工程数学线性代数第六版第一章PPT课件

1、第一章第一章 行列式行列式一一. . 二（三）阶行列式二（三）阶行列式二二. 排列与逆序排列与逆序三三. n 阶行列式的定义阶行列式的定义四四. 行列式的性质行列式的性质五五. 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开六六. Cramer 法则法则 行列式概念的形成行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法行列式的基本性质及计算方法（定义）（定义） 利用行列式求解线性方程组利用行列式求解线性方程组线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析

2、几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容 由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推

3、理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术）。 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在

4、各种代数分支中占居首要地位； 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 课程的性质与任务 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基

5、础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得： 、行列式 、矩阵 、向量组的相关性、矩阵的秩 、线性方程组 、相似矩阵与二次型 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能

6、力。 本章主要讨论以上三个问题。本章主要讨论以上三个问题。首先来看行列式概念的形成首先来看行列式概念的形成问题的提出：问题的提出：求解二、三元线性方程组求解二、三元线性方程组 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式引出引出一一. 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式二元线性方程组：二元线性方程组： 22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得由消元法，得 21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得得211211221122211)(abbaxaaaa 同理，得同理，得212221121122211)(baabxaaaa

7、 于是，当于是，当021122211 aaaa时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 为便于记忆，引进为便于记忆，引进记号记号22211211aaaaD 21122211aaaa 称记号称记号22211211aaaaD 为为二阶行列式二阶行列式其中其中 ，数，数)2 , 1; 2 , 1( jiaij称为元素称为元素 为行标，表明元素位于第为行标，表明元素位于第 行行ii 为列标，表明元素位于第为列标，表明元素位于第 列列jj注：注：(1) 二阶行列式二阶行列式 算出来是一个数。算出来是一个数。22

8、211211aaaa(2) 记忆方法：对角线法则记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积副对角线上两元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为因此，上述二元线性方程组的解可表示为211222112122211aaaabaabx 2221211ababD 211222112112112aaaaabbax 2211111babaD 综上，令综上，令22211211aaaaD 2221211ababD 2211112babaD 则，则，DDx11 DDx22 称称 D 为方程组的系数行列式。为方程组的系数行列式。例例1： 解方程组解方程组 12122321

9、21xxxx解：解： 因为因为1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以, 271411 DDx372122 DDx2. 三阶行列式三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组类似地，为讨论三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa引进引进记号记号333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 称之为称之为三阶行列式三阶行列式其中其中 ，数，数)3 , 2 ,

10、 1; 3 , 2 , 1( jiaij称为元素称为元素 为行标，为行标，i 为列标。为列标。j注：注：(1) 三阶行列式三阶行列式 算出来也是一个数。算出来也是一个数。(2) 记忆方法：对角线法则记忆方法：对角线法则例：例：381141102 41648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(2 对于三元线性方程组，若其系数行列式对于三元线性方程组，若其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 0 可以可以验证验证，方程组有唯一解，方程组有唯一解，DDx11 DDx22 DDx33 其中，其中，3332323222131211aabaabaab

11、D 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 二二. 排列与逆序排列与逆序定义定义1：由自然数由自然数1，2，n 组成的一个有序数组组成的一个有序数组称为一个称为一个n 元元排列排列。例如：例如： 1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数都是数1，2，3，4，5的一个排列。的一个排列。 考虑：考虑：n个数的不同排列有个数的不同排列有 个。个。n !自然排列：自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列。按数的大小次序，由小到大排列。考虑：考虑：n元排列中，自然排列只有一种元排列中，自然排列只有一种除此之外，任一除

12、此之外，任一n元排列都一定出现较大数码元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。排在较小数码之前的情况。定义定义2： 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个数前面，就称这两个数构成一个逆序逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：奇排列： 逆序数为奇数的排列。逆序数为奇数的排列。偶排列：偶排列： 逆序数为偶数的排列。逆序数为偶数的排列。),(21niii 通常记为通常记为逆序数逆序数计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法：法法1：n个数的任一个数的任一n元

13、排列，先看数元排列，先看数1，看有多少个比，看有多少个比1大的数大的数排在排在1前面，记为前面，记为; 1m再看有多少个比再看有多少个比2大的数排在大的数排在2前面，记为前面，记为; 2m继续下去，最后至数继续下去，最后至数n，前面比前面比n大的数显然没有，大的数显然没有，; 0 nm记为记为则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为nmmm 21 法法2： n 元排列元排列niii,21的逆序数的逆序数 ),(21niii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11ii小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 22ii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11 nnii法法3： ),(2

14、1niii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 nnii大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 11 nnii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 22ii 例例1：求排列求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。的逆序数。解：解：（法（法1）, 31 m, 12 m, 03 m, 14 m05 m5113)32514( （法（法2）500212)32514( 后后前前 （法（法3）前前后后 501031)32514( 例例2：求排列求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。的逆序数。9 考虑，在考虑，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 个偶排列：个偶排列：有有 个奇排列：个奇

15、排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换对换。将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换。定理定理1：对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。证明思路：证明思路： 先证相邻变换，再证一般对换。先证相邻变换，再证一般对换。定理定理2：2 n时，时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占个数的所有排列中，

