中考数学压轴题创新题型训练

1、用扫描两边的，可以获得学习资料！中考数学压轴题创新题型训练一解答题（共 30 小题）1我们都知道，在等腰三角形中有等边对等角（或等角对等边），那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一下如图 1，在ABC 中，已知 ABAC，猜想B 与C 的大小关系，并证明你的结论；证明：猜想CB，对于这个猜想我们可以这样来证明： 在 AB 上截取 AD=AC，连接 CD，ABAC，点 D 必在BCA 的内部BCAACDAD=AC，ACD=ADC又ADC 是BCD 的一个外角，ADCBBCAACDB 即CB上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解

2、决问题，体现了数学的转化的思想方法请你仿照类比上述方法，解决下面问题：（1）如图 2，在ABC 中，已知 ACBC，猜想B 与A 的大小关系，并证明你的结论；（2）如图 3，ABC 中，已知CB，猜想 AB 与 AC 大小关系，并证明你的结论；（3）根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论第 1页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！2在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法类比法是一种寻求解题思路，猜测问题或结论的发现方法

3、如果一条直线把一个平面图形的面成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线【尝试探索】经过三角形顶点的面积等分线有条；平行四边形有条面积等分线【类比探究】如图 1 所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；【类比拓展】如图 2，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，ABCD，且 SABCSACD，过点 A画出四边形 ABCD 的面积等分线，并描述方法【灵活运用】请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线第 2页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！3（合作探究题）在同一平面内三条直线交点有多少个？甲：同一平面三直线相交交点的个数为 0

4、 个，因为 abc，如图（1）所示 乙：同一平面内三条直线交点个数只有 1 个，因为 a，b，c 交于同一点 O，如图（2）所示以上说法谁对谁错？为什么？4两条平行直线上各有 n 个点，用这 n 对点按如下的规则连接线段；平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；符合要求的线段必须全部画出；图 1 展示了当 n=1 时的情况，此时图中三角形的个数为 0；图 2 展示了当 n=2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2；（1） 当 n=3 时，请在图 3 中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为个；（2） 试猜想当 n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少

5、个三角形？（3） 当 n=2006 时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？第 3页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！5一、阅读理解：在ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c；（1） 若C 为直角，则 a2+b2=c2；（2） 若C 为锐角，则 a2+b2 与 c2 的关系为：a2+b2c2 证明：如图过 A 作 ADBC 于 D，则 BD=BCCD=aCD 在ABD 中：AD2=AB2BD2在ACD 中：AD2=AC2CD2AB2BD2=AC2CD2c2（aCD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a2+b2c2（3） 若C 为钝角

6、，试推导 a2+b2 与 c2 的关系二、探究问题：在ABC 中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若ABC 是钝角三角形， 求第三边 c 的取值范围第 4页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！6分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1） 试写出用 n 边形的边数 n 表示对角线总条数 S 的式子：（2） 从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数第 5页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！7【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积【问题探究】为

7、了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究探究一：在 RtABC（图 1）中，ABC=90°，AC=b，BC=a，C=，求ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）在 RtABC 中，ABC=90°sin=AB=bsinSABC=BCAB= absin探究二：锐角ABC（图 2）中，AC=b，BC=a，C=（0°90°） 求：ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）探究三：钝角ABC（图 3）中，AC=b，BC=a，C=（0°90°） 求：ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）【问题解决】用文字叙述：已知任意三角形的两边及

8、夹角（是锐角），求三角形面积的方法是【问题应用】已知平行四边形 ABCD（图 4）中，AB=b，BC=a，B=（0°90°）求：平行四边形 ABCD 的面积（用含 a、b、的代数式表示）第 6页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！8定义：点 M，N 把线段 AB 分割成 AM、MN，NB，若以 AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点应用：（1）如图，已知 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，AM=6，MN=8，求 NB的长；（2）如图，在ABC 中，点 D、E 在边线段 BC 上，且 BD=3，DE=5，EC=4

9、， 直线 lBC，分别交 AB、AD、AE、AC 于点 F、M、N、G求证：点 M，N 是线段 FG 的勾股分割点拓展：（3）在菱形 ABCD 中，ABC=（90°），点 E、F 分别在 BC、CD 上，AE、AF 分别交 BD 于点 M、N如图，若 BE= BC，DF= CD，求证：M、N 是线段 BD 的勾股分割点如图，若EAF= BAD，sin=，当点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点时，求 BM：MN：ND 的值第 7页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！9我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1） 已知：如图 1，四边形 AB

