高中数学必修2第2章点、直线、平面之间的位置关系

1、空间点、直线、平面间的位置关系 一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl二、空间直线的位置关系1位置关系的分类2平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的

2、角(2)范围：.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内l无数个直线l与平面相交lA一个直线l与平面平行l0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行0个两个平面相交l无数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线2异面直线的有关问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的

3、直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性质及应用典题导入例1(2012湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点自主解答EF綊CD1，直线D1F和CE必相交设D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点而平面ABCD平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三线共点本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面证明：E，F分别是AB和AA1的中点，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊

4、BC.四边形A1D1CB为平行四边形A1BCD1，从而EFCD1.EF与CD1确定一个平面E，C1，F，D四点共面由题悟法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合以题试法1(1)(2012江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体A

5、BCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故错误；当DADB，CACB时，这两条高线共面，故错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以

6、EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故正确答案：(1)C(2)第二章点、直线、平面之间的位置关系21空间点、直线、平面之间的位置关系21.1平面1下列符号语言表述正确的是()AAl BA CAl Dl2若一直线a在平面内，则图示正确的是() 3(2013年安徽)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面平行B过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间上述关系的集合表示是()AMa

7、，a BMa，a CMa，a DMa，a5如图K211，用符号语言可表达为()图K211Am，n，mnA Bm，n，mnACm，n，Am，An Dm，n，Am，An6过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是()A3 B4 C5 D67E，F，G，H是三棱锥ABCD棱AB，AD，CD，CB上的点，延长EF，HG交于点P，则点P()A一定在直线AC上 B一定在直线BD上C只在平面BCD内 D只在平面ABD内8下列推理错误的是()A若Al，A，Bl，B，则lB若A，A，B，B，则ABC若l，Al，则AD若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，则，重合9如图，ABCD A1B1C1D1

8、是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的序号是_A，M，O三点共线；A，M，O，A1四点共面；A，O，C，M四点共面；B，B1，O，M四点共面10如图K213，在正方体ABCD ABCD中，E，F分别是AA，AB上一点，且EFCD，求证：平面EFCD，平面AC与平面AD两两相交的交线ED，FC，AD交于一点 图K213异面直线的判定典题导入例2(2012金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因

9、此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面由题悟法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线以题试法2已知m，n，l为不同的直线，为不同的平面，有下面四个命题：m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交m，n为异面直线，过空间任一点P，一定

10、存在一个与直线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1下面结论正确的是()A空间四边形的四个内角和等于180B空间四边形的四个顶点可以在一个平

11、面内C空间四边形的两条对角线可以相交D空间四边形的两条对角线不相交2如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A平行 B相交 C平行或异面 D相交或异面3直线ab，bc，则a与c的关系是()A异面 B平行 C垂直 D相交4设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC5如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中与EF平行的有()A一条 B两条 C三条 D四条6已知异

12、面直线a，b分别在平面，内，而c，则直线c()A一定与a，b中的两条相交 B至少与a，b中的一条相交C至多与a，b中的一条相交 D至少与a，b中的一条平行7AB，CD是夹在两平行平面，之间的异面线段，A，C在平面内，B，D在平面内，若M，N分别为AB，CD的中点，则有()AMN BMN CMNMN，即MN.图D5289.410解：(1)如图D53，连接DC1，图D53DC1AB1，DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角CC1D45，AB1 和CC1所成的角是45.(2)如图45，连接DA1，A1C1， EFA1D，AB1DC1，A1DC1是直线AB1和EF所成的角A1DC

13、1是等边三角形，A1DC160，即直线AB1和EF所成的角是60.21.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1.D2C解析：如图D54，用列举法知符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故选C.图D543D4.C5.C6.D7.D89.无数10解：(1)MN与PQ是异面直线，如图D55，在正方体中，PQNC，MNC为MN与PQ所成角，因为MNNCMC，所以MNC60.图D55(2)设正方体棱长为a，则正方体的体积Va3，而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥N PQM的体积相等，且NP面MPQ，所以VNPQMMPMQNPa3，即四面体M NPQ的体积与正方体的体积之比为16.22

