信号与系统：第19讲 第9章 拉普拉斯变换3

1、第第9 9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 9.79.7用拉普拉斯变换分析和表征用拉普拉斯变换分析和表征LTILTI系统；系统；2022-3-15信号与系统第19讲2n零极点图对傅里叶变换几何求值零极点图对傅里叶变换几何求值n拉普拉斯变换的频域信息拉普拉斯变换的频域信息n采用几何求值得到采用几何求值得到n拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质n线性线性n时移、频移时移、频移n尺度变换尺度变换n共轭、卷积共轭、卷积n时域微分、时域微分、s域微分域微分n时域积分时域积分n初值定理、终值定理初值定理、终值定理2022-3-15信号与系统第19讲3n拉普拉斯变换特点拉普拉斯变换特点n运算简单运算简单n与傅里叶

2、变换对应，能分析频率响应与傅里叶变换对应，能分析频率响应n信号非绝对可积也能分析信号非绝对可积也能分析n运用拉普拉斯变换分析系统运用拉普拉斯变换分析系统n分析系统的频率响应分析系统的频率响应n分析系统的因果性和稳定性分析系统的因果性和稳定性n分析微分方程表示的系统分析微分方程表示的系统n运用拉普拉斯变换设计系统运用拉普拉斯变换设计系统n通过功能要求描述系统频率响应及系统函数通过功能要求描述系统频率响应及系统函数n得到系统的微分方程描述得到系统的微分方程描述n得到系统的流图描述得到系统的流图描述n得到系统基本功能单元及其关系的描述得到系统基本功能单元及其关系的描述2022-3-15信号与系统第1

3、9讲4n0.系统函数的概念系统函数的概念nLTI系统的输入输出关系在时域描述系统的输入输出关系在时域描述nLTI系统的输入输出关系在系统的输入输出关系在s域描述域描述n1.因果性因果性n因果系统的单位冲激响应在因果系统的单位冲激响应在t0时应为时应为0，h(t)是一个右边信号是一个右边信号( )( )* ( )y th tx t( )( )( )Y sH s X s( )( ),()( )H sh tsjH jh t为拉普拉斯变换，为的傅里叶变换()( )H jH s为系统的频率响应,称为系统的转移函数或系统函数( ), ( )( ),LTI( )stststx tey te H seH s是

4、系统的特征函数，称为系统的特征值函数( )H s 不仅与系统的频率响应有关，还与系统的因果性、稳定性有关ROC因果系统的系统函数的是某个右半平面( )H sROC系统函数的是某个右半平面的系统一定是因果的吗？2022-3-15信号与系统第19讲5n因果性举例因果性举例1n反因果系统反因果系统( ) 1( )?1seH ssh ts 系统函数,，求它的R e1( ) 11te u tss ，R eL1(1) 11steeu tss （）利用时移性质：，R eL1( )(1)th teu t（）求得系统单位冲击响应：( )0,(0),h tt系统不是因果系统( )( )H sROCH sROC系统

5、函数的是某个右半平面的系统不一定是因果的，只有是有理的，是某个右半平面的系统才是因果的( )0,(0), ( )( )h tth tH sROC为左边信号，有理的系统函数的是某个左半平面，该系统就是反因果的，2022-3-15信号与系统第19讲6n2.稳定性稳定性n稳定系统的单位冲激响应是绝对可积的稳定系统的单位冲激响应是绝对可积的n稳定系统的频率响应是存在的稳定系统的频率响应是存在的( )()h tH j存在F( )H sROCjLTI当且仅当系统函数的包括轴，一个系统就是稳定的1LTI( )(1)(2)sHsss有系 统 ， 系 统 函 数， 根 据 给 定 的 收 敛 域 ，求 相 应

6、的 单 位 冲 激 响 应 h(t),并 判 断 稳 定 性R eImS平面112R eImS平面112R eImS平面11212 / 31 / 3( )(1)(2)12sHsssss2121( )( )33tthteeu t非 稳 定 因 果 系 统2221( )( )()33tthteu teut稳 定 非 因 果 系 统2321( )()33tthteeut 非 稳 定 非 因 果 系 统2022-3-15信号与系统第19讲7n稳定的因果系统稳定的因果系统( )( )H sH s当且仅当的全部极点都位于s平面的左半平面，即全部极点的实部都为负数，一个具有有理系统函数的因果系统才是稳定的1

