快速傅里叶变换在数字信号分析与处理中的应用

1、铜陵学院信号分析与处理期末考查论文系 别 电气工程系 专 业 电气工程及其自动化1班 年 级 11级 学 号 1109141003 姓 名 陈爱东 授 课 教 师 董德智 2013年 6月 18 日 快速傅里叶变换在数字信号分析与处理中的应用摘要快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算

2、机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换.虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用绪论傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的

3、频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以.利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然尔，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，

4、而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。一.快速傅里叶变换原理数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。DFT 存在的不足是计算量太大,很难进行实时处理。计算一个N 点的DFT ,一般需要次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算.因此,当N较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现所需的运算速度。1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey发现了DFT的一种快速算法,经其他学者进一步改进,

5、很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换, 简称FFT( The Fast Fourier Transform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的权函数的对称性和周期性,把N点DFT进行一系列分解和组合,使整个DFT的计算过程变成一系列叠代运算过程,使DFT的运算量大大简化,为DFT及数字信号的实时处理和应用创造了良好的条件。快速傅里叶变换算法如下：X(n)=K=0N=1x0（k）enkN n=0,1,2N-1 (1)由(1)式可知，对每一个n，计算X()须作N次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需N2 次乘法及N(N-1)次复数加法。但以下介绍的快速傅里叶变

6、换的算法，可大大减少运算次数，提高工作效率。当时，n和k可用二进制数表示：nY-1又记,则（1）式可改写为 （2）式中： (3)因为所以（2）可改成 （4） (5)则式（）即为式（）的分解形式。将初始数据代入式（）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将痗L-1组计算数据代入式（）的第L个等式，计算后可得第L组计算数据（L，），计算公式也可表示为= （6）式中 （7） 根据式（），第L个数组中每个 的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差，即，而且这两个数据只用于计算第L个数组中标号的数据（等号右端为二进制数）。当分别取和时，分别有。因此，用上一组的两个数据计算所得的两个新数据仍

7、可储存在原来位置，计算过程中只需要N个存储器。将与称为第L个数组中的对偶结点对。计算每个对偶结点对只需一次乘法，事实上由式（）可得式中： ；别为式（）中取，时对应的P值。因，于是对偶结点的有如下关系：,因此式（）可表示为P的求法：在中，i写成二进制数右移位，就成为颠倒位序得式（）吕，前面的个等式，每个等式均对应一组数据进行计算，每组数据都有N/对结点，根据式（），每对结点只需作次乘法和次加法，因此，每组数据只需N/2次乘法和N次加法，因而完成组数据的计算共需N/2次乘法和N次加法。二. 快速傅里叶变换与数字信号分析与处理的应用:快速傅里叶变换在喇曼光谱信号噪声平滑中的应用引言电探测系统是光信号

8、的转换、传输及处理的系统. 系统的各个部分在工作时总会受到一些无用信号的干扰,给光谱峰的检测判别及进一步的数据处理带来了不利因素.对光谱信号进行数字滤波,以获得更真实的光谱信息，显得格外重要. 目前最为通用和有效的信号滤波处理方法是快速傅立叶变换方法.纯水是一种较弱的喇曼散射介质,需要专用的喇曼散射光谱仪器才能获得高信噪比的喇曼光谱.我们以增强型的CCD 探头为探测器,结合普通的分光单色仪,在YAG 激光器532 nm 激光线的激励下获得低信噪比的纯水的喇曼光谱. 信噪比较差的喇曼光谱经过FFT 变换后,用FFT 的逆变换将滤除噪声后的频谱信号转换成为光谱信号,最终获得信噪比较高的纯水的喇曼光

