导数探讨函数图像的交点问题 2

1、由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(与切线有关的问题函数的单调性和单调区间问题函数的极值和最值问题不等式证明问题与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，

2、二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。 例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,

3、t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（）略（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，令f(x)= g(x) g(x)f(x)=0x>0 函数(x)=g(x)f(x) =28x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当x(0,1)时，0，是增函数；当x(1,3)时，0，是减函数；当x(3,+)时，0，是增函数；当x=1或x=3时，=0。j(x)极大值=j(1)=m7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 315

4、.当x0时，(x)，当x时，(x)要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须7<m<156ln 3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，156ln 3）. （分析草图见下图1）图1 图2 图3引申1：如果（）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。引申2：如果（）中“有且只有三个不同的交

5、点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3 或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。 图4 图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：构造函数(x)= f(x)g(x)求导研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式解不等式得解解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。下面用这几个步骤来完成2006年四川卷第21

6、题。例2（四川卷第21题）已知函数其中是的f(x)的导函数。（）对满足的一切的值， 都有求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数f(x)的图像与直线3只有一个公共点。解：（）略（）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，令(x)= f(x)-3=，=列表： （(x)单调递增极大单调递减极小单调递增-4又(x)的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与x轴只有一个公共点。当时，恒有由题意得即解得综上，的取值范围是（分析草图见图6） 图6当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。如：2006年福建文科卷21题。例3（福建文科卷第21题）已知是二次函数，不等式的解集是

7、且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（）f(x)=2(过程略)（II）方程等价于方程设则 当是减函数；当时，是减函数；当时，是增函数。（见图7） 图7方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。 从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践能力。练习对于公比为2，首项为1的等比数列，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中的项，并且项数也相同？证明你的结论。解：设等比数列，则，设等差数列通项对应的函数为，等比数列通项对应的函数，由，由，设，则当时，显然，即为单调递增函数，故至多与轴有一个交点，即方程至多有一个根；当时，若，则；若，则；故在为减函数；在为增函数；因此的图象在上与轴至多一个交点，在上亦至多一个交点，从而在上与轴至多有两个交点，即方程至多有两个根； 综