上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲学习能力型问题(1)一、概念学习型

1、上海市封浜中学高三数学二轮专题复习:第2讲学习能力型问题(1)学习新的数学知识的能力指的是通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识(包括新的概念、定理、公式、法那么和方法等)，并能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力，这里我们简称为学习能力.学习能力型问题常见的有以下几种类型：1 概念学习型；2. 定理(公式)学习型；3. 方法学习型.我们还是从各地高考数学试题中的学习能力型问题开始.一、概念学习型例1 .(北京2004)定义“等和数列：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么 这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.数列an是等和数列，且ai 2，公和为5

2、，那么ai8的值为.这个数列的前n项和Sn的计算公式为.解析：这里给出“公和的概念，其实就是摆动数列2,3,2,3,2,3,，所以 Sn52n，n为偶数5n 1 , n为奇数例2对于任意两个集合 X和Y , X-Y指所有属于X但不属于Y的集合，X和Y的对称差X Y规定为X Y= (X-Y )U (X-Y )。2设 A= y ! y=x ,x R, B=y j y=3sinx,x R，求 A B。解：A B=-3 , 0)U( 3, +s)例3如果有穷数列a1,a2,a3,L,an ( n为正整数)满足条件a1an,a2an 1，ana1，即aian i 1(i 1,2,L , n ),我们称其

3、为“对称数列.例如，由组合数组成的数列需,8丄，需就是“对称数列.(1 )设bn是项数为7的“对称数列，其中b1,b2,d,b4是等差数列，且b1 2 ,b4 11 .依次写出 bn的每一项；(2 )设Cn是项数为2k 1(正整数k 1)的“对称数列，其中Ck,Ck 1,L1是首项为50,公差为 4的等差数列.记 cn各项的和为S2k 1 .当k为何值时，S2k 1取得最大值？并求出 S2k 1的最大值；(3)对于确定的正整数 m 1，写出所有项数不超过 2m的“对称数列，使得1,2, 22,l ,2m1依次是该数列 中连续的项；当 m 1500时，求其中一个“对称数列前2022项的和S202

4、2 .当k 13时，S2k1取得最大值.S2k 1的最大值为626.解：(1 )设bn的公差为d，那么b4b13d 23d 11，解得 d 3，数列 bn 为 2,5,8,11,8,5,2(2) S2k 1C1C2Ck 1CkCk 1C2k 12( CkCk 1C2k 1 ) Ck ,S2k14(k 13)2 413250，(3 )所有可能的“对称数列是:«m 2 2m 1,2 , 2对于，当m > 2022时，S20222222007220222m2 m 1 m221 , 2, 2 , L , 2, 2, 2 丄,2 , 2, 1；2m2 m 1 m 1 m 221 , 2,

5、 2 , L , 2, 2, 2, 2 丄，2 , 2, 1 ;2m 1,2m 2 ,L , 22,2, 1 , 2, 22 丄,2m 2 ,2m 1 ；2m 1,2m 2 丄,22 , 2, 1 , 1 , 2, 22 丄2m 12口 1?2m 2022?m?m 1?2m 20221 对于，当m > 2022时，S20222 20221 当 1500m < 2007时,S20222口 12 2m 20221对于，当m > 2022时，S20222m?m 2022当 1500m < 2007时,S20222 m2 2022 m3 对于，当m > 2022时，S20

6、222 m?m 2022当 1500m < 2007时,S2022?m22022 m2 2M是满足以下性质的函数f(x)的全体：存在非零常数对任意x R,有T,当 1500 m< 2007时，S20221例4.( 03年上海理科)集合f(x+T )=T f(x)成立.(1) 函数f(x)= x是否属于集合 M ?说明理由；(2) 设函数f(x)=ax (a>0,且az 1 )的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax M ;(3) 假设函数f(x)=sinkx M ,求实数k的取值范围.解(1)对于非零常数 T, f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx.因为对任意x

7、 R, x+T= Tx不能恒成立，所以(2)因为函数f(x)=ax (a>0且az 1)的图象与函数 y=x的图象有公共点，?2m 2022m 1 m2 22m 2f(x)= x M .x所以方程组： y a有解，消去y得ax=x,显然y xx=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T,使aT=T.a x Tf (x)故 f(x)=ax M.于是对于 f(x)=ax有 f (x T) ax T aT ax T当kz 0时，因为f(x)=si nkx M,所以存在非零常数(3)当 k=0 时，f(x)=0，显然 f(x)=0 M.T,对任意 x R，有 f(x+T)=T f(x)成立,即

