选修《推理与证明》教学指导意见解读

1、选修选修22推理与证明推理与证明教学指导意见解读教学指导意见解读【教育价值】【教育价值】 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式习和生活中经常使用的思维方式 它是选修它是选修12和选修和选修22共有的内容选修共有的内容选修22的推理与证明内容另增加了数学归纳法的推理与证明内容另增加了数学归纳法 以往的高中数学课程中，忽视了合情推理，新课标以往的高中数学课程中，忽视了合情推理，新课标中增加了合情推理，单独提出了中增加了合情推理，单独提出了“推理与证明推理与证明”这一章节，这一章节，应予充分把握，以期达到培养学生数学素质

2、的要求应予充分把握，以期达到培养学生数学素质的要求【教育价值】【教育价值】有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系有助于学生理解数学的本质，形成对数学较为完整的认识有助于学生理解数学的本质，形成对数学较为完整的认识有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养有助于发展学生的创新意识和创新能力有助于发展学生的创新意识和创新能力【课时安排】【课时安排】 共共8课时课时211 合情推理合情推理 1课时课

3、时212 演绎推理演绎推理 2课时课时221 综合法与分析法综合法与分析法 2课时课时222 反证法反证法 1课时课时23 数学归纳法数学归纳法 1课时课时 小结小结 1课时课时【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理【重点】【重点】 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论三段论”进行简单推进行简单推理理【难点】【难点】 用归纳和类比进行合理猜想，并验证猜想的正确性用归纳和类比进行合理猜想，并验证猜想的正确性【几点建议】【几点建议】1 1、合情推

4、理的建议、合情推理的建议o 说明合情推理具有猜测和发现新结论及提供解决问题的说明合情推理具有猜测和发现新结论及提供解决问题的 思路和方法的作用，即合情猜测；思路和方法的作用，即合情猜测；o 如何做到合情如何做到合情【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1 1、合情推理的建议、合情推理的建议（1 1）归纳推理）归纳推理o 利用哥德巴赫猜想这一引入说明归纳推理是由部分到整体，利用哥德巴赫猜想这一引入说明归纳推理是由部分到整体， 由个别到一般的推理，并通过例由个别到一般的推理，并通过例1（归纳数列的通项公式）（归纳数列的通项公式） 进一步体会；进一步体会；o 教师应指出：教

5、师应指出： 归纳推理的方法（步骤）；归纳推理的方法（步骤）； 归纳是一种合理的猜测；归纳是一种合理的猜测； 归纳结论未必正确，但具有发现的功能归纳结论未必正确，但具有发现的功能【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1 1、合情推理的建议、合情推理的建议（2 2）类比推理）类比推理o 利用火星和地球、圆和球的类比说明类比推理是在两类不利用火星和地球、圆和球的类比说明类比推理是在两类不 同的对象间进行对比的、由特殊到特殊的推理，并通过例同的对象间进行对比的、由特殊到特殊的推理，并通过例 2（加、乘法运算）、例（加、乘法运算）、例3（四面体性质）进一步体会；（四面体性质）进

6、一步体会；o 教师应指出：教师应指出： 类比推理的方法（步骤）；类比推理的方法（步骤）； 类比的对象间比什么要清晰；类比的对象间比什么要清晰； 类比结果是一种猜测，不一定可靠，但具有发现的功类比结果是一种猜测，不一定可靠，但具有发现的功能能【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1 1、合情推理的建议、合情推理的建议（3 3）几点建议）几点建议o 应结合具体例子（数学实例、简单生活实例），使学生体应结合具体例子（数学实例、简单生活实例），使学生体 会合情推理的本质、意义和思维的重要性；会合情推理的本质、意义和思维的重要性；o 充分利用教材例题，不必补充过难题目，不必过于

7、复杂；充分利用教材例题，不必补充过难题目，不必过于复杂； o 例例4偏难，可移至下一课时或简单介绍偏难，可移至下一课时或简单介绍【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2 2、演绎推理的建议、演绎推理的建议（1 1）“三段论三段论”的教学的教学o 通过教材实例引入演绎推理的实质，并让学生归纳推理模通过教材实例引入演绎推理的实质，并让学生归纳推理模 式式“三段论三段论”： 大前提，大前提，小前提，小前提，结论；结论；o 注意演绎推理的书写格式：注意演绎推理的书写格式： 正确的大前提，即正确的大前提，即M是是P， 要判断命题要判断命题S是大前提是大前提M一种情况（小前提），

8、即一种情况（小前提），即S是是M， 结论：命题结论：命题S成立，即成立，即S也是也是P；o 举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式；举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式； 【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2 2、演绎推理的建议、演绎推理的建议（1 1）“三段论三段论”的教学的教学o 演绎推理是一种必然推理，只要大前提正确，小前提在大演绎推理是一种必然推理，只要大前提正确，小前提在大 前提中，则小前提的结论必定正确；前提中，则小前提的结论必定正确；o 易犯的两个错误：易犯的两个错误： 大前提错误可能导致错误的的结论，大前提错误可能导致错误的的结论， 小前提不在大