7、( ) 1(1)(2)sHssss 系 统 函 数， R e123( )(1)(2)12sHsssss2( )23( ) tth teeu t为 稳 定 的 因 果 系 统1( ) 1(1)(2)sHssss系 统 函 数， R e123( )(1)(2)12sHsssss2( )23() tth teeut为 稳 定 的 非 因 果 系 统2022-3-15信号与系统第19讲8n3.由线性常系数微分方程表征的由线性常系数微分方程表征的LTI系统系统n傅里叶变换可用于求解线性常系数微分方程的解傅里叶变换可用于求解线性常系数微分方程的解n用拉普拉斯变换求解更方便用拉普拉斯变换求解更方便( )(

8、)( )3 ( )( )( )dy tLTTx ty ty tx tdth t一系统，输入输出满足线性常系数微分方程求系统冲激响应( )3( )( )sY sY sX s对方程应用拉普拉斯变换性质：( )1( )( )3Y sH sX ss系统函数：如果没有其他条件，不知道系统函数的收敛域，无法求得单位冲激响应3 3( )( )tsh teu t 如果系统是因果的，可知，单位冲激响应R e3 3( )()tsh teut 如果系统是非因果的，可知，单位冲激响应R e2022-3-15信号与系统第19讲9n一般线性常系数微分方程表征的一般线性常系数微分方程表征的LTI系统系统00( )( )LT

9、IkkNMkkkkkkdytdx tabdtdt线性常系数微分方程表征的系统的一般形式： 系统函数的收敛域，可以通过系统的因果性、稳定性进行推断0000( )( )( )NMkkkkkkMkkkNkkka s Y sb s X sb sH sa s方程两边进行拉普拉斯变换： 系统函数：， 00Mkkkb s通过方程 求得系统零点 00Nkkka s通过方程 求得系统极点2022-3-15信号与系统第19讲10n4. 系统特性与系统函数的关系举例系统特性与系统函数的关系举例n(1)已知输入输出，求解系统特性已知输入输出，求解系统特性32( )( ) ( )( ) tttx teu tteeu t

10、输入：输出：y1111( ) 3 ( )= 1 312(1)(2)X ssY sssssss R eR e 3 1 1sss （- ,-2),(-2,-1),(-1, )是H(s)的三个可选收敛域，为满足包含的条件，只能是R eR eR e( )3( ) 3 1 ( )(s+1)(s+2) Y ssH sROCssX s 包含 R eR e2( )( ),tth teeu t解得：系统是稳定的因果系统22( )( )( )( ) 32 ( )3 ( ) dytdy tdx tH sy tx tdtdtdt由可写出系统微分方程：2022-3-15信号与系统第19讲11n(2)根据条件求系统特性根

11、据条件求系统特性1.2.-243.( )1( )04.04ssx ty tt系统是因果的；系统函数是有理的，有两个极点 和若，则单位冲激响应在时的值为 。1.2.根据 和 因果(右边)系统的极点不全在左半平面是不稳定的( )( )( )(2)(4)p sH sp sss令，其中待定s ( )( )( )( )(2)(4)q sH sq sp sss令，其中s003. ( )1, ( )(0)0( )0ttx tey tHeH ss 根据，所以在有零点2s( )4.lim( )lim(0 )4(2)(4)ssq ssH shss根据 利用初值定理：2s( )lim( )4(2)(4)sq sq

12、sss=4 只有在分子分母是s的同阶多项式才成立，所以4( )(2)(4)sH sss2022-3-15信号与系统第19讲12n5. 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器n设计巴特沃斯滤波器，其要求为设计巴特沃斯滤波器，其要求为221()1 (/)NcB jjj(s)B设计目标就是要求得，给出描述系统的微分方程2*()()()B jB jBj根据定义: *()()BjBj若限制设计的系统其单位冲激响应为实函数，根据傅里叶变换共轭对称则: 221() ()1 (/)1,( ) ()1 ( /)NcNcB jBjjjjssB s Bssj则：令转换到 域:1/2/2(21)(21)/2/2,NjjkjkN