9、谱. 实验原理及结果傅里叶变换的基本表达式为 （） （）式（1）中的x（n）(n=0,2,N-1)是列长为N的输入序列，即实验采集到的时域上的切片数据;x(k)(=0,1,N-1)是列长为N的输出序列，即经过傅里叶变换后的频域上的数据。 对数字化后的光谱信号而言, x(n)是一组离散的实数信号；而X(k)分为实部x(v)和虚部y()2部分。x()和y()又可组成振幅谱A()和相位谱P()：（）（）通过对式(3)和式(4)性能的考察,发现A()和P()中既含有目标信号的信息,也含有噪声的信息,如果二者所在的区域不同, 则可以通过傅里叶变换分析出噪声信息, 将之从捕获的信号中去除,从而达到噪声平滑

10、的目的, 获得高信噪比的目标信号.纯水普通喇曼散射的信号很弱,我们在532nm 脉冲激光泵浦液滴的条件下获得其散射光谱.由于样品信号极其微弱,在将CCD 的增益调至最大时,获得如图1 所示的纯水的喇曼光谱. 光谱的信噪比值用如下方式估算:设 为含噪声图像为消除噪声后的图像,图像的均方根误差为 (5)信噪比定义为除噪声后的信号与均方根误差之比 (6)计算出642. 86 643. 62 nm 光谱区的信噪比为SN R 17. 图多通道光谱分析仪采集的含有噪声的纯水普通喇曼散射信号图2 傅里叶变换后的频谱图对图2 幅度谱纵轴取对数得图噪声幅度门限值低于2 ×105 ,经门限滤波处理,在频

11、谱图中将幅度谱低于该门限值的频率成分去除,获得的频谱用FFT 的逆变换返回得到门限滤波曲线如图5 所示.计算出642. 86643. 62 nm 光谱区的信噪比为SN R484. 与图1 相比,光谱的信噪比有了极大的改善.3 结论在光谱信号受到光子噪声调制的条件下,如果光谱信号的变化频率低于高频光子噪声的变化频率,则可以通过快速傅里叶变换,获得目标信号和噪声信号的频谱,进行低通滤波和门限滤波后,分别将具有高频和不同振幅的噪声信号去除,实现对弱光谱信号干扰噪声的抑制,得到高信噪比的光谱信号。快速傅里叶变换在效果上，减轻了噪声的干扰，同时计算也不会带来过于复杂的计算。.采用异步实现的快速傅里叶变换

12、处理器1.引言快速傅里叶变换(FFT)是数字信号处理领域一个重要的分析工具,广泛应用于雷达、通讯、图像处理、声纳和生物医学领域。已经开发出多种专用快速傅里叶变换处理器,大大提高了快速傅里叶变换的运算速度。异步集成电路具有功率效率高、电磁兼容性(EMC)好、功耗低和没有时钟歪斜(Skew)的特性,同时又具有潜在的高性能,以及便于系统模块化设计的优势1。异步集成电路运算的性能是平均性能,而不是最差性能。这样,当平均性能与最差性能差别较大时,异步集成电路有希望达到比同步电路更高的潜在性能。异步集成电路采用大量本地时序控制信号来取代整体时钟,避免了当前在超大规模集成电路设计中遇到的时钟树设计和代价问题

13、。2.原理及结果异步实现的快速傅里叶变换处理器的结构如图4所示。处理器的控制由本地的握手信号控制,每个单元独立地工作,避免了同步电路中的时钟分配问题。处理器在输入数据准备好后开始工作,整个运算完成时产生一个完成信号。采用0.6m 标准CMOS工艺,设计一个8点的异步快速傅里叶变换处理器。该处理器具有2×8 比特的输入,2×15 比特的输出,2×20 比特的内部运算精度。在电路设计完成之后,采用华晶2上华的0.6m CMOS2P2M 混合电路工艺,建立了异步标准单元库,然后对异步快速傅里叶变换处理器进行了全定制设计。处理器的版图如图5 所示。图4 异步快速傅里叶变换

