随机过程蒙特卡罗法的原理和应用

1、随机过程期末论文姓名：韩江平 学号：12015001107 专业：物理电子蒙特卡罗计算方法基本简介：蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。可用于各种非线性系统的分析与仿真，由于计算量大和需要产生大量随机数，一般都会使用计算机进行大量模拟仿真。基本思想：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值，或者是与概率、数学期望有关是的

2、量时，通过某种"实验"的方法，得到该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值。以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。1、工作过程蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤:构造或描述概率过程;实现从已知概率分布抽样;建立各种估计量。(1)构造或描述概率过程对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问

3、题。(2) 实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量(或随机向量)，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布(或称矩形分布)。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这

4、样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。(3)建立各种估计量一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解2、 应用领域蒙特

5、卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程)等领域应用广泛，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学 、信息科学、公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的应用。3、 方法优缺点蒙特卡罗法在具体的工作中主要由两部分构成：第一部分是需要产生某一概率分布的随机变量。第二部分是用统计方法把模型的数字特征估计

6、出来，从而得到实际问题的数值解。优点：1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。2、 受几何条件限制小。3、 收敛速度与问题的维度无关。4、 具有同时计算多个方案和多个未知数所求量的能力。5、 误差容易确定。6、 程序结构简单、易于实现。缺点：1、收敛速度慢。2、 误差具有概率性。3、 在粒子输运过程中，计算结果与系统大小有关。具体应用 由于蒙特卡罗法是用于随机输入非线性系统性能的统计分析。因此是一种概率统计，接下来具体介绍一下我所了解的几种蒙特卡罗法的具体应用。1、 求解不规则图形的面积在求解一些非线性方程在某一区间的积分的时候，也即求解该方程与坐标轴所围成的面积的时候，

7、往往无法求解，而蒙特卡罗法则可以很好地解决这个问题，此方法需要大量的产生随机数。首先，用一个标准矩形将所求的不规则图形包含住，假设矩形面积为A，离原点最远点坐标为(m，n)此时用计算机产生大量的随机坐标(s，t)，0<s<m,0<t<n。然后进行统计，得到所给坐标中在不规则图形内的坐标数量为，产生的总的坐标数为。当足够大的时候，可以近似得到不规则图形面积为A。2、复杂武器系统仿真分析：在复杂武器系统研制的后阶段，需要进行以系统的数学模型作为基础进行系统性能分析。为了使结果具有可信度，需要在其中包含非线性影响和随机作用，非线性影响包括有固有物理规律的非线性、金属构件的非线

8、性和自身结构的非线性；而随机作用包含噪声、传感器测量误差、随机输入和随机初始条件。而由于此系统的非线性，使用理论的分析方法是不适用的，所以就需要利用蒙特卡罗法来进行非线性系统的仿真：利用给出的非线性模型，施加不同的随机选择初始条件和变量，进行大量的计算机仿真，来得到仿真结果的集合。蒙特卡罗法在用于对系统的性能估计上是很方便的，但是在研究设计参数对系统性能的影响上，由于需要消耗大量的计算机时间，蒙特卡罗法并不方便。在此应用中，需要确定系统对有限数量的初始条件和随机噪声输入函数的响应。因此，蒙特卡罗分析所要求的信息包括系统的模型、初始条件统计和随机输入统计量。1、系统模型蒙特卡罗法所依据的系统模型

9、由状态方程形式给出X(t)=f(X,t)+G(t)W(t)假定系统状态变量为正态分布，给定初始状态变量的均值和协方差为EX(0)=m0E(X(0)-m0)(X(0)-m0)T=P01、 N次独立模拟计算所谓N次独立模拟计算指的是以下过程：（1） 按照给定的统计值m0，产生用随机数作为初始的随机状态矢量X（0）。（2） 根据给定随机输入的均值b（t）及谱密度矩阵Q（t）来产生伪随机数，作为随机输入噪声。（3） 对状态方程进行数值积分，从t=0到系统的终端时刻t=tF为止。蒙特卡罗法的原理由下图说明3、 状态矢量的均值和协方差估值的计算进行N次独立模拟计算之后，得到一组状态轨迹，记为：X(1)t，

10、X(1),W(1)(T)X(2)t，X(2),W(2)(T).X(N)t，X(N),W(N)(T) 应用总体平均的方法求出状态矢量X（t）的均值和协方差的估值如下：4、 估计值的精度评定 作为参数，需要指出近似值的精度才行，应该指出，估值和也是随机变量，当样本容量足够大时，近似得到E()=mE()=()=/ 换句话说，对于大的N值，样本平均值服从正态分布N(m，/)，样本均方差服从正态分布N(m，/),因此有P(|-m|/)=0.6827P(|-m|2/)=0.9545P(|-m|3/)=0.9973将上式稍加变化，对于大N值，可用估值近似代替式中真值，得到P(-/m+/)=0.6827P(-

