第二章极限与连续高等数学

1、第二章第二章 极限与连续极限与连续本章主要向大家介绍以下几方面内容：本章主要向大家介绍以下几方面内容：一、数列的极限一、数列的极限三、变量的极限三、变量的极限五、极限的运算法则五、极限的运算法则六、两个重要极限六、两个重要极限七、函数的连续性七、函数的连续性二、函数的极限二、函数的极限四、无穷大量和无穷小量四、无穷大量和无穷小量幻灯片 86幻灯片 72幻灯片 67幻灯片 802010英语本科群：英语本科群：100370989 设 函 数设 函 数 yn= f ( n ) , 其 中其 中 n 为 正 整 数为 正 整 数 , 那么按自变量那么按自变量 n 增大的顺序排列的一串数增大的顺序排列的

2、一串数 f (1), f (2), f (3), , f (n), , 称之为数列称之为数列, 记作记作 yn 或数列或数列 yn . 简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数一、数列的极限一、数列的极限数列数列第一张幻灯片13 4112,.,1,.2 3nn11 2 3110,.,1,.2 3 4nn-单调减少-单调增加1( 1)31( 1)11 2 111 2nnnn ， ， ， ，-有界但不单调例例前面三个数列当前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为无限增大时的极限可分别表示为1lim 11nn1lim 11nn1( 1)lim 11nnn 显然，数列显然，数列 yn 无限地接近

3、于无限地接近于 1，可用数列，可用数列 yn与与 1 之差之差的绝对值可以任意地小来描述的绝对值可以任意地小来描述 . 如果用符号如果用符号 e e 表示任意小的正数，表示任意小的正数， 那么就可用那么就可用 | yn 1 | e e 表示表示 . . 于是数列于是数列 yn 的极限现象可表述为：当的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，无限变大时，就有就有 | yn 1 | e e . . 一般地，当一般地，当 n 无限变大时，数列无限变大时，数列 yn 无限接近于一个无限接近于一个常数常数 A 的极限现象可定义如下：的极限现象可定义如下： 对任意给定的正数对任意给定的正数 e e ，总存在

4、正数，总存在正数N，当，当nN时，恒有时，恒有 | yn A| N 时，点时，点 yn 都落在点都落在点 A 的的 e e 邻域内，而不管邻域内，而不管 e e 有多么小有多么小( (如图如图) )，形 象 一形 象 一点讲，数列点讲，数列 yn 会密集在点会密集在点 A 的周围的周围.AA e eA + +e eyN+1yN+2Ox如果把数列如果把数列 yn 中每一项都用数轴中每一项都用数轴 Ox 上一个上一个点来表示，那么数列点来表示，那么数列 yn 趋向于趋向于 A 可解释为可解释为: 数列极限的几何意义数列极限的几何意义发散数列：发散数列：当当 n 时时, 数列不趋于某个固定常数数列不

5、趋于某个固定常数 A，称，称为发散数列为发散数列 .11( 1): 1,1,1, ( 1),nnny : 1, 2, 3, ,nynn1212( 1): 1, 4,9, ( 1),nnnynn limnxyA发散发散不确定不确定-收敛收敛收敛的数列一定有界收敛的数列一定有界返回本章目录返回本章目录函数极限函数极限0()xfxxx 第一张幻灯片exM ( ) f xAex ( )f xAlim( )xf xA( ) ()f xAx 对于任意给定的正数对于任意给定的正数，总存一个正数，总存一个正数M，当，当时，恒有时，恒有 成立，则称当成立，则称当时，函数时，函数以以为极限，记作为极限，记作 或或

6、 当当 时，时， 的极限的极限x ( )fx1lim0 xx10 xx 1lim0 xx10 xxyx0(1)1yx1lim02xxlim 20 xx(2) lim arctan2xx lim arctan2xx(3) 0 xy12xy 2xy xy022例例1lim0 xx 21limlim011xxxxxxlim arctanlim arctan22limarctan xxxxxx 不存在 作直线作直线 y = A e e 和和 y = A e e A e eAA e eNyOx不管它们之间的距离有多么小，当不管它们之间的距离有多么小，当 x N 时，曲线时，曲线 y = f (x) 一定

7、落在这两条直线之间一定落在这两条直线之间.lim( )xf xA的几何意义的几何意义当 x 1 时，21112(1)lim ( )limlim2(1)4 1xxxxf xxx22(1)()1xfxx函 数趋 向 于 什 么 ？0 xx22yx 当当 时，时， 函数函数 的极限的极限( )f x显然有0 xy1f(x)在当x1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关和 11lim( )lim2(1)4xxf xx定义：定义：如果当如果当 x 无限接近于无限接近于 x0 时，恒有时，恒有| f (x) - - A| e e ( (e e 是任意小的正数是任意小的正数) ) 则称当自变量则称当自变量

8、 x 趋于趋于 x0 时，函数时，函数 f (x) 趋于趋于 A ，记作，记作0 ( ) ()或 f xAxx0lim ( )xxf xA x 无限接近无限接近 x0 即为即为 0 | x x 0| d d . . （d d 充分小的正数）充分小的正数） A A e e f ( (x) ) A e e0lim( )xxf xAAA e eA A e ey = f (x)x0 d dx0 + d dx0yxO 不论它们之间的距离有多不论它们之间的距离有多么小么小. 只要只要 x 进入进入 0 x 是指：当是指：当 0 |x x0| d d 时，时， 恒有恒有 | f (x) A | e e .

