任意性与存在性问题探究

1、 函数中任意性和存在性问题探究 2011-12-22高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：；【如图一】结论2：；【如图二】结论3：；【如图三】结论4：；【如图四】结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】【例题1】：已知两个函数;(1) 若对,都有成立，求实数的取值范围；(2) 若,使得成立，求实数的取值范围；(3) 若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-4

2、5增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-450，得k45,即k45,+).小结：对于闭区间I，不等式f(x)<k对xI时恒成立f(x)max<k, xI;不等式f(x)>k对xI时恒成立f(x)min>k, xI. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此k+7

3、0，即k7,+).小结：对于闭区间I，不等式f(x)<k对xI时有解f(x)min<k, xI；不等式f(x)>k对xI时有解f(x)max>k, xI.此题常见的错误解法：由f(x)ming(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)ming(x)min”既不是是原题的充分要条件，也不是必要条件.(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1），利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k14

4、1,+).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.【例题2】：(2010年山东理科22) 已知函数;(1) 当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当a=时，函数f(x)在（0，+）上单调递减；当0<a<时，函数在（0,1）上单调

5、递减，在上单调递增，在（上单调递减；（2）函数的定义域为（0，+），（x）=a+=，a=时，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因为a=（0,），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= .由于“对x1（0,2），x21,2,使f(x1) g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= ”. （）又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 当b<1时，因为g(x)min=g(1)=52b>0,此时与（）矛盾； 当b1,2时, 因

6、为g(x)min=4b20，同样与（）矛盾； 当b（2，+）时，因为g(x)min=g(2)=84b.解不等式84b，可得b.综上，b的取值范围是,+).二、相关类型题：一、型；形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在xD上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.解：，；即；当时，不等式显然成立，aR.当时，由得：，而.又，综上得a的范围是。 二、型例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为_.解 对任意xR，不等式恒成立，分别是的最小值和最大值.对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最

7、小距离是，即半个周期.又函数的周期为4，的最小值为2.三、.型例3： (2005湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是() A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；四、.型例4 已知函数定义域为，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.解：任取，则，由已知，又，f，即在上为增函数.，恒有；要使对所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只须且，解得或或。评注： 形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五、.型：例5： 已知，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围.解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.令，即在0,1上单调递减，F(0)是最大值.，即。六、型例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围.解：因为对任意的，都有成立，令得x3或x-1；得；在为增函数，在为减函数.，.，。七、（为常数）型；例7 ：已知函数，则对任意（）都有恒成立，当且仅当=_，=_时取等号.解：因为恒成立，由，易求得，。例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.(1)证明|；(2)证明：对任意，都有.证明 (1)略；(2)由条件(2)知，不妨设，由(3)知，又