8、 sin(kx+kT)=Tsin kx .因为 kz 0,且 x R,所以 kx R , kx+kT R,于是 sinkx 1, 1 , sin(kx+kT) 1, 1,故要使 sin (kx+kT)=Tsi nkx .成立，只有 T= 1 ,当 T=1 时，si n( kx+ k)=si nkx 成立，贝 U k=2m n , m Z .当 T= 1 时,sin(kx k)= sinkx 成立, 即 sin(kx k+ n )= sinkx 成立,那么一k+ n =2m n , m Z ,即 k= 2(m 1) n , m Z .综合得，实数k的取值范围是 k|k= m n , m Z例5.

9、某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(兀)的范围200 , 400)400, 500)500 , 700)700 , 900)获得奖券的金额(元)3060100130根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购置标价为 400元的商品，那么消费金额为320元，获得的优惠额为:400 X 0.2+30=110 (元).设购置商品得到的优惠率=购头商品获得的优惠额，试问：商品的标价(1)购置一件标价为1000兀的商品，顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在500, 800(元)内的商

10、品，顾客购置标价为多少元的商品，可获得不小于1-的优惠率?3(1) 1000 0-2 13033%1000(2)设商品的标价为 x元那么500800 ,消费额：4000.8x6400.2x60由得(I)x4000.8x13500或(II)不等式组(I)无解，不等式组(II)0.2x100x5000.8x13640的解为625 x 7501因此，当顾客购置标价在625, 750元内的商品时，可得到不小于的优惠率。32例6.(上海1999)设椭圆C1的方程为 笃a2与 1 ( a b 0)，曲线C2的方程为b2y -，且C1与C2在x第一象限内只有一个公共点D .(1) 试用a表示P点的坐标；(2

11、) 设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求 ABP的面积函数S(a)的值域；(3) 记min y1,y2, , yn为几畑 ,Yn中最小的一个，设g(a)是以椭圆&的半焦距为边长的正方形的 面积，试求函数 f(a) min g(a), S(a)表达式.解：前两小题为常规题.1(1)将y 代入椭圆方程得,x2x_a2b2,2 2b x2 2a 0,把它看成关于x的二次方程,那么厶 a4b4 4a2b20a2b24, ab解得x2；，或x(舍去)，于是P点的坐标为 a ,22 a(2)在厶ABC 中，|AB| 2 . a2 b2二 S(a)2,a2b2a -，即 aa2 ,0 刍 1

12、 , - 0 S(a) 、2，即 S(a)的值域为(0 , . 2). a(3)这是个新概念学习题,给出了 min的记号及含义，要理解它的实质.要些考生在理解上有偏差，对g(a)与S(a)不能分类进行比拟.g(a) c2 a2 b2a2假设 g(a) S(a)，即84a 10a240,即44a 4 a 60,解得 a亠(舍), f(a) ming(a), S(a)4 , .2a4，6例7.(上海2002春)对于函数知函数f (x)(1)(2)(3)f (x)，假设存在1) ( a 0).x0 R，使f(x°)X。成立，那么称X。为f (x)的不动点.已于直线2ax (b 1)x (b

13、当a 1 , b 2时，求函数f(x)的不动点；假设对任意实数b，函数f (x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围内；在(2)的条件下，假设 y f (x)图像上A、B两点的横坐标是函数 f (x)的不动点，且 A、B两点关1y kx 2 对称，求b的最小值.2a 1分析：此题给出了一个“不动点的概念来考查学生的学习能力，主要是基于以下考虑：(1) 该概念学生在理解上不会感到困难，比拟适合目前学生的认知水平.(2) 该概念容易与学生已有的知识建立联系，并可在新的情景下结合函数、方程和不等式的知识进行考查.(3) 该概念与函数图像有较密切的联系(不动点其实就是函数图像与直线y x的交点的横坐标).解：(1) f(x) x2 x 3，因为x0为不动点，因此有f(x0) X：x。Xo ,解得X01或X0 3，所以1和3为f (x)的不动点.(2)因为f ( x)恒有两个不动点, 4a (b 1)> 0恒成立，即对于任意 所以0v av 1.f (x) =ax2+( b+1) x+ ( b 1) =x,b R, b2 4ab+4a>