随机变量的概率分布与数字特征

1、第二章 随机变量的概率分布 与数字特征n第一节第一节 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布n第二节第二节 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布n第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n第四节第四节 三种重要分布的渐近关系三种重要分布的渐近关系n第五节第五节 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理一、随机变量的概念一、随机变量的概念 在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现的废品个数；掷骰子出现的点数等。的废品个

2、数；掷骰子出现的点数等。 对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以数值标识。例如，对新生儿的性别，可用数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0 0表示女，表示女，1 1表示男；对生化检验的结果，可用表示男；对生化检验的结果，可用0 0表示阴性，表示阴性，1 1表示表示阳性；对生产的产品，可用阳性；对生产的产品，可用2 2表示优质品，表示优质品，1 1表示次品，表示次品，0 0表示废品等。表示废品等。 因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种随试验结果不同取不同数值的变量称为随试验结果不同取不同数值的变

3、量称为随机变量随机变量。二、离散型随机变量及其概率分布二、离散型随机变量及其概率分布1 1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的、定义：按一定概率取有限个或可列个值的随机变量，称为离散型随机变量。随机变量，称为离散型随机变量。设设X所有可能取值为所有可能取值为（i=1,2,)i=1,2,)称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的概率函数概率函数或或分布律分布律。也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）1x2x1p2p2 2、概率函数、概率函数( (分布律分布律) )12,ix xxiiP XxpX Xipipix性质性质：（：（1） （2）（i=1

4、,2,）0ip 11iip例例 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 （k=1,2,3,4,5) ,求求:(1) P(X=1或或X=2） (2)15kP Xk13PX解解 （1 1） P(X=1P(X=1或或X=2X=2）=P=P（X=1X=1）+P(X=2)+P(X=2)=1/15+2/15=1/5=1/15+2/15=1/5（2 2） =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 13PX=1/15+2/15+3/15=2/5=1/15+2/15+3/15=2/5三、离散型变量的几种常见分布三、离散型变量的几种常见分布1 1、伯努利概型、伯努

5、利概型试验只有两种可能结果：试验只有两种可能结果：A A 及及 ，把这个试验独立重复把这个试验独立重复n n次，次，就构成了就构成了n n重伯努利试验重伯努利试验，简称，简称伯努利试验伯努利试验。设设P P（A A）=p =1=p =1p=qp=q（其中（其中0p1)0p1)，A P A记记B=nB=n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A A出现出现k k次次 则则定理（伯努利公式）定理（伯努利公式） kkn knP BC p q（k=0,1,n)k=0,1,n)例例1 1 某药治某病的治愈率为某药治某病的治愈率为p p，现用此药治该病，现用此药治该病 5 5例，问治愈例，问治愈3 3例的概

6、率是多少？例的概率是多少？例例2 2 袋中装有白球袋中装有白球2020个和黑球个和黑球1010个，每次抽一个：个，每次抽一个：（1 1）作有放回抽取）作有放回抽取5 5次，求抽到白球次，求抽到白球3 3次的概率；次的概率；（2 2）作无放回抽取）作无放回抽取5 5次，求抽到白球次，求抽到白球3 3次的概率。次的概率。解解 治治5 5例病人，看成做例病人，看成做5 5次独立的试验。每次试验次独立的试验。每次试验只有只有A=A=治愈治愈 和和 =未治愈未治愈 两个结果。且两个结果。且P(A)=pP(A)=p则这个试验是则这个试验是5 5重的伯努利试验重的伯努利试验A设设B=B=治愈治愈3 3例例=

7、A=A出现出现3 3次次 23351P BC pp所以所以解解 （1 1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，属于伯努利试验，令属于伯努利试验，令A=A=抽到白球抽到白球 且且P P（A A）=2/3=2/3故故3235210.32933PC （2 2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此不属伯努利试验，应看成古典概型。不属伯努利试验，应看成古典概型。3220105300.36CCPC无放回抽无放回抽5 5次，可看成一次抽次，可看成一次抽5 5个球，由古个球，由古典公式得典公式得2 2、二项分布、二项分布（1 1）