10、CD 是“等对角四边形”，AC，A=70°，B=80°求C，D 的度数（2） 在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图 2），其中ABC=ADC，AB=AD，此时她发现 CB=CD 成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”ABCD 中，DAB=60°，ABC=90°，AB=5，AD=4求对角线 AC 的长10给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边

11、形为勾股四边形（1） 以下四边形中，是勾股四边形的为 （填写序号即可）矩形；有一个角为直角的任意凸四边形；有一个角为 60°的菱形（2） 如图，将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°得到DBE，DCB=30°， 连接 AD，DC，CE求证：BCE 是等边三角形；求证：四边形 ABCD 是勾股四边形第 8页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！11如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发沿折线 ADDCCB 运动，当点 P 运动到点 B 时停止已知动点 P 在 AD、BC 上的运动速度为 1cm/s，在 DC 上的运动速度为 2cm/sP

12、AB 的面积 y（cm2）与动点 P 的运动时间t（s）的函数关系图象如图（1）a=，b=；（2） 用文字说明点 N 坐标的实际意义；（3） 当 t 为何值时，y 的值为 2cm212【定义】若一个四边形恰好关于其中一条对角线所在的直线对称，则这个四边形叫做镜面四边形【理解】（1） 下列说法是否正确（对的打“”，错的打“×”）平行四边形是一个镜面四边形（ ）镜面四边形的面积等于对角线积的一半（ ）（2） 如图（1），请你在 4×4 的网格（每个小正方形的边长为 1）中画出一个镜面四边形，使它图（1）的顶点在格点上，且有一边长为【应用】（3）如图（2），已知镜面四边形 ABC

13、D，BAD=60°，ABC=90°，ABBC，P是 AD 上一点，AE 丄 BP 于 E，在 BP 的延长线上取一点 F，使 EF=BE，连接 AF， 作FAD 的平分线 AG 交 BF 于 G，CM 丄 BF 于 M，连接 CG求EAG 的度数比较 BM 与 EG 的大小，并说明理由第 9页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！若以线段 CB，CG，AG 为边的三角形是直角三角形，求 cosCBM 的值（直接写出）13研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法我们给出如下定义：如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD 像这样两组

14、邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；（1）小文认为菱形是特殊的“筝形”，你认为他的正确吗？（2）小文根据学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对 ABBC 的“筝形”的性质和判定方法进行了探究下面是小文探究的过程，请补充完成：他首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明，请你完成小文的证明过程已知：如图，在”筝形”ABCD 中，AB=AD，CB=CD 求证：ABC=ADC证明：小文由得到了这类“筝形”角的性质，他进一步探究发现这类“筝形”还具有其它性质，请再写出这类“筝形”的一条性质（除“筝形”的定义外）；继性质探究后，小文探究了这类“筝形”的判定方法，写出这

15、类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）： 第 10页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！14设是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为的“化方”（1）阅读填空如图，已知矩形 ABCD，延长 AD 到 E，使 DE=DC，以 AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFFH 与 ABCD 等积 理由：连接 AH，EHAE 为直径AHE=90°HAE+HEA=90°DHAEADH=EDH=90°HAD+AHD=90&

16、#176;AHD=HEDADH=，即 DH2=AD×DE又DE=DCDH2=即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积（2）类比思考平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形各称），再转化为等积的正方形如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助作出与ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）第 11页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！（4）拓展探究n 边形（n3）的“化方”思路之一是：把 n 边形转化为 n1 边形，直至

17、转化为等积三角形，从而可以化方如图，四边形 ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请用尺规或借助网格作出与四边形 ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，但要保留作图痕迹）15我们把：“有一组邻角相等的凸四边形”叫做“等邻角四边形”（1） 任意写出你所学过的特殊四边形中是“等邻角四边形”的一种图形的名称；（2） 在探究“等邻角四边形”性质时：小明画了一个“等邻角四边形”ABCD（如图 1），其中A=B，AD=BC，此时他发现 ABDC，请你证明此结论；由此小明猜想：“对于任意等邻角四边形，当一组对边相等时，另一组对边就平行”，请你直接这个命题是真命题还是假命题；（3）已知：在“等邻角四边形”

18、ABCD 中，A=90°，C=60°，AB=6，BC=10，请画出相应图形，并直接写出 CD 的长16定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的等分线（1）请在如下的三个图形中，分别画出各图形的一条等分线（2）请在图中画一条直线 l，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线（3）如图，在 RtABC 中，A=90°，AB=3，AC=4，点 P 是边 AB 上的动点，问第 12页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！是否存在过点 P 的等分线？若存在，求出 AP 的长，若不存在，请说明理由17有这样一个问题：如图，在