13、ccseee为极点pcs极点的模(21)22pksN极点的相角：2022-3-15信号与系统第19讲13n巴特沃斯滤波器极点分析巴特沃斯滤波器极点分析n列出列出N=1,2,3,6的极点位置，分析可知的极点位置，分析可知(21)22pksN极点的相角1.22.3./cNNN半径圆上， 个极点在角度上等分割配置极点不出现在虚轴， 为奇数实轴上有极点相邻极点角度差弧度( )(),ppB sBsssss 和的极点成对出现，有则有( )B s系统为稳定且因果，则的极点在左半平面12NN分析和两种情况1( )ccNB ss：2222( )( )( )1 ( )( ) 2 2( )( ) cccccdy t

14、dy tdy tNy tx tNy tx tdtdtdt：分子的常数保证系统函数在s=0时的模为1 22/4/4222( )2ccjjccccNB ssesess：2022-3-15信号与系统第19讲14本讲小结本讲小结n拉普拉斯变换用于系统特性的分析拉普拉斯变换用于系统特性的分析n系统特性：系统特性：n因果性因果性n稳定性稳定性n微分方程表示的系统的分析微分方程表示的系统的分析n系统函数系统函数n系统函数收敛域与系统特性系统函数收敛域与系统特性n系统特性分析举例系统特性分析举例n巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计n从系统函数的约束性要求到系统方程的推导从系统函数的约束性要求到系统方程的推导

15、9.25(b)(d)(f)9.25(b)(d)(f)、 9.279.27、 9.319.312022-3-15信号与系统第19讲16补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n1、系统的稳定及其条件、系统的稳定及其条件n时域分析时域分析n稳定系统的定义：对于有限（有界）的激励只能产生稳定系统的定义：对于有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应。有限（有界）的响应。n若若 |e (t)| Me 0 t 则则 | r (t)| Mr 0 t n ，s 在无穷大处有（在无穷大处有（m n ）阶极点，而无穷大在虚）阶极点，而无穷大在虚轴上，稳定系统在虚轴上不能有重阶极点，故有轴上，稳定系统在虚轴上不能有

16、重阶极点，故有 m n 1，既，既得得 m n +1。0)(limtht2022-3-15信号与系统第19讲18补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n反馈系统反馈系统nE(s) G(s) = Y(s)nR(s) H(s)Y(s)G(s) =Y(s)nR(s)G(s) = Y(s)1+H(s)G(s)n这里这里 T(s) 是整个反馈系统的系统函数，是整个反馈系统的系统函数，G(s) H(s) 为开为开环转移函数。环转移函数。 G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)( )( )( )( )1( ) ( )Y sG sT sR sH s G s2022-3-15信号与系统第19讲19补充：系统

17、的稳定性补充：系统的稳定性n2、通过转移函数，初步判定系统的稳定性、通过转移函数，初步判定系统的稳定性n稳定系统的极点必须位于稳定系统的极点必须位于S的左半平面内的左半平面内n极点位于虚轴上极点位于虚轴上称为临界稳定称为临界稳定.n极点位于极点位于S右半平面上右半平面上不稳定不稳定.n稳定系统在虚轴上只能有单阶极点稳定系统在虚轴上只能有单阶极点. 在复变函数在复变函数理论中理论中,s=0,s=的点都落在虚轴上的点都落在虚轴上.当当mn时时,s时时,虚轴上就会有虚轴上就会有m-n阶极点阶极点,为保证系统为保证系统稳定稳定m-n=1,只有一阶极点。只有一阶极点。n0jjjm0iiisasb)s(D

18、)s(N)s(H2022-3-15信号与系统第19讲20补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n多项式分解，用系数判定系统的稳定性多项式分解，用系数判定系统的稳定性（必要条件（必要条件）n将将H(s)的分母的分母D(s)多项式分解，稳定系统只出现：多项式分解，稳定系统只出现：(s+a)实根，实根，(s2+bs+c)复根，复根，(s2+d)虚根。（虚根。（a、b、c、d为正）为正）n多项式多项式 系数系数ana0都应为正值都应为正值(或全部为负值）或全部为负值）nD(s)多项式从最高次幂排列到最低次幂应无缺项，仅允多项式从最高次幂排列到最低次幂应无缺项，仅允许许a0=0。此时有一零根系统临界稳定的

19、必要条件。此时有一零根系统临界稳定的必要条件n若若D(s)缺全部的偶次项缺全部的偶次项(包括包括a0项项)，或缺全部的奇次项，或缺全部的奇次项。系统临界稳定的必要条件。系统临界稳定的必要条件011n1nnnasasasa) s (D2022-3-15信号与系统第19讲21补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n特征多项式系数进行的判定是必要性判定特征多项式系数进行的判定是必要性判定n不满足上述条件的，系统肯定不稳定不满足上述条件的，系统肯定不稳定n满足上述条件，系统不能保证稳定满足上述条件，系统不能保证稳定n举例举例n2s3+ s2+ s1+ 6=0n符合第一条件，全部系数同号，没有缺失项符合第