8、若随机变量）若随机变量X X的概率函数为的概率函数为kkn knP XkC p q（k=0,1,n)，q=1-p; ,XB k n p(2)(2)性质性质则称则称X X服从二项分布服从二项分布, ,记为记为001nnkkn knkkP XkC p q 由于各概率函数值由于各概率函数值 正好是二项式正好是二项式 展开式中的对应各项展开式中的对应各项, ,故名二项分布。故名二项分布。kkn knC p qnpq0kkn knP XkC p q例例3 3 设设 ，求，求P P（X=4X=4）, , P(2X6) P(2X0.5p0.5时，不能直接查表时，不能直接查表但可以转化为其对立事件的概率计算。

9、但可以转化为其对立事件的概率计算。设设X X代表代表A A出现次数，出现次数，Y Y代表代表 出现次数，则出现次数，则X+Y=nX+Y=n且且()P XkP Ynk()P XkP Ynk1221()P kXkP nkYnk,1YB npA例例4 XB4 XB（1010，0.7)0.7)，求，求(7)P X 解解 7314P XP YP Y 1 0.350390.64961 （3 3）二项分布的最可能值：使）二项分布的最可能值：使P P（X=k)X=k)取最大值取最大值 的的k k值。即值。即n n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A A最可能最可能 出现的次数。出现的次数。结论：若结论：若(

10、n+1)p(n+1)p为整数，则为整数，则0(1)knp(1)1np和和若若(n+1)p(n+1)p为非整数，则为非整数，则0(1)knp例例5 5 有有10%10%的人对某药有肠道反应，为考察此药的人对某药有肠道反应，为考察此药的质量，现随机选的质量，现随机选5 5人服用此药，试求：人服用此药，试求：（1 1）其中）其中k(k=0,1,5)k(k=0,1,5)个人有反应的概率；个人有反应的概率；（2 2）不多于）不多于2 2人有反应的概率；人有反应的概率；（3 3）有人有反应的概率。）有人有反应的概率。解：随机选解：随机选5 5人服药，各人间对药物的反应具有独立人服药，各人间对药物的反应具有

11、独立性，且每人服药后有反应的概率均为视为性，且每人服药后有反应的概率均为视为0.10.1，这相当，这相当于做于做5 5次独立重复试验，即次独立重复试验，即p=0.1,n=5p=0.1,n=5的伯努利试验。的伯努利试验。因而反应的人数因而反应的人数XBXB（5 5，0.1)0.1)（1 1）k k个人有反应的概率为个人有反应的概率为550.10.9kkkP XkC(k=0,1,5)(k=0,1,5)概率分布表如下概率分布表如下 X 0 1 2 3 4 5 P(X=k) 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001(2)(2)不多于不多于2 2人有

12、反应的概率为人有反应的概率为202kP XP Xk=0.9045+0.32805+0.0729=0.9045+0.32805+0.0729=0.99144=0.99144(3)(3)有人有反应的概率为有人有反应的概率为(1)1(0)1 0.590490.40951P XP X 3 3、泊松分布、泊松分布( (稀有事件模型稀有事件模型) );XP k 在很多实际问题中，在很多实际问题中，n n重伯努利试验中的重伯努利试验中的n n往往往往很大，很大，p p很小，则试验结果很小，则试验结果A A出现的次数出现的次数X X，可看成，可看成泊松分布。泊松分布。 正是因为结果正是因为结果A A在在n n

13、次试验中出现的次数非常少，次试验中出现的次数非常少，故故A A可看作稀有事件。可看作稀有事件。!kP Xkek（k=0,1,2.)k=0,1,2.)其中参数其中参数0（1 1）概率函数）概率函数（2 2）性质）性质 01!kkek 服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的，服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的，例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现次品的件数，等等。次品的件数，等等。（3 3）泊松定理）泊松定理 在在n n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，

14、事件A A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为p p。若。若 ，npnp也较小，则令也较小，则令 =np=np有有 （k=0,1,2,) k=0,1,2,) lim; ,!knB k n pekn 从定理也可看出，事件从定理也可看出，事件A A发生的次数发生的次数X X若服从参数若服从参数为为 的泊松分布，则的泊松分布，则 表示表示A A在大量试验中发生的在大量试验中发生的平均次数。平均次数。例例6 6 已知某厂生产的针剂的废品率为已知某厂生产的针剂的废品率为0.010.01，400400支支针剂中，废品至少有针剂中，废品至少有5 5支以上的概率是多少？支以上的概率是多少？解：设解