19、四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，请探究筝形的性质和判定方法小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质时：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等请将下面证明此猜想的过程补充完整：已知：如图，在筝形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD 求证：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线，结合图形，写出筝形的其他性质（一条

20、即可）： （3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一，试命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是”是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以证明18在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点A、B、C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah例如：三点坐标分别为 A（1，2），B（3，1），C（2，2），则“水平底”a=5，第 13页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20（1）已知点 A（1，2），B（

21、3，1），P（0，t）若 A、B、P 三点的“矩面积”为 12，求点 P 的坐标；A、B、P 三点的“矩面积”的最小值为（2）已知点 E（4，0），F（0，2）M（m，4m），其中 m0若 E、F、M 三点的“矩面积”的为 8，求 m 的取值范围19如图（1），将射线 OX 按逆时针方向旋转角，得到射线 OY，如果点 P 为射线 OY 上的一点，且 OP=a，那么我们规定用（a，）表示点 P 在平面内的位置， 并记为 P（a，），例如，图（2）中，如果 OM=8，XOM=110°，那么点 M 在平面内的位置，记为 M（8，110），根据图形，解答下列问题：（1） 如图（3）中，如果点

22、 N 在平面内的位置极为 N（6，30），那么 ON= ，XON=；（2） 如果点 A、B 在平面内的位置分别记为 A（4，30），B（4，90），试求 A、B两点间的距离20类似于平面直角坐标系，如图 1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系若P 是斜坐标系 xOy 中的任意一点， 过点 P 分别作两坐标轴的平行线，与 x 轴、y 轴交于点 M、N，如果 M、N 在 x 轴、y 轴上分别对应的实数是 a、b，这时点 P 的坐标为（a，b）（1） 如图 2，在斜坐标系 xOy 中，画出点 A（2，3）；（2） 如图 3，在斜坐标系 xOy 中，已知点 B（5

23、，0）、C（0，4），且 P（x，y）是线段 CB 上的任意一点，则 y 与 x 之间的等量关系式为；第 14页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！（3）若（2）中的点 P段 CB 的延长线上，其它条件都不变，试（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由21在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点A，B，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah例如：三点坐标分别为 A（1，2），B（3，1），C（2，2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20根据所给定问题：决下列（1）

24、若已知点 D（1，2）、E（2，1）、F（0，6），则这 3 点的“矩面积”= （2）若 D（1，2）、E（2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为 18，求点 F 的坐标22阅读下面材料，再回答问题一般地，如果函数 y=（f x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 （f x）=（f x）那么 y=f（x）就叫偶函数如果函数 y=f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 f（x）=f（x）那么 y=f（x）就叫奇函数例如：f（x）=x4当 x 取任意实数时，f（x）=（x）4=x4f（x）=f（x）f（x）=x4 是偶函数又如：f（x）=2x3x当 x 取任意实数时，f（x）=2（x）3

25、（x）=2x3+x=（2x3x）f（x）=f（x）f（x）=2x3x 是奇函数第 15页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！y=x22|x|问题 1：下列函数中：y=x2+1是奇函数的有；是偶函数的有（填序号）问题 2：仿照例证明：函数或是奇函数还是偶函数（选择其中之一）23阅读下面的材料例 1：已知函数 y=3x1解：由 y=3x1，可得，所以原函数 y=3x1 的反函数是例 2：已知函数（x1）解：由，可得，所以原函数的反函数是（x2）在以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量 x 的取值范围就是它的反函数中 y 的函数值取值范围，原函数中函数值 y 的取

26、值范围就是它的反函数的自变量 x 取值范围，通过以上内容完成下面任务：（1）求函数 y=2x+3 的反函数的反函数的函数值的取值范围为 （2）函数Ay1By1Cy2Dy2（3）下列函数中反函数是它本身的是（填序号即可）y=x y=x+1 y=x+1 24一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢车行驶的时间为 x（h），两车之间的距离为 y（km），图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系根据题中所给信息解答以下问题：（1） 甲、乙两地之间的距离为km；图中点 C 的实际意义为： ； 慢车的速度为，快车的速度为；（2） 求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系