20、一条件，全部系数同号，没有缺失项n但是此方程的三个根分别为但是此方程的三个根分别为31722j、2022-3-15信号与系统第19讲22补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n3、罗斯罗斯-霍维茨霍维茨 (RH) 判据判据n若若 D(s) = a ns n + a n-1s n-1 + a 1s + a 0 nD(s) 方程式的根全部位于方程式的根全部位于 s 左半平面的必要条件是：多左半平面的必要条件是：多项式的全部系数都是正值（或均为负值）且无缺项项式的全部系数都是正值（或均为负值）且无缺项.n充分必要条件是：罗斯阵列中第一列数字（或称元素）充分必要条件是：罗斯阵列中第一列数字（或称元素）符

21、号相同。符号相同。n罗斯阵列的排写规则：罗斯阵列的排写规则：n（1）将）将 D(s) 的所有系数按如下顺序排成两行。的所有系数按如下顺序排成两行。a na n-1a n-2a n-3a n- 4a n-5a n- 6a n-7依此类推依此类推排到排到a0止止2022-3-15信号与系统第19讲23补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n（2）罗斯阵列）罗斯阵列Sn An Bn Cn Dn -Sn-1 An-1 Bn-1 Cn-1 Dn-1 -Sn-2 An-2 Bn-2 Cn-2 - -Sn-3 An-3 Bn-3 Cn-3 -S2 A2 B2 0 S1 A1 0 0S0 A0 0 0头两行为头

22、两行为A n = a n , A n-1= a n-1, Bn= a n-2 ,B n-1= a n-3 , C n = a n- 4 , -下面各行按如下公式计算：下面各行按如下公式计算：11121112112nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA2022-3-15信号与系统第19讲24补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n这样构成的阵列共有（这样构成的阵列共有（n+1）行，且最后两行都只有一）行，且最后两行都只有一个元素。个元素。第一列称为罗斯数列第一列称为罗斯数列。n观察观察罗斯阵列中第一列数字罗斯阵列中第一列数字有无符号变化，若有，则系有无符号变化

23、，若有，则系统不稳定；反之，系统是稳定的。统不稳定；反之，系统是稳定的。n罗斯定理：罗斯定理：在在罗斯数列罗斯数列中，若各数字符号不尽相同，则中，若各数字符号不尽相同，则顺次计算符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的顺次计算符号变化的次数等于方程所具有的实部为正的根数。根数。221123221123nnnnnnnnnnnnACACABABABAA各元素的一般递推式为各元素的一般递推式为iiiiiiiiiiiiACACABABABAA1111112022-3-15信号与系统第19讲25补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n例题：判断下列方程是否有实部为正的根。例题：判断下列方程是否有实部为正的

24、根。n解：该方程的罗斯阵列为解：该方程的罗斯阵列为n可见方程有两个具有正实部的根，且可判定此特征可见方程有两个具有正实部的根，且可判定此特征方程对应的系统不稳定。方程对应的系统不稳定。2s3 +s 2 +s + 6 = 061101611111621101AAS3 2 1S2 1 6 S1 -11 0s0 6 02022-3-15信号与系统第19讲26补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n例题：有反馈系统如图所示，其中例题：有反馈系统如图所示，其中 H(s) =1 时，称为全反馈。问时，称为全反馈。问K为何值系统稳定？为何值系统稳定？n解：该反馈系统的系统函数为解：该反馈系统的系统函数为( ),( )1(1)(4)KG sH ss ss G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)32( )(1)(4)( )1( )( )541(1)(4)KG sKs ssT sKG s H ssssKs ss2022-3-15信号与系统第19讲27补充：系统的稳定性补充：系统的稳定性n所以，系统的特征方程为：所以，系统的特征方程为：n它的罗斯阵列为：它的罗斯阵列为：n分析阵列知系统稳定条件为：分析阵列知系统稳定条件为：n合并两个不等式，得到合并两个不等式，得到s 3 +5 s 2 + 4s +K = 0S3 1 4S2 5 K520K0S0