9、. 即即作两条直线作两条直线 ：y = A e e y = A e e 的的d d邻域邻域内，内，曲线曲线 y = f (x) 就会落在这两条就会落在这两条直线之间直线之间. 几何意义几何意义当自变量当自变量 x 从不同方向趋于从不同方向趋于 x0 时，函数时，函数 f (x) 趋向于趋向于 A 的极限，的极限，0lim() xxfxA 此时称此时称 A 是函数是函数 f (x) 的单侧限的单侧限。0lim()xxfxA -右极限-左极限000lim( )lim( )lim( )xxxxxxfxAfxfxA极限存在定理左右极限左右极限例例 1试求函数试求函数210( )01 0111xxf x

10、xxxxx在和处的极限 解解: : 00lim( )lim (1)1.xxf xx200lim( )lim0.xxf xx函数函数 f (x) 在在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，处左、右极限存在但不相等，所以所以 不存在不存在. 0 x 0lim( )xf x211lim( )lim1xxfxx11lim( )lim 11xxfx函数函数 f (x) 在在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，处左、右极限存在而且相等，所以有所以有1lim( )1xfx1x 2232lim.2xxxx求例例 2解解2232lim2xxxx2(2)(1)lim2xxxx2lim(1)1.xx22 li

11、m() .xxx求例例 3解解222lim()226 .xxx 解解 例例 4 设函数设函数求求20 ()00 xxxfxxx 2000lim( )limlim(1)1.xxxxxfxxx0lim( )xf x例例 2, 3 和和 4 说明了下列几种重要现象：说明了下列几种重要现象：( (1) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处极限存在，但函数处极限存在，但函数 f (x) 在在 x0 处可处可以没有定义以没有定义( (如例如例 2) ) .( (2) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处虽然有定义，且在处虽然有定义，且在 x0 处有极限，处有极限， 但但两者不等，两者不等，00li

12、m()()() .即如例4xxfxfx ( (3) ) 函数函数 f (x) 在在 x0 处有定义，也有极限且两者相等处有定义，也有极限且两者相等 . 若若 x x0 ( (或或 x ) )时时，函数函数 f ( x )的的极限存在极限存在, 则函数则函数 f ( x ) 在在 x0 的一个空心小的一个空心小邻域内邻域内( (或或 | x | 充分大范围内充分大范围内) )有界有界.定理定理 设变量在变化过程中无限地趋于一个常数设变量在变化过程中无限地趋于一个常数 A，就称该变量以就称该变量以 A 为极限，记作为极限，记作lim yA 三、变量的极限三、变量的极限变量变量 y 若若为具体函数，

13、则不能使用通用记号，为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程量的变化过程. . 第一张幻灯片000limlim( )limlim( )lim( )lim( )lim( )lim( )nnxxxxxxxxxyAfxAyAfxAfxAfxAfxAfxA 000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA00lim( )000( )0 xxf xAAxxf xdd，且当0lim( )( )00 xxf xAf xA，且lim yAy若变量有界 yy在某时刻后在某时刻后不一定成立有极限一定

14、有界020( )lim( )cos0 xxf xf xxx有界，但不存在。返回本章目录返回本章目录四、无穷小量与无穷大量四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片无穷大量无穷大量lim y y如果，则称变量是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。2xx 是无穷大量10 xx是无穷大量111xx是无穷大量无穷小量无穷小量lim0y 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小即，常用等表示。 零是唯一可以作为无穷小量的常数零是唯一可以作为无穷小量的常数112nnn 都是无穷小量0sin1 cosxxx都是无穷小量211xx是无穷小量1xx 是无穷小量yylim(lim0)yAyA 如果变量以A为极限的充分必

15、要条件是变量可以表示为A与无穷小量之和，即 定理定理在相同的变化趋势下在相同的变化趋势下 有界变量与无穷小量之积仍是无穷小有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。量）。 两个无穷小量的代数和仍是无穷小量两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。（可推广）。 两个无穷小量之积仍是无穷小量（可两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）推广） 定理定理20lim (2 )0 xx xx01lim sin0 xxx例例cos1cos cosxxxxx因为，其中1xx 为当时的无穷小量，cos3 lim0.xxx所以由定理可知coslim0 x

16、xx证明 为有界函数，为有界函数，证证例例无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系 在变量y的变化过程中，如果y1y(0)y y 1y是无穷大量，则是无穷小量；是无穷小量，则是无穷大量。221111xxx是无穷小量是无穷大量.10lnlnxxx是无穷大量是无穷小量无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较定义：定义：是同一变化过程中的二个无穷小量，如果lim0( )limlimcc是比较高阶的无穷小量，记作=o（为常数）与是同阶无穷小量， 当 c=1 时，与等价，记作是比较低阶的无穷小量。例例22(0)xxxx(1)()2(2)112(0)xxx 比较的阶3223(3)21(1)(1)xxxx极