15、：设400400支针剂中废品数为支针剂中废品数为X X，检查，检查400400支针剂看支针剂看成做成做400400次独立重复试验，即次独立重复试验，即n=400;n=400;每次试验结果每次试验结果为废品或正品，抽到废品的概率即为废品或正品，抽到废品的概率即p=0.01p=0.01则则XBXB（400400，0.010.01），可近似看成泊松分布），可近似看成泊松分布400 0.014np44045141!kkP XP Xek 01444441 (.)0.371160!1!4!e 例例7 7 某人在一次试验中遇到危险的概率是某人在一次试验中遇到危险的概率是1%1%，如果他在一年里每天都要独立重

16、复做一次这样的如果他在一年里每天都要独立重复做一次这样的试验，那么他在一年中至少遇到一次危险的概率试验，那么他在一年中至少遇到一次危险的概率是多少？是多少？解：此人做的试验可看成伯努利试验解：此人做的试验可看成伯努利试验,n=365,n=365,每次每次试验遇到危险的概率试验遇到危险的概率p=0.01p=0.01设他在一年中遇到危险的次数为设他在一年中遇到危险的次数为X X，则，则XB(365,0.01)XB(365,0.01)因为因为n n很大，很大，p p较小，可近似看成泊松分布较小，可近似看成泊松分布365 0.013.65np03.653.6511010.970!P XP Xe 4 4

17、、两点分布（、两点分布（0 01 1分布）分布）1kkP Xkp q（k=0,1)X Xpipi0 10 1q 1q 1q=pq=p可以看出，两点分布即为二项可以看出，两点分布即为二项分布中分布中n=1n=1的特殊情况。的特殊情况。例例8 8 一批产品共一批产品共100100件，其中有件，其中有9595件正品，件正品，5 5件废品，件废品，从中任取一件，观察产品质量从中任取一件，观察产品质量. .若其结果用随机变量若其结果用随机变量X X来描述，求来描述，求X X的概率函数。的概率函数。解：设抽到正品，解：设抽到正品，X=1X=1；抽到废品，；抽到废品，X=0X=0则则X X的分布律为的分布律

18、为X X0 10 1P P5100951005 5、几何分布、几何分布1kP Xkpq（k=1,2,)k=1,2,)引例引例 进行重复独立实验，设每次成功的概率为进行重复独立实验，设每次成功的概率为p,p,将实验进行到出现一次成功为止，以将实验进行到出现一次成功为止，以X X表示所需表示所需实验的总次数，求实验的总次数，求X X的分布律。的分布律。6 6、超几何分布、超几何分布引例引例 设有设有NN件产品，其中有件产品，其中有MM件正品，现任取件正品，现任取n n件，件，求求n n件中恰有件中恰有k k件正品的概率。（以件正品的概率。（以X X表示表示n n件中的件中的正品数）正品数）kn k

19、MN MnNC CP XkCk=0,1,2,k=0,1,2,l,其中其中l=Min(M,n)l=Min(M,n)四、分布函数四、分布函数1、定义：、定义： 设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，为任意实数， 则称函数则称函数 为为X X的分布函数。的分布函数。 F xP Xx2 2、性质、性质 01F x0F 1F 0F xF xF(x)F(x)在间断点处右连续，即在间断点处右连续，即F(x)F(x)单调不减单调不减1221P xXxF xF x3 3、常用公式、常用公式由此看出，已知由此看出，已知X X的分布函数就可知的分布函数就可知X X在任一范围在任一范围内取值的概率，这说明分

20、布函数全面地描述了内取值的概率，这说明分布函数全面地描述了随机变量的分布情况。随机变量的分布情况。4 4、离散型随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布函数 iixxF xP XxP Xx例例 设某药检所从送检的药品中先后抽设某药检所从送检的药品中先后抽3 3件，如果件，如果送检的送检的1010件中有件中有2 2件失效，试列出检得次品数的件失效，试列出检得次品数的概率分布表，并求出分布函数。概率分布表，并求出分布函数。（分段函数）（分段函数）解解 检得次品数为随机变量，设为检得次品数为随机变量，设为X X，则，则X X的可取值为的可取值为0 0，1 1，2 2 ，由古典概率计算得，由古典概率计