14、直线、平面平行的判定及其性质22.1直线与平面、平面与平面平行的判定1C2.C3.C4.A5.D6.B7(1)面A1C1，面DC1(2)面BC1，面DC1(3)面BC1，面A1C18平面PAD与平面PCD9证明：四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点，取PA的中点H，则由HEAB，HEAB，而且CDAB，CDAB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CEDH.由于DHPAD，而 CEPAD，故有CE平面PAD.10证明：E，F分别为BC，DC为中点，EF为BCD中位线，则EFBD.又EF平面BB1D1D，BD平

15、面BB1D1D，故EF平面BB1D1D.连接SB，同理可证EG平面BB1D1D.又EFEGE，平面EFG平面BB1D1D.22.2直线与平面平行的性质1D2.D3.B4.D5BD1平面AEC6证明：EH平面BCD，平面BCD平面ABDBDEHBD.7平面ABD与平面BCD8证明：过a作平面交平面于b，a，ab.同样，过a作平面交平面于c，a，ac.bc.又b，且c，b.又平面经过b交于l，bl.又ab，al.9证明：连接BD，设AC与BD交于点O，连接EO，EO是平面PBD与平面EAC的交线PB平面PBD，PB平面EAC，PBEO.又O为BD中点，E为PD中点22.3平面与平面平行的性质1C2

16、.D3.D4.A5.D6.B7.8.69解析：对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确10证明：设B1C与BC1相交于点D1，连接DD1.点D，D1分别是AB，BC1的中点，DD1AC1.又AC1平面CDB1，DD1平面CDB1.AC1平面CDB1.23直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定1A2.C3.D4.C5.A6.B7D解析：取AC的中点O，连接D1O，过点D作DED1O.在正方体中，DD1面ABCD，DD1AC，又ACOD，AC面DD1O.ACDE.DE面ACD1，即DD1O是D1D与平面

17、ACD1所成的角又BB1DD1，BB1与平面ACD1所成角即为DD1与平面ACD1所成角设DD1a，则DOa，D1Oa，所求角的余弦值为.8解析：若点B，D到平面的距离分别为1,2，则点D，B的中点到平面的距离为，所以点C到平面的距离为3；若点B，C到平面的距离分别为1,2，设点D到平面的距离为x，则x12或x21，即x1.所以点D到平面的距离为1；若点C，D到平面的距离分别为1,2，同理可得，点B到平面的距离为1.故选.9证明：ABAC，DBDC，E为BC中点，AEBC，DEBC.又AE与DE交于点E，BC平面AED.10证明：如图D56，连接AH，图D56PHBC.同理可证PHAC，又AC

18、BCC，所以PH平面ABC.23.2平面与平面垂直的判定1D2.D3.B4.C5C解析：，不正确；，正确；l，l正确，所以正确的命题有2个6垂直解析：ADDC，点E是AC的中点，DEAC.同理BEAC.又BEDEE，AC平面BED，又AC平面ABC.平面ABC平面BDE.7608B解析：只有是正确命题9证明：取AC的中点O，连接PO，OB.AOOC，PAPC，POAO.又ABC90，OBOA.又PBPA，POPO，POBPOA，POOB.又OA平面ABC，OB平面ABC，且OAOBO，PO平面ABC.又PO平面PAC，平面PAC平面ABC.10证明：(1)因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1.因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1.(2)如图D57，连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点因为D为BC的中点，所以ODA1B.因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.图D5723.3直线与平面、平面与平面垂直的性质1D2.C3B解析：画正方体验证内可以有直线不与垂直，或平行或相交，错误4D5.D6.A7证明：如图D58，过点B作BDVA于D.平面VAB平面VAC，BD平面VAC.BDAC.又VB平面ABC，VBAC