17、限的运算法则极限的运算法则定理定理 : 在某一变化过程中，若在某一变化过程中，若(1) lim()limlimxyxyAB(2) lim()limlimx yxyABlim(3) lim(0)limxxAByyBlimlimxAyB幻灯片 1故由无穷小量的定理可推得故由无穷小量的定理可推得 lim ( x y ) = A B = lim x lim y 证证(1)limlim(lim0)(lim0)()()xAyBxAyBxyAB( (2) ) 因为因为x y = (A ) (B ) = AB (A B )因为因为 A , B ， 均为无穷小量，所以均为无穷小量，所以商的极限运算法则的证明从略

18、商的极限运算法则的证明从略.lim (x y ) = AB = lim x lim y推论推论 1lim c y = c lim y推论推论 211lim(lim)nnxxlim(lim )nnxx21(1) lim(351)xxx22235(2) lim31xxxx225(3) lim4xxx2221(4) lim323nnnn32431(5) lim42xxxxx 求极限求极限 例例21211211(1) lim(351)lim3lim513lim5lim11xxxxxxxxxxx 222222235(2) lim31lim2lim35lim3197xxxxxxxxxx225(3) lim

19、4xxx22224lim055lim4xxxxxx 222221(4) lim32312lim23323nnnnnnnn324243431(5) lim42311lim1240 xxxxxxxxxxx20122012.lim0.nmnnmxmanmbaa xa xa xnmbb xb xb xnm012012,.,(0),.,(0)nnmma a aaab b bbbm、n为正整数。 为常数证证11101110limnnnnmmxmma xaxa xab xbxb xb11011101111lim111nnnnnmxmmmmaaaaxxxxxbbbbxxx nmamnb0 mn mn233(1

20、) lim9xxx242(2)lim2xxx112(3) lim42xxx 3113(4) lim()11xxx32112(4)lim()28xxx求极限求极限 233333(1) limlim9(3)(3)11lim36xxxxxxxxx2242(2) lim2( 42)( 42)lim(2)( 42)xxxxxxxx222lim(2)( 42)1lim4212 224xxxxxx1212(3) lim42(12)(12)( 42)lim( 42)( 42)(12)xxxxxxxxxx 11(1)( 42)lim4(1)(12)42lim4(12)12 224xxxxxxxx 2321122

21、11313(4) lim()lim11(1)(1)2lim(1)(1)xxxxxxxxxxxxxxx2121(1)(2)lim(1)(1)2lim11xxxxxxxxxx 23321222211224 12(5) lim()lim288(2)(4)lim(2)(24)4lim2412xxxxxxxxxxxxxxxxx 2320( )10121xxf xxxxx已知例例1xox及( )f x12lim( )lim( )lim( )xxxf xf xf x。分别讨论当时，的极限是否存在，并求00lim( )lim(32)2xxf xx200lim( )lim(1)1xxf xx0lim( )xf

22、x不存在 211lim( )lim(1)2xxf xx112lim( )lim2xxf xx1lim( )2xf x 0 x 1x 211225lim( )lim(1)4xxf xxlim( )lim (32)xxf xx 2lim( )lim0 xxf xx12x 21lim(87).xxx（1）练习练习221431lim.264xxxxx（2）221431lim264xxxxx （2）2121lim (431)lim (264)xxxxxx 24( 1)3( 1)11282.123解：解：22154lim3xxxx2121lim(54)00lim(3)2xxxxx225413xxxx即时为

23、无穷小量，2213lim.54xxxx求练习练习2213lim54xxxx 22354xxx即即所以当所以当 x 1 时时为无穷大量，为无穷大量，2(1)(2)lim(1)(2)xxxxx22232lim2xxxxx21lim1xxx22lim(1)lim(1)xxxx212113解解22232lim.2xxxxx求练习练习2221lim.42xxxx计算解解22222212limlim424xxxxxxxx2(2)(1)lim(2)(2)xxxxx213lim 24xxx练习练习30lim(3cossin4)xxxx（1）211lim(1)(2)xxx（2）011limxxx（3）arcta

24、nlimxxx（4）练习练习 求极限求极限3030000lim(3cossin4)lim3limcoslimsinlim4xxxxxxxxxxx（1）03 1 041 221111lim(1)(2)lim(1) lim(2)xxxxxxx（2）211(1lim) (2lim)1 22xxxx 0001111limlimlim2( 11)11xxxxxxxxx（3）arctan1limlimarctan0 xxxxxx（4） （无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）2310( )3101xxf xxxxx已知0lim()( 2 ) lim()(3 ) lim()xxxfxfxfx 求 ( 1 )例例23000002233331lim( )lim (1)1lim( )lim11lim( )1(2)lim( )lim113131(3)lim( )limlim0111xxxxxxxxxxxxf xxf xxf xf xxxxxxxf xxx 解：(1)（）=-极限存在准则极限存在准则xyzyxzlimlimyzAlimxA则在某个变化过程中，三个变量总有关系，且准则准则1：夹值定理：夹值定理222111lim(.)112nnnnn例： 证明 22222111.)