21、算得3831000.4667CP XC122831010.4667C CP XC212831020.0666C CP XCX Xip0 01 12 20.4667 0.4667 0.06660.4667 0.4667 0.0666X X的分布函数为的分布函数为当当x0 x2x2时，时， 012012020 xF xdttdtt dtdt=1=1（2 2）0.50.50.125P XF或或 0.520.50.5000.50.1252xP Xfx dxxdx0.21.21.20.20.66PXFF或或 1.211.20.20.210.21.220.66PXf x dxxdxx dx二、连续型随机变

22、量的几种常见分布二、连续型随机变量的几种常见分布1 1、正态分布、正态分布 22212xf xe0(1)(1)分布形式分布形式(2)(2)图形与性质图形与性质 特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .正态分布的密度曲线是一条正态分布的密度曲线是一条关于关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线. .x x轴是轴是f(x)f(x)的渐近线的渐近线x2,XN 可见可见 决定了图形的中心位置，称为位置参数；决定了图形的中心位置，称为位置参数； 决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数. .左图左图 不变不变右图右图 不变不变（3 3）标准正态

23、分布）标准正态分布标准正态分布函数标准正态分布函数 2212txxedt xx 1xx 2212xxe重要公式重要公式： 1xf x xF x 若若 ，则，则2,XN (0,1)XNXN(0,1)XN(0,1)例例1 1 设设XNXN（0,1)0,1)，求：，求：（1 1） ； （2 2）（3 3）2P X 2P X 2P X 解解 （1 1）22P X 查表得查表得0.022750.02275（2 2） 2121210.97725P XP X =0.02275=0.02275（3 3） 22222PXPX 2210.9545 结论：结论：设设XNXN（0 0，1 1），则），则 21P Xa

24、a 例例2 2 设设XNXN（2 2，4 4），求：），求：（1 1）f(5) (2)P(-4X2)f(5) (2)P(-4X2)解解 由已知得由已知得 ， 22（1 1） 1521151.50.12950.064752222f（2 2） 4224PXFF 22420.50.001350.4986522 例例3 3 设设 ，求，求2,XN （1 1）1.96P X（2 2）3P X解解 （1 1）1.961.96XP XP21.9610.95 （2 2）33XP XP 2310.9987 这个结果说明在一次试验中，服从正态分布的随机这个结果说明在一次试验中，服从正态分布的随机变量变量X X落在

25、区间落在区间 内的概率相当大，即内的概率相当大，即X X几乎必然落在上述区间内，这就是通常所说的几乎必然落在上述区间内，这就是通常所说的“ ”原理。原理。33 ,3 2 2、均匀分布、均匀分布 10axbf xba其它XUa,bXUa,b这说明这说明X X落在子区间的概率只与子区间的长度有关，落在子区间的概率只与子区间的长度有关，与子区间的位置无关。与子区间的位置无关。（1 1）形式）形式1c lclP cXcldxbaba设（设（c,c+l)c,c+l)是是a,ba,b上的一个子区间，则上的一个子区间，则（2 2）分布函数）分布函数 01xaxaF xaxbbaxb3 3、对数正态分布、对数

26、正态分布若若 ，则称，则称X X服从对数正态分布。服从对数正态分布。2lg,xN 4 4、韦布尔分布、指数分布、韦布尔分布、指数分布5 5、 分布分布一、均数（数学期望）一、均数（数学期望）引例引例 设有一批药材是由三个等级的药材组成，现设有一批药材是由三个等级的药材组成，现观察它的等级观察它的等级X X。若有放回地抽取。若有放回地抽取1010件，其中有件，其中有5 5件件1 1等、等、3 3件件2 2等、等、2 2件件3 3等，则所取的等，则所取的1010件产品的平均等级是多少？件产品的平均等级是多少？解解 X X的所有取值为的所有取值为1,2,31,2,3，1010件产品的平均等级为件产品