27、式，以及自变量 x 的取值范围；（3） 若在第一列快车与慢车相遇时，第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距 200km第 16页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！（4）若第三列快车也从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同如果第三列快车不能比慢车晚到，求第三列快车比慢车最多晚出发多少小时？25我们给出如下定义：如图，平面内两条直线 l1、l2 相交于点 O，对于平面内的任意一点 M，若 p、q 分别是点 M 到直线l1 和 l2 的距离（P0，q0），称有序非负实数对p，q是点 M 的距离坐标根据上述定义，请解答下列问题：如图

28、，平面直角坐标系 xoy 内，直线 l1 的关系式为y=x，直线 l2 的关系式为，M 是平面直角坐标系内的点（1） 若 p=q=0，求距离坐标为0，0时，点 M 的坐标；（2） 若 q=0，且 p+q=m（m0），利用图，在第一象限内，求距离坐标为p， q时，点 M 的坐标；（3）若，则坐标平面内距离坐标为p，q时，点 M 可以有几个位置？并用三角尺在图画出符合条件的点 M（简要说明画法）第 17页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！26对于两个已知图形 G1，G2，在 G1 上任取一点P，在 G2 上任取一点Q，当线段 PQ 的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2 的“密距

29、”，用字母 d 表示；当线段 PQ 的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2 的“疏距”，用字母 f 表示例如，当 M（1，2），N（2，2）时，点 O 与线段 MN 的“密距”为，点 O 与线段 MN 的“疏距”为 2（1）已知，在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），点 O 与线段 AB 的“密距”为，“疏距”为；线段 AB 与COD 的“密距”为 ，“疏距”为 ；（2）直线 y=2x+b 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F，以 C（0，1）为圆心，1 为半径作圆，当C 与线段 EF 的“密距”0d1 时，求C 与线段 EF 的“疏

30、距”f 的取值范围27模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营 A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图，作 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB与直线 l 交于点 C，点 C 就是所求第 18页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线 L 上另取任一点 C，连接 AC，BC，BC，直线 l 是点 B，B的对称轴，点 C，C在 l

31、 上CB=，CB= AC+CB=AC+CB=在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即 AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中 C 为 AB与 l 的交点，即 A、C、B三点共线）本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型（2）模型应用如图 ，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点 求 EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对

32、称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称，连结 ED 交 AC 于 F，则 EF+FB 的最小值就是线段的长度，EF+FB 的最小值是如图，已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60°，点 B 是的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值是；如图，一次函数 y=2x+4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 O 为坐标第 19页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！原点，点 C 与点 D 分别为线段 OA，AB 的中点，点 P 为 OB 上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时 P 点坐标28定义：

33、若函数 y1 与 y2 同时满足下列两个条件：两个函数的自变量 x，都满足 axb；在自变量范围内对于任意的 x1 都存在 x2，使得 x1 所对应的函数值 y1 与 x2 所对应的函数值 y2 相等 我们就称 y1 与 y2 这两个函数为“兄弟函数”设函数 y1=x22x3，y2=kx1（1）当 k=1 时，求出所有使得 y1=y2 成立的 x 值；函数 y1= 与 y2=x+5 是不是“兄弟函数”，并说明理由；（2）当 1x3 时（3）已知：当1x2 时函数 y1=x22x3 与 y2=kx1 是“兄弟函数”，试求实数 k 的取值范围？29阅读材料：直线 l 外一点 P 到直线 l 的垂线

34、段的长度，叫做点 P 到直线 l 的距离，记作 d（P，l）；两条平行线 l1，l2，直线 l1 上任意一点到直线 l2 的距离，叫做这两条平行线 l1， l2 之间的距离，记作 d（l1，l2）；若直线 l1，l2 相交，则定义 d（l1，l2）=0；若直线 l1，l2 重合，我们定义 d（l1，l2）=0，对于两点 P1，P2 和两条直线 l1，l2，定义两点 P1，P2 的“l1，l2 相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）=d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）设 P1（4，0），P2（0，3），l1：y=x，l3：y=kx，解决以下问题：（1）d（P1，P2|l1

35、，l2）=；（2）若 k0，则当 d（P1，P2|l3，l3）最大时，k=；第 20页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！若 k0，试确定 k 的值，使得 d（P1，P2|l3，l3）最大，请说明理由30阅读下面材料：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=ax+b 与双曲线 y2= 交于 A（1，3）和 B（3，1）两点观察图象可知：当 x=3 或 1 时，y1=y2；当3x0 或 x1 时，y1y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式 ax+b> 的解集有这样一个问题：求不等式 x3+4x2x40 的解集某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3+4x2x

