2的取值范围。0QQPAPA( )(533)ABxxf x阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(5/10)例5-15q 阿依捷尔曼法判定非线性系统渐近稳定性只是一个充分性的方法。 当非线性系统渐近稳定时,非线性关系中的ki,1和ki,2的实际取值范围可能要比用阿依捷尔曼法确定的大。 而且,对线性化系统得到的李雅普诺夫函数不同,则与其相应的ki,1和ki,2的取值范围也不同。q 例例5-15 设非线性控制系统如图5-9所示,试用阿依捷尔曼法判定该系统在给定输入r(t)=0时的渐近稳定性。 s121sy m e r(t)=0 + - 阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(6/10)q 解解 图5-9所示的非线性控制系统在给定输入r(t)=0时，系统的状态方程为式中，f(e)为单值非线性函数。 如果选择状态变量x1=e,x2=e,则系统的状态方程为)(02efmmee )(212221xfxxxx阿依捷尔曼法阿依捷尔曼法(7/10) 设非线性环节的输入输出特性如图5-10所示,那么它可以用一条直线近似,即f(x1)2x1,于是线性化状态方程为 1222122xxxxx图图5-10 非线性环节的输入输出特性非线性环节的输入输出特性 由李雅普诺夫代数方程PA+AP=-I,解出故线性化系统是渐近稳定的。03221081P阿依捷尔曼