27、的平均等级为5 1 3 22 31.710 等将上式改写成将上式改写成532231.7101010 1 这种把每个等级与相应的频率乘积的和，称为这种把每个等级与相应的频率乘积的和，称为1,2,31,2,3分别以分别以5/10,3/10,2/105/10,3/10,2/10为权的加权平均。为权的加权平均。 我们知道，如果再抽取我们知道，如果再抽取1010件，平均等级就不一定件，平均等级就不一定是是1.71.7等了，可见由于抽样不同，抽样的平均等级也等了，可见由于抽样不同，抽样的平均等级也不同，它是一个随机变量。但是，随着试验（抽取不同，它是一个随机变量。但是，随着试验（抽取药材）的次数增大，出现

28、药材）的次数增大，出现1,2,31,2,3等品的频率就会逐渐等品的频率就会逐渐稳定在稳定在各自的概率附近。稳定在稳定在各自的概率附近。 设设 表示第表示第i i（i=1,2,3)i=1,2,3)等药材出现的概率，则整等药材出现的概率，则整批药材的平均等级为批药材的平均等级为ip123123ppp 我们称这种加权平均值为均数，也叫数学期望。我们称这种加权平均值为均数，也叫数学期望。1 1、离散型随机变量的均数、离散型随机变量的均数1iiiEXx p设离散型随机变量设离散型随机变量X X的概率函数为的概率函数为iiP Xxp（i=1,2,3,)i=1,2,3,)则规定则规定X X的均数的均数均数是

29、反映随机变量取值的集中均数是反映随机变量取值的集中趋势的一个数字特征。趋势的一个数字特征。例例1 1 已知已知X X的分布列为的分布列为X X0 1 20 1 2Pi 求求EXEX解解 ： 11130122444EX 2 2、连续型随机变量的均数、连续型随机变量的均数 EXxf x dx 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为f(x)f(x)，则规定，则规定X X的均数为的均数为例例2 2 求在求在a,ba,b上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量X X的均数的均数EXEX。解解 依题意有依题意有 10axbf xba其它由定义得由定义得12baabEXxdx

30、ba3 3、常见分布的均数、常见分布的均数（2 2）若）若XBXB（n,p)n,p)，则，则EX=npEX=np（3 3）若）若 ，则，则 XPEX（4 4）若）若XUa,bXUa,b，则，则2abEX（5 5）若）若 ，则，则2,XN EX（1 1）若）若XX两点分布，则两点分布，则EX=pEX=p4 4、均数的性质、均数的性质（1 1）E(c)=c (cE(c)=c (c为常数）为常数）（2 2）E kXkEX（k k为常数）为常数）（3 3）E kXbkEXb（k,bk,b为常数）为常数）（4 4）E XYEX EY(X(X与与Y Y独立）独立）例例3 3 已知已知X X的分布列为的分布

31、列为X X0 1 20 1 2Pi 求求E(2X+3)E(2X+3)解解2323EXEX3234.54二、方差二、方差 均数反映了随机变量取值的平均情况，它是随机均数反映了随机变量取值的平均情况，它是随机变量的一个重要数字特征，但只看均数是不够的，还变量的一个重要数字特征，但只看均数是不够的，还应知道随机变量的取值对均数的偏离程度。应知道随机变量的取值对均数的偏离程度。引例引例 设有甲、乙两台制丸机生产同一种药丸的直径设有甲、乙两台制丸机生产同一种药丸的直径（mm)mm)的概率分布表如下的概率分布表如下X 5 6 7 8 9X 5 6 7 8 9Pi 0.05 0.1 0.7 0.1 0.05

32、Pi 0.05 0.1 0.7 0.1 0.05Y 4 5 6 7 8 9 10Y 4 5 6 7 8 9 100.05 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.050.05 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.05ip如果药丸的标准直径为如果药丸的标准直径为7mm7mm，问哪台机器的性能，问哪台机器的性能更好？更好？解解 易算出易算出EX=EY=7,EX=EY=7,可见两台机器都是按标准生可见两台机器都是按标准生产的。但是从分布可见，甲机器比乙机器生产的丸产的。但是从分布可见，甲机器比乙机器生产的丸径稳定，也就是甲生产的丸径与标准丸径的偏差小。径稳定，也就是甲生产的丸径与标准丸径