36、40 的解集进行了探究下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立；当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ；第 21页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ；（2）构造函数，画出图象设 y3=x2+4x1，y4= ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象双曲线 y4= 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x2+4x1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数式验证可知：满足y3=y4 的所有 x

37、 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2x40 的解集为第 22页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！中考数学压轴题创新题型训练参考与试题一解答题（共 30 小题）1（2009 秋市南区期中）我们都知道，在等腰三角形中有等边对等角（或等角对等边），那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一下如图 1，在ABC 中，已知 ABAC，猜想B 与C 的大小关系，并证明你的结论；证明：猜想CB，对于这个猜想我们可以这样来证明： 在 AB 上截取 AD=AC，连接 CD，ABAC，点 D 必在BCA 的内部BCA

38、ACDAD=AC，ACD=ADC又ADC 是BCD 的一个外角，ADCBBCAACDB 即CB上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解决问题，体现了数学的转化的思想方法请你仿照类比上述方法，解决下面问题：（1）如图 2，在ABC 中，已知 ACBC，猜想B 与A 的大小关系，并证明你的结论；（2）如图 3，ABC 中，已知CB，猜想 AB 与 AC 大小关系，并证明你的结论；（3）根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论【分析】（1）在 AC 上截取 CD=BC，连接 BD，推出CBD=CDB，根据CBA第 23页（共 85页）

39、用扫描两边的，可以获得学习资料！CBD 和CDBA 推出即可（2）在ACB 的内部作BCD=B，CD 交 AB 于 D，推出 BD=CD，根据三角形三边关系定理得出 AD+CDAC，即可得出（3）根据（1）（2）中的题设和结论即可得出【解答】（1）BA，证明：如图 2，在 AC 上截取 CD=BC，连接 BD，BC=CD，CBD=CDB，CBACBD，CDBA，BBAC，即BA（2）ABAC，证明：如图 3，在ACB 的内部作BCD=B，CD 交 AB 于 D， 则 BD=CD，在ADC 中，AD+CDAC，AD+BDAC， 即 ABAC（3）在一个三角形中，大边对大角，大角对大边【点评】本题

40、考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，三角形外角性质的应用，关键是能正确作出辅助线2（2015李沧区二模）在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法类比法是第 24页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！一种寻求解题思路，猜测问题或结论的发现方法如果一条直线把一个平面图形的面成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线【尝试探索】经过三角形顶点的面积等分线有 3条；平行四边形有 无数 条面积等分线【类比探究】如图 1 所示，在

41、矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；【类比拓展】如图 2，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，ABCD，且 SABCSACD，过点 A画出四边形 ABCD 的面积等分线，并描述方法【灵活运用】请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线【分析】尝试探索，根据三角形的三条中线是面积等分线解答；根据平行四边形的中心对称图形解答即可；类比探究，根据等底等高的两个三角形面积相等作图；灵活运用，根据经过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分解答【解答】解：尝试探索，三角形的三条中线是面积等分线，经过三角形顶点的面积等分线有 3 条，平行四边形的中心对称图形，经过对称中心的直线

42、都是它的面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线，故为：3；无数；类比探究，如图 1 所示，经过两个矩形对角线的交点的直线是这个图形的一条面积等分线；第 25页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！类比拓展，如图 2，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE 交 BC 于 F，ABC 和AEC 的公共边 AC 上的高也相等，SABC=SAEC，SABH=SHEC，四边形 ABCD 的面积=AED 的面积，AED 的中线 AF 是四边形 ABCD 的面积等分线； 灵活运用，如图 3，经过两圆圆心的直线 OO是这个图形的面积等分线【点评】本题考查的是面积与等积变换，正

43、确理解平面图形的一条面积等分线的定义，中心对称图形的概念以及三角形面积的计算公式是解题的关键3（合作探究题）在同一平面内三条直线交点有多少个？甲：同一平面三直线相交交点的个数为 0 个，因为 abc，如图（1）所示 乙：同一平面内三条直线交点个数只有 1 个，因为 a，b，c 交于同一点 O，如图（2）所示第 26页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！以上说法谁对谁错？为什么？【分析】分四种情况：1、三条直线互相平行，无交点；2、三条直线相交于一点；3、一条直线与另两条互相平行的直线相交，有两个交点；4、三条直线两两相交且不过同一点，有三个交点【解答】解：甲、乙说法都不对，都少了三种