9、前提中，可举二个反例说明；小前提不在大前提中，可举二个反例说明；o 举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式；举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式； 【教学说明】【教学说明】21合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2 2、演绎推理的建议、演绎推理的建议（2 2）几点建议）几点建议o 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命的一种推理模式；演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命的一种推理模式；o 教学时应通过已学数学实例和简单生活实例，体会演绎推教学时应通过已学数学实例和简单生活实例，体会演绎推 理的作用和重要性，掌握演绎推理的基本方法和步骤，培理的作用和重要性，掌握演绎推理的基本方法和步骤，培 养严

10、谨和科学的数学思维；养严谨和科学的数学思维；o 应结合教材提供的实例组织教学，补充的实例也应是学过应结合教材提供的实例组织教学，补充的实例也应是学过 的和熟悉的，不必过多、过复杂的加深；的和熟悉的，不必过多、过复杂的加深；o 合情推理和演绎推理的联系和差异按照教材内容教学合情推理和演绎推理的联系和差异按照教材内容教学【教学说明】【教学说明】22直接证明与间接证明直接证明与间接证明【重点】【重点】 了解数学证明的三种基本方法综合法、分析法、反证了解数学证明的三种基本方法综合法、分析法、反证法及其思考过程特点法及其思考过程特点【难点】【难点】 根据不同的问题情境恰当地选择综合法、分析法、反证根据不

11、同的问题情境恰当地选择综合法、分析法、反证法进行证明法进行证明【几点建议】【几点建议】1 1、直接证明的建议、直接证明的建议o 直接证明是从命题的条件出发，根据已知定义、公理、定直接证明是从命题的条件出发，根据已知定义、公理、定理，直接推证结论的真实性；理，直接推证结论的真实性；o 常用的直接证明方法有分析法和综合法，可各安排常用的直接证明方法有分析法和综合法，可各安排1课课时时【教学说明】【教学说明】22直接证明与间接证明直接证明与间接证明1 1、直接证明的建议、直接证明的建议（1 1）综合法）综合法o 由教材由教材P85的引入归纳出综合法是由已知出发推理得要证的引入归纳出综合法是由已知出发

12、推理得要证 的结论的方法，即的结论的方法，即“由因导果由因导果”，要明确条件和结论；，要明确条件和结论；o 通过例通过例1的教学，介绍推理书写的严谨性和步骤，并结合的教学，介绍推理书写的严谨性和步骤，并结合 已学知识体会综合法的常用性和重要性；已学知识体会综合法的常用性和重要性；o 可适当补充例子让学生通过练习进一步体会可适当补充例子让学生通过练习进一步体会 【教学说明】【教学说明】22直接证明与间接证明直接证明与间接证明1 1、直接证明的建议、直接证明的建议（1 1）分析法）分析法o 由教材由教材P87的引入归纳出分析法是从的引入归纳出分析法是从结论出发逐步寻求需结论出发逐步寻求需 要的充分

13、条件，直到需要的条件已知的证明方法，即要的充分条件，直到需要的条件已知的证明方法，即“执执 果索因果索因” ” ；o 这是一种逆向思维，注意书写格式：这是一种逆向思维，注意书写格式：“要证只需证明要证只需证明”，其其 中中“只需只需”是是“要证要证”的充分条件；的充分条件；o 结合例结合例2、例、例3并可适当补充例子让学生进一步体会，掌并可适当补充例子让学生进一步体会，掌 握实质、步骤和书写格式；握实质、步骤和书写格式；o 说明分析法和综合法联系密切，可改写成综合法说明分析法和综合法联系密切，可改写成综合法 【教学说明】【教学说明】22直接证明与间接证明直接证明与间接证明2 2、间接证明（反证

14、法）的建议、间接证明（反证法）的建议o 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会 导致矛盾，即反证法不直接证明命题导致矛盾，即反证法不直接证明命题“若若p则则q”，而是先，而是先肯肯 定命题的条件定命题的条件p，并否定命题的结论，并否定命题的结论q，即从原题的反论题，即从原题的反论题 “既既p又非又非q”入手，推出一个矛盾结果；入手，推出一个矛盾结果；o 反证法的证明步骤：反证法的证明步骤：找出命题的条件和结论；找出命题的条件和结论；作出与作出与 命题相矛盾的假定；命题相矛盾的假定；推出矛盾的结果推出矛盾的结果； 原命题成原命题成立立

15、 o 体会反证法的思维方式、实质和书写的步骤，说明：体会反证法的思维方式、实质和书写的步骤，说明：其其 适用性；适用性；假设的准确性；假设的准确性；矛盾的显然性应以讲练、矛盾的显然性应以讲练、 应用为主应用为主 【教学说明】【教学说明】23数学归纳法数学归纳法【重点】【重点】 掌握数学归纳法地步骤，运用数学归纳法证明一些与自掌握数学归纳法地步骤，运用数学归纳法证明一些与自然数有关地数学问题然数有关地数学问题【难点】【难点】 对数学归纳法的思想的本质理解，它具体表现的第二个对数学归纳法的思想的本质理解，它具体表现的第二个步骤步骤【教学说明】【教学说明】23数学归纳法数学归纳法【几点建议】【几点建议】o 教学时可先通过多米诺骨牌、并排停放的自行车连着倒下教学时可先通过多米诺骨牌、并排停放的自行车连着倒下 等素材，引出数学归纳法，并归纳出其证明步骤；等素材，引出数学归纳法，并归纳出其证明步骤；o 应强调利用数学归纳法