33、的偏差小。因此，甲机器的生产性能比乙好。因此，甲机器的生产性能比乙好。 最终，我们选用最终，我们选用 来刻画随机变量来刻画随机变量X X的取的取值对均数值对均数EXEX的平均偏离程度（波动程度）。的平均偏离程度（波动程度）。2E XEX1 1、方差定义、方差定义2DXE XEXDX称为称为X X的标准差。的标准差。方差反映了随机变量取值对均数的平均偏离程度。方差反映了随机变量取值对均数的平均偏离程度。（1 1）离散型）离散型2iiiDXxEXp（2 2）连续型）连续型 2DXxEXf x dx其中其中 （i=1,2,)i=1,2,)iipP Xx其中其中f(x)f(x)是是X X的概率密度函数

34、的概率密度函数 为了便于计算，可由定义式推出实用计算公式为为了便于计算，可由定义式推出实用计算公式为2222DXE XEXE XX EXEX22222EXEX EXEXEXEX即即22DXEXEX3 3、方差的性质、方差的性质（1 1）D D（C C）=0=0（C C为常数）为常数）（2 2） （k k为常数）为常数）（3 3） （k k、b b为常数）为常数）（4 4） （X X与与Y Y独立，可推广到独立，可推广到任意有限个相互独立随机变量的情况）任意有限个相互独立随机变量的情况）2D kXk DX2D kXbk DXD XYDXDY例例4 4 已知已知X X的分布列为的分布列为X X0

35、1 20 1 2Pi 求求D(2X+3)D(2X+3)解解 D(2X+3)=4DX=D(2X+3)=4DX=224 EXEX0 1 40 1 4ip1/2 1/4 1/41/2 1/4 1/42X由由X X的分布列得的分布列得211150142444EX 则则而由例而由例1 1知知EX= EX= 34所以所以253114416DX三、变异系数三、变异系数标准差相对于均数的变化率标准差相对于均数的变化率DXCVXEX变异系数用来比较两个均数相差很大或者量纲不同变异系数用来比较两个均数相差很大或者量纲不同的随机变量取值的波动程度。的随机变量取值的波动程度。例例5 5 据调查，某地据调查，某地181

36、8岁男子身高均数为岁男子身高均数为165.08cm165.08cm，标准差为标准差为4.98cm4.98cm，体重均数为，体重均数为51.6kg51.6kg，标准差为，标准差为5.01kg5.01kg，试比较该地男子的身高和体重波动程度哪，试比较该地男子的身高和体重波动程度哪个大？个大？ 解解 因为身高和体重单位不同，直接用标准差比较因为身高和体重单位不同，直接用标准差比较波动程度不合适，应用变异系数来比较波动程度不合适，应用变异系数来比较身高身高体重体重4.983.02%165.08CVX 5.019.71%51.6CVY 可见，体重的相对波动程度大于身高的相对波动可见，体重的相对波动程度大

37、于身高的相对波动程度。程度。 离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变量离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变量的正态分布，是三种最基本也是最重要的分布，它的正态分布，是三种最基本也是最重要的分布，它们之间有着密切的联系，即们之间有着密切的联系，即当当 时，二项分布以泊松分布为极限分布；时，二项分布以泊松分布为极限分布；当当 时，二项分布以正态分布为极限分布；时，二项分布以正态分布为极限分布；当当 时，泊松分布以正态分布为极限分布时，泊松分布以正态分布为极限分布n n n 以上第一种渐近分布在第一节中已经介绍过，这以上第一种渐近分布在第一节中已经介绍过，这里不再重复。以下介绍后两种渐近分布。

38、里不再重复。以下介绍后两种渐近分布。二项分布的正态近似二项分布的正态近似当当 时，时，2,B n pN n 2,npnpq有了二项分布的两个近似运算，现总结二项分布问题有了二项分布的两个近似运算，现总结二项分布问题中的计算方法的选择：中的计算方法的选择：（1 1）当）当n n为一个较小的数，可直接用二项分布公式为一个较小的数，可直接用二项分布公式（2 2）当）当n n是一个大的数，是一个大的数，p p很小，很小，npnp较小，则用泊松较小，则用泊松分布近似计算；分布近似计算；（3 3）当）当n n是一个大的数，是一个大的数，npnp较大时，则用正态分布较大时，则用正态分布近似计算近似计算1kP