44、情况ab，c 与 a，b 相交如图（1）；a，b，c 两两相交如图（2），所以三条直线互不重合，交点有 0 个或 1 个或 2 个或 3 个，共四种情况【点评】三条直线在同一平面的位置关系有四种情况，有 1 个交点，2 个交点，3 个交点和 0 个交点注意要分类讨论4（2006贵阳）两条平行直线上各有 n 个点，用这 n 对点按如下的规则连接线段；平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；符合要求的线段必须全部画出；图 1 展示了当 n=1 时的情况，此时图中三角形的个数为 0；图 2 展示了当 n=2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2；（1）当 n=3 时，请在图

45、 3 中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4个；第 27页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！（2） 试猜想当 n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3） 当 n=2006 时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？【分析】（1）根据题意，作图可得；（2）分析可得，当 n=1 时的情况，此时图中三角形的个数为 0，有 0=2（11）；当 n=2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2，有 2=2（21）；故当有 n 对点时，最少可以画 2（n1）个三角形；（3）当 n=2006 时，按上述规则画出的图形中，最少有 2×（2006

46、1）=4010个三角形【解答】解：（1）4 个；（2）当有 n 对点时，最少可以画 2（n1）个三角形；（3）2×（20061）=4010 个答：当 n=2006 时，最少可以画 4010 个三角形【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题5（2013江苏模拟）一、阅读理解：在ABC 中，BC=a，CA=b，AB=c；（1） 若C 为直角，则 a2+b2=c2；（2） 若C 为锐角，则 a2+b2 与 c2 的关系为：a2+b2c2 证明：如图过 A 作 ADBC 于 D，则 BD=BCCD=aCD 在ABD 中：AD2

47、=AB2BD2在ACD 中：AD2=AC2CD2第 28页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！AB2BD2=AC2CD2c2（aCD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20，所以：a2+b2c2（3）若C 为钝角，试推导 a2+b2 与 c2 的关系二、探究问题：在ABC 中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若ABC 是钝角三角形， 求第三边 c 的取值范围【分析】根据题意作图，用证明（2）的方法证明即可推导出 a2+b2 与 c2 的关系【解答】解：（3）如图过 A 作 ADBC 于 D，则 BD=BC+CD=a+CD在ABD 中：AD2=AB2B

48、D2 在ACD 中：AD2=AC2CD2 AB2BD2=AC2CD2c2（a+CD）2=b2CD2a2+b2c2=2aCDa0，CD0a2+b2c20 所以：a2+b2c2二、当C 为钝角时，根据公式：ca+b 可得，5c7；当B 为钝角时，根据公式：bac可得，1c【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际中的运用能力第 29页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！6（2017河北模拟）分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用 n 边形的边数 n 表示对角线总条数 S 的式子： S= n（n3） （2）从十五边形的一个顶点可以引出 12条对角线，十五边形共有

49、 90条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2） 根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3） 根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解【解答】解：（1）用 n 边形的边数 n 表示对角线总条数 S 的式子：S= n（n3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：153=12（条），共有对角线： ×15×（153）=90（条）；（3）设多边形有 n 条边，则 n（n3）=n，解得 n=5 或 n=0（应舍去）第 30页（共 85页）用扫描两边的

50、，可以获得学习资料！故这个多边形的边数是 5故为：S= n（n3）；12，90【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助7（2017市北区一模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形的面积【问题探究】为了解决上述问题，让我们从特殊到一般展开探究探究一：在 RtABC（图 1）中，ABC=90°，AC=b，BC=a，C=，求ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）在 RtABC 中，ABC=90°sin=AB=bsinSABC=BCAB= absin探究二：锐角ABC（图 2）中，AC=b，BC=a，C=（0

51、76;90°） 求：ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）探究三：钝角ABC（图 3）中，AC=b，BC=a，C=（0°90°） 求：ABC 的面积（用含 a、b、的代数式表示）【问题解决】用文字叙述：已知任意三角形的两边及夹角（是锐角），求三角形面积的方法是S= absinC（C 是 a、b 两边的夹角） 【问题应用】已知平行四边形 ABCD（图 4）中，AB=b，BC=a，B=（0°90°）求：平行四边形 ABCD 的面积（用含 a、b、的代数式表示）第 31页（共 85页）用扫描两边的，可以获得学习资料！【分析】探究二：如图 2 中，作 AHCB 于 H求出高 AH，即可解决问题； 探究三：如图 3 中，作 AHCB 于 H求出高 AH，即可解决问题；问题解决：S= absinC（C 是 a、b 两边的夹角）；问题应用：如图 4 中，作 AHCB 于 H求出高 AH，即可解决问题；【解答】解：探究二：如图 2 中，作 AHCB 于 H在 RtAHC 中，