勾股定理的方程思想

1、【授课内容】勾股定理的方程思想 【适用年级】八年级上【执教教师】宁波镇海蛟川书院 滕丽【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。【教学过程】教学板块 教师教学学生活动媒体插入揭示课题，明确任务师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就称为勾股定理，即如果为直角三角形的两条直角边长，为斜边长，则 。在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢？这就是今天我们所要学习内容。幻灯片：勾股定理讲解例1师：我们先来看一个简单的问题。例1在ABC中，

2、C=Rt,(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.(2)如果AC=5, AB=BC+1,求AB、BC的长.师：在第(1)小题中，已知了直角三角形ABC的一条边BC的长及另两边的数量关系: AB:AC=5:3，根据这个数量关系，可以把AB设成5x, AC为3x,根据勾股定理得就能列出含x的方程，从而求出x的值。下面我们一起来解答这个小题。解：(1)设AB=5x, 则AC=3x(x>0) 由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2解得： x2=16x>0 x=4AB=20,AC=12.师:下面我们来看第(2)小题,同学们你们会求吗?(停顿)师:是的。我们可以从AB=

3、BC+1这个数量关系入手，设BC= x, 则AB=x+1，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个小题。(2) 设BC= x, 则AB=x+1 (x>0)由勾股定理得x2+ 52=( x+1)2解得： x=12BC=12,AB=13.师：我们总结一下步骤：在直角三角形中（已知两边的数量关系） 设其中一边为x 利用勾股定理列方程解方程 求各边长这就是我们今天所学习的勾股定理的方程思想求边长，你掌握了吗？读题思考幻灯片：出示例1题目出示解答过程出示解答过程出示流程图讲解例2师：我们再来看一个例子。请同学们先读一下题目。例2如图，在RtABC中，C=900, AC=1，BC=3. AB的中垂

4、线DE交BC于点D, 连结AD，求AD的长. 师：首先我们来分析一下条件.已知AB的中垂线DE交BC于点D,即D在线段AB的中垂线上，则有AD=BD.根据BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看RtACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长.师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。解：D在线段AB的中垂线上AD=BDBC=3BD+CD=AD+CD=3设AD=x,则CD=3- x，由勾股定理得：x2= (3-x)2+12 解得: x= AD=师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直

5、角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。读题思考幻灯片：出示例2题目依次出现两个结论出示解答过程讲解例3师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。例3在九章算术中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深？芦苇多长？请解这道题。师：首先我们根据题意

6、画出示意图。芦苇可以用线段AD来表示，其中BD表示露出水面的部分，拉动芦苇后的位置用线段AC来表示。根据拉动后芦苇的顶端恰好到达水面可以知道，若连结BC，则有BCAD. 根据题意，BD=1尺，BC=0.5丈=5尺，特别地，在芦苇拉动过程中长度不改变，即AC=AD. 这个时候我们来看RtABC，BC的长已知，AC比AB长1尺，那么我们不妨设AB=x尺,则AC=(x+1) 尺，根据勾股定理列方程就可以求出x的值.师：好的，同学们理清思路了吗？我们一起来完成解答过程。解：设水深有x尺，则芦苇长(x+1) 尺。由题意，得 x2+52=(x+1)2 解得： x=12 答：水深12尺，芦苇长13尺。读题思

7、考幻灯片：出示例3题目出示示意图出示解答过程随堂解题师：刚才老师举了几个例子，同学们是否都掌握了呢？下面请大家做一个随堂练习。练习 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长. 师：请同学们先独立思考完成。（停顿）师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AEAC6cm，CDDE,C= AED=90°。在RtBDE中，BEAB-AE 10-64cm, 而BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。解：在RtABC中, AC=6cm，BC=8cm AB=10cm 由折叠可知AEAC6cm，CDDE, C= AED=90° BE10-64cm, BED=90° 设CDDExcm，则BD（8-x）cm 在RtBDE中,由勾股定理可得（8-x）2 x2+42解得x3 CD=DE