14、处理器结构功能仿真：用晶体管构成的电路网表描述每个单元(加法器、乘法器等) ,然后用Hspice 进行功能仿真。根据电路Hspice 仿真结果,通过抽象模型,建立每个单元的功能和延迟的逻辑模型。异步逻辑和运算模块的抽象过程比同步模块要复杂得多,因为同步模块只要用功能加上一个最差延迟就可以描述模块的功能性能模型。CMOS 的抽象过程就是用逻辑描述建立FFT的逻辑网表(带延迟) ,再用Verilog 进行逻辑仿真。性能仿真：响应时间是异步集成电路性能分析时常用的度量标准5。响应时间是指请求信号到完成信号之间的延迟,它主要有两种类型:最差响应时间和平均响应时间。其中, 最差响应时间主要依赖于电路的结

15、构和实现,而平均响应时间不仅与电路结构有关,还与输入的数据相关。文中采用Star2SimXT ,对整个异步快速傅里叶变换处理器进行了电路仿真,得到芯片完成一次变换的最差响应时间为42.85 ns ,平均响应时间为31.15 ns ,功耗约为350.7mW。3. 结论设计了一个异步的快速傅里叶变换处理器,该电路可以在异步逻辑控制下工作。性能分析表明,异步快速傅里叶变换处理器的平均性能较同步设计有优势。但是,异步集成电路完成信号的产生往往需要增加一部分电路。这不仅增加了芯片的面积,而且带来了一定的延迟,异步集成电路性能的优势能否实现,与这部分电路设计是否合理有很大的关系。另外,由于缺少成熟的EDA

16、工具、算法和设计方法学的支撑,异步集成电路设计技术在超大规模集成方面还面临很多挑战，还需继续改进。三. 快速傅里叶算法在哈特曼夏克传感器波前重构算法中的应用1. 引言哈特曼夏克传感器因其波前测量实时性好等特点而广泛用于自适应光学系统中,随着应用研究的发展,哈特曼夏克波前测量传感器的空间分辨率也要相应提高。哈特曼夏克传感器测量的是波前相位斜率,需要经过波前复原求出相位值,复原的方法主要有区域法和模式法两类,为了满足实时性的要求,哈特曼夏克传感器的子孔径较少,测量的空间分辩率因此比干涉仪低。当增加哈特曼夏克传感器的子孔径数提高空间分辨率、提高测量精度时,区域法和模式法的运算量非常大,实时性降低,限

17、制了高分辨率哈特曼夏克传感器在自适应光学系统等领域的进一步应用。针对实时性问题,提出了分块算法和迭代法进行波前重构。在区域法重构波前的基础上,应用快速傅里叶变换(FFT) 算法,提高波前复原算法的实时性,为高分辨率哈特曼夏克传感器在自适应光学技术及其它领域的应用作算法准备。2. 实验原理及结果快速傅里叶变换算法以其运算速度快、所需内存小而被广泛用于数字信号处理领域9。在求解由(1)式确定的线性方程组的过程中,需要实现方程系数矩阵的对角化,而这一过程可以通过快速傅里叶变换算法实现,从而实现(1) 式的快速求解。首先,不考虑区域中边界处的相位估计差分方程,在波前重构的区域内,即1iM -1,1jN

18、 -1,(1)式严格成立,并由它导出波前估计的矩阵方程组表示为 (2)对(2)式的矩阵AO作正交变换,得: (4)其中（） 应用快速傅里叶变换算法,乘法运算量可由直接作线性变换的 次降为次,当哈特曼夏克传感器的子孔径数比较大时,运算速度可大幅度提高,从而提高哈特曼夏克传感器波前重构算法的实时性。在波前估计的计算式(2)中,只考虑了哈特曼夏克传感器区域内的估计点,需要知道区域边界处的相位值,才能准确求解式,而哈特曼夏克传感器测量的是斜率值,给出的是诺依曼边界条件,需要作边界条件的近似求解,求得边界处的相位值。在边界上: (10)由于实际被测的波前相位是连续光滑的曲面,则在边界上的相位点是封闭连续的曲线,设: 则边界上的相位最小二乘解的矩阵表达式为 (11)其中,A为(2)式中AO的形式,对角线元素为2,维数2(M +N)-1×2(M +N)-1,<G为2(M+N)-1×