39、 Xk2112kkP kXk 例例1 1 某车间送检一批针剂某车间送检一批针剂, ,其中次品的概率是其中次品的概率是0.01,0.01,问抽检问抽检500500支针剂，有支针剂，有5 5支次品的概率是多少？支次品的概率是多少？解解 设抽检的设抽检的500500支针剂中次品数为支针剂中次品数为X X则则XBXB（500500，0.01)0.01)，其中，其中n n很大，很大，np=5np=5较小，较小，因此化为泊松分布因此化为泊松分布P(5)P(5)近似计算近似计算55550.17555!P Xe例例2 2 对一癌症高发病地区进行普查，患病率为对一癌症高发病地区进行普查，患病率为0.005,0.

40、005,现有这地区一万人的乡村，试求：现有这地区一万人的乡村，试求：（1 1）此乡有）此乡有7070人患癌症的概率；人患癌症的概率；（2 2）有）有30503050人患病的概率；人患病的概率；解解 设一万人的乡村中患癌症的人数为设一万人的乡村中患癌症的人数为X X，则，则XBXB（10000,0.005)10000,0.005)，此时，此时n n很大，但很大，但np=50np=50较大，较大，故用正态分布来计算故用正态分布来计算50np249.75npq50,49.75XN（1 1）17050700.00149.7549.75P X(2)(2)50503050305049.7549.75PX

41、02.840.50.00230.4977 当当 时，时，n 2,PN 2, 泊松分布的正态近似泊松分布的正态近似例例3 3 某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品数为某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品数为3535件，试估计下个月内出现废品数少于件，试估计下个月内出现废品数少于4040件的概率。件的概率。解解 设此药厂每月生产的废品数为设此药厂每月生产的废品数为X X，出现废品属于伯，出现废品属于伯努利试验之稀有事件，则努利试验之稀有事件，则XPXP（3535），可用正态分布），可用正态分布近似计算近似计算35235则则XNXN（3535，3535）39 350 350400393535

42、PXPX0.685.920.7517 所谓极限定理，就是采用极限的方法得出随机变所谓极限定理，就是采用极限的方法得出随机变量分布的一系列定理。一般可以分为两类：量分布的一系列定理。一般可以分为两类：第一类是阐述若干个随机变量的均数的极限定理，第一类是阐述若干个随机变量的均数的极限定理，统称为大数定律；第二类是阐述在怎样的条件下，统称为大数定律；第二类是阐述在怎样的条件下，当当n n不断增大时，不断增大时，n n个独立随机变量之和的极限分布个独立随机变量之和的极限分布为正态分布，统称为中心极限定理。为正态分布，统称为中心极限定理。1 1、切比雪夫不等式（、切比雪夫不等式（ChebyshevChe

43、byshev）2|DXPXEX设随机变量设随机变量X有期望有期望EX和方差和方差DX，则对于则对于 ,有有0 一、大数定律一、大数定律或或2|1DXPXEX 切比雪夫不等式只用均数和方差就描述了随机变量切比雪夫不等式只用均数和方差就描述了随机变量大概的概率分布情况，无需知道大概的概率分布情况，无需知道X X的分布，因此它在的分布，因此它在理论研究及实际应用中很有价值。理论研究及实际应用中很有价值。例例1 1 某地区调查某地区调查1000010000名某疾病患者，该病需住院名某疾病患者，该病需住院治疗的概率为治疗的概率为0.70.7，试用切比雪夫不等式估计，试用切比雪夫不等式估计1000010000名患者中同时需要住院的人数在名患者中同时需要住院的人数在6800720068007200之间之间的概率。的概率。解解 设设X X表示同时住院的病人数，则表示同时住院的病人数，则XB(10000,0.7)XB(10000,0.7)若要精确计算，应用正态分布近似计算，即若要精确计算，应用正态分布近似计算，即7000np22100npqXN(7000,2100)XN(7000,2100)现用切比雪夫不等式来估计现用切比雪夫不等式来估计EX=np=7000,DX=npq=