16、奇偶排列各占一半，各为一半，各为2!n个。个。证明：证明： 设设n个数的排列中，个数的排列中，奇排列有奇排列有 p 个，偶排列有个，偶排列有 q 个，个，则则 pqn！对对 p 个奇排列，施行同一对换，个奇排列，施行同一对换，则由定理则由定理1得到得到 p 个偶排列。个偶排列。（而且是（而且是p个不同的偶排列）个不同的偶排列）因为总共有因为总共有 q 个偶排列，所以个偶排列，所以qp 同理同理pq 所以所以2!nqp 三三. n阶行列式的定义阶行列式的定义观察三阶行列式观察三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312

17、312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 寻找寻找规律规律：1. 三阶行列式是三阶行列式是 3！ 项的代数和。项的代数和。2. 每一项都是每一项都是 元素的乘积。元素的乘积。3.（每项的符号规律）（每项的符号规律）取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的 3 个个其任一项可写成：其任一项可写成：321321jjjaaa其中其中321jjj是是123的一个排列的一个排列当当321jjj是偶排列时，项是偶排列时，项321321jjjaaa取正号取正号当当321jjj是奇排列时，项是奇排列时，项321321jjjaaa取负号取负号二阶行列式有类似规律。二阶行列式有类似规律。根据二、三阶

18、行列式的构造规律，我们来定义根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义n阶行列式阶行列式定义定义1：n 阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211指的是指的是n！项的代数和，项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，个元素的乘积，其一般项为其一般项为,2121nnjjjaaa这里这里njjj21是是12n的一个排列的一个排列当当是偶排列时，项前面带正号是偶排列时，项前面带正号njjj21当当是奇排列时，项前面带负号是奇排列时，项前面带负号njjj21即即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 n

19、nnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( 其中其中 njjj21表示对所有表示对所有n元排列取和元排列取和注：注：(1) 当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式aa 此处此处a不是不是a的绝对值，的绝对值， 例如行列式例如行列式11 (2) 定义表明，计算定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一然后看第二个下标（列标）

20、所成的奇偶性来决定这一项的符号。项的符号。例例1：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。的项。例例2：若若443312432211432213 , ,kikikiaaaaaaaaaaaa为四阶行列式的项，试确定为四阶行列式的项，试确定i与与k，使前两项带正号，使前两项带正号，后一项带负号。后一项带负号。例例4： 计算四阶行列式计算四阶行列式hgfedcbaD00000000 例例3： 计算行列式计算行列式0004003002001000 D四个结论：四个结论：(1)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0）nnnnaaaaaaD0

21、0022211211 nnaaa2211 (2)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 (3)nnaaaD2211 nnaaa2211 （显然）（显然）(4)11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 符号定理：符号定理：令令nnjijijiaaa2211是是n阶行列式中的任一项，阶行列式中的任一项，则项则项nnjijijiaaa2211的符号等于的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii 证明：证明： 由行列式定义可知，确定项由行列式定义可知，确定项)1(2

22、211nnjijijiaaa的符号，的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。为此，我们先来研究若交换项（为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。对换任意两元素，相当于项（对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。列标排列同时经过一次对换。设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为t。设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换

23、后行标排列的逆序数为s 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为t 由定理，对换改变排列的奇偶性由定理，对换改变排列的奇偶性所以，所以，ss 是奇数是奇数tt 也是奇数也是奇数所以所以)()(ttss 是偶数，是偶数，即即)()(tsts 是偶数，是偶数，所以所以ts 与与ts 同时为奇数或同时为偶数。同时为奇数或同时为偶数。即，交换项（即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。另一方面，经过若干次对换项（另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以）中元素的次序，总

24、可以把项（把项（1）变为）变为,2121nnkkkaaa所以所以tsts )1()1()()12(21)1(nkkkn )(21)1(nkkk 得证。得证。由此，得行列式的等价定义由此，得行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 四四. 行列式的性质行列式的性质性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。nnnnnnaaaaaaa

25、aaD212222111211 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 称为称为D的的转置行列式转置行列式证明：证明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 设设则则jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定义由行列式定义 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( Daaannnjjjnjjjjjj 21212121)()1( 说明说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。对列也成立，反之亦然。性质性

26、质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。互换行列式的两行（列），行列式的值变号。证明：证明：设设nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交换交换s、t 两行，得两行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s行行t行行由行列式定义可知，由行列式定义可知，D中任一项中任一项可以写成可以写成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因为因为nstntsnjsjtjjnjtjsjjaaaaaaaa1111 （2）（1）显然这是显然这是1D中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而

27、且个元素的乘积，而且（2）式右端的）式右端的n个元素是按它们在个元素是按它们在1D中所处的行标为自然顺序中所处的行标为自然顺序排好的。因此排好的。因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一项。中的一项。（3）因为，排列因为，排列ntsjjjj1与排列与排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以项（奇偶性相反，所以项（1）与项（）与项（3）相差一符号，这就证明）相差一符号，这就证明了了D的任一项的反号是的任一项的反号是1D中的项，同样可以证明中的项，同样可以证明1D中的中的任一项的反号也是任一项的反号也是D中的项。中的项。因此，因此，DD记法记法行列式的第行列式

28、的第s行：行：sr行列式的第行列式的第s列：列：sc交换交换s、t两行：两行：tsrr 交换交换s、t两列：两列：tscc 推论：推论：如果行列式有两行（列）相同，则行列式为如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。证明：证明： 把相同的两行互换，有把相同的两行互换，有DD，所以所以 D0性质性质3：用数用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。推论：推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面记法记法第第s行乘以行乘以k：skr第第s列乘以列乘以k:skcnnn