11、2/m+2/)=0.9545P(-3/m+3/)=0。9973由此得到了状态变量均值m的区间估计，也就是给出了样本平均值的精确度，这可以叙述如下：区间-2/,+2/能包含状态变量均值m的概率是0.9545，称该区间为均值估值置信概率为0.9545的置信区间，其他两个式子可作类似解释。 类似的，对均方根估值有P(-/+/)=0.6827P(-2/+2/)=0.9545P(-3/+3/)=0.9973通常，N>25才可近似作为大样本，采用上述的参数估计方法。以上为在复杂武器系统后期进行非线性系统的模拟仿真，通过蒙特卡罗法来得到系统性能的分析，来判断系统的稳定性等方面。3、蒙特卡罗法模拟光子和

12、电子(Na(Tl)晶体对光子响应函数计算光子和电子的耦合输运) 确定Na(Tl)晶体对光子的响应函数是光子光谱学中的一个重要问题，为了把实验测得的多能光子脉冲高度谱分解成单色光子脉冲高度谱，需要把Na(Tl)晶体对光子的响应函数进行刻度。 由于光子和探测器内物质发生反应后，产生次级光子和电子，而电子和正电子在运输过程中又会产生光子，这种光子和电子耦合运输过程是非常复杂的，用一般数值方法难以解决，蒙特卡罗法能够在较少近似的情况下，真实的模拟这种复杂的物理过程，因而该方法成为计算此类问题的有效工具。蒙特卡罗法模拟光子和电子的步骤使用蒙特卡罗法模拟初始光子及其所有次级光子和电子的轨道，计算相应函数，

13、能量沉积谱和探测效率。1、 光子的模拟步骤（1） 光子由源出发，入射到探测器，由于从源各向同性，发射的光子击中探测器的数量不多，为提高抽样效率，在绝对坐标系下，以r=(0,0,)为球心，以R=为半径，做一个包含探测器的辅助球，首先确定击中该球的光子，然后再从中选取击中探测器的光子。（2） 光子输运，确定碰撞点的位置，对于初始光子，使用首次限制碰撞技巧，限制其在探测器内与原子核首次发生作用，同时引入权重纠偏因子 其中u（E）、LI分别为光子沿其运动方向经过的第i个介质区域 的衰减系数和输运距离。对于初始光子的非首次碰撞及次级光子，采用一般方法输运，如光子逃出系统，其历史结束，否侧发生碰撞。 （3

14、）如光子在探测器内与原子核发生作用，确定作用类型。 （4）如发生光电效应，将K层的电子结合能EK 累加到沉积能量记录单元中去确定光电子的能量和运动方向转向电子模拟。 （5）如发生康普顿散射，确定光子散射后的能量和运动方向，存储起来，计算康普顿电子的能量和运动方向，转向电子模拟。 （6）如发生对生成，分别计算电子、正电子的能量和运动方向，转向电子模拟。 （7）如发生三产生作用，确定反冲电子的能量，将其累加到沉积能量记录单元中，转向步骤6。二、电子、正电子的模拟（1）用散射关系式计算能量为E0的电子或正电子的射程，以及轫致光子的数目n，如果n不是整数，用随机抽样方法确定轫致光子的个数K，即：K=n

15、+1 当§n-nK=n 其他·表示取整，如果K1，在电子射程中，均匀抽取K个轫致光子产生时该电子所走的轨迹长度，从小到大排列好。（2） 对于正电子，计算飞行湮没的概率P，并以概率P发生飞行湮没，同时确定发生飞行湮没时的能量EP。（3） 如果电子或正电子的能量小于某一确定值，引入射程截断，对其进行直线处理，即，计算电子射程及其到达区域边界的距离，并判别电子在该区域内死亡或者逃脱，如果电子射程小于到达边界距离，则电子死亡，否则逃脱，逃脱时，根据能量射程关系式计算出电子逃出该区域时的能量，进入新区域，重复该过程，直到电子离开探测器。对于正电子，在探测器死亡时，发生湮没，产生两个光

16、子，存储起来，转向步骤7。（4） 如果电子或正电子能量大于E*进行多次散射，假设第n次散射后的能量为En，第n+1次散射的能量为En+1=K·En。利用射程关系式计算出输运长度L=LN-LN+1。其中Ln为En时的的射程。如果L大于电子到区域边界的距离，则电子离开区域。计算离开时的能量，进入新的区域或者离开探测器，否侧，进入n+1的状态，转向3。（5） 对于任何情况的电子（直线处理或多次散射），均依照电子所走过的轨迹长度总和确定是否有轫致光子产生，如有，确定轫致光子能量，位置和运动方向，存储起来。在没有轫致光子的产生情况下，沉积能量不考虑轫致光子能量这一部分。（6） 对于正电子，在多次散射中及可能发生飞行湮没的情况下，当电子能量Ep时。发生飞行湮没，正电子消失，产生两个光子，将他们存储起来。（7） 在电子和正电子模拟结束后，将存储的光子取出，转向光子的模拟，存储的全部次级光子模拟结束，一个由源发出的光子的全部历史结束，根据其沉积总能量记录对能量沉积谱的贡献。 由整个光子、电子的模拟步骤来看，两种粒子的耦合输运问题模拟很复杂，模拟过程