(完整版)泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介

1、第六章广义函数与Sobolev空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。下面用几个例子加以说明。例6.1(脉冲)20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。这套算法要求对如下函数1x0h(x)0 x0求导数，并把导数记为(x)。但按照经典分析的理论，h(x)并不可导，因此(x)不可能是普通意义下的函数， 它除了作为一个记号进行形式演算外， 在数学上是没有意义的。 但是,这个(x)在实际中是没有意义的，乂代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。例6.2(Dirac符号)在微观世界中，把可观测到物质的状态用波

2、函数来描述，最简ix.edx则，并广泛地使用。例6.3(广义微分)在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。这标志着现代微分方程理论的诞生。基丁上述原因， 扩充函数概念， 为广义函数寻找坚实的数学基础， 对数学家提出了新的挑战。20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此丁1950年获得数学最高奖一一菲尔兹奖。6.1基本函数空间与广义函数6

3、.1.1基本函数空间把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。 广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。这类函数空间称为基本函数空间。在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。1对丁欧氏空间Rn,x(x,x2,L,xn)表示Rn中的点，范数Ix(x2x；Lx)2。设P1,P2,L,Pn为n个非负整数，有序数组p(P1,P2,L,Pn)称为多重指标单的波函数具有形式eix(x(),是实参数，并考虑如下形式的积分这种积分按Cauchy积分来定义，1i一e2显然，这个极限在普通意义下不存在。dxlimnJ2然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的步发

4、展了不少关丁(x)的运算法nix.1sinnedxlim(x)，并认为是Dirac符号。特别，在量子力学中，进应用泛函分析(第二版)pp1p2Lpn。对丁多重指标p,引进偏微分算子pip2Ipnx1x2LxnRn是非空开集，是的闭包。C()表示在上定义的连续函数全体组成的线性空问。对丁任何非负整数k,Ck()表示全体在内由k次连续可微的偏导数，且在一上的连续的函数组成的线性空间，特别C0()C(一)。设的支集是集合(x:(x)0)在内的闭包，并记为supp(x:(x)0)。Co()表示Ck(一)中满足支集是一内紧集(有界集)的所有函数组成的空间，C()ICo(k0),即表示支集是内紧集的无穷次

5、可微函数全体。显然，下面的包含关系成立C()Lk1k1()C；()LC()例6.4设Rn上定义的函数为1j(x)Cne1x10 x1这里Cn是依赖丁维数n的常数，即那么j(x)是无穷次连续可微的，且suppjxRn：x1,nj(x)dx1,因此Rnj(x)C(Rn)。从j(x)出发，我们可以构造出许多C(Rn)中的函数。下面我们来构造对任何非空开集,C0()中的函数。为此，对任意0,记1xj(x)-nj(-),那么jC0(R)【定理6.11设(x)是上定义的一个可积函数，并且在的一个紧集K外包为零,则当0充分小时，可积函数Cn=ix1e11|x2dx(x)(y)j(xy)dy是Co()中的函数

6、。证明：记KxRn：dist(x,K)，这里dist(x,K)表示x到K的距离，当充分小时，K，当xK时，对一切yK均有|xy,丁是j(xy)0。(x)(y)j(xy)dyk(y)j(xy)dy0K因此suppK,而.1.lmj(xhey)j(xy)(y)dyx1h0hlimj(xhe1y)(y)dyh0 x1上式利用了微分中值定理，(0,1),(1,0,L,0)Rn,乂j是连续可微函数，因此存在M0使j(x)M(xRn)x1应用Lebesgue控制收敛定理，得V耽二j(x馅y)(y)dyxxj(xy)(y)dyXI由丁jC(Rn),对任何多重指标p(P1,P2,L,Pn)重复上述过程，可得到

7、DPDpj(xy)(y)dy丁是 CO()。下面我们在 CO()上引进收敛的概念。【定义6.1】设iCO(),CO(),如果满足下列条件：(1)存在一个紧集K,使得应用泛函分析(第二版)supp(j)K(j1,2,L),supp()K(2)对丁任意多重指标p(PI,P2,L,pn),函数列Dpj在K上一致收敛于Dp，即(2)对0,及多重指标p,存在自然数N,使当j1,j2N时，有使得证明留作习题则称i收敛丁并记为D(),在maxDxKpj(x)Dp(x)，记为jD，而称C(明确时，可简写为D根据D中收敛概念的定义，容易证明:(1)设j,jD,则对任何数，有这说明D中的线性运算关丁收敛概念是连续

8、的则若那么0(j)按照收敛概念及线性运算为基本函数空间,如果(2)对任一多重指标p,DP：DD这一线性映射是连续的，即jD,DpDpDpjDp。【定义6.2】称iD为Cauchy歹U,如果满足:(1)存在紧集K使suppKj1,2,L；maxDxKj1xDpj?x【定理6.2】D是完备的，即若D是任意一个Cauchy歹0，则存在D,应用泛函分析(第二版)6.1.2广义函数的基本概念例6.6设Rn是非空开集，fx是上定义的一个局部可积函数，即对丁的任何紧子集K,积分fxdx通过局部可积函数f定义D上的泛函fxxdx则f是广义函数。(1)线性：对任何数,及1,2D有(2)连续：设jf12f1f2D

9、,D,若jD，则有一切广义函数所组成的集合,例6.5函数，设fjfjj记作D。Rn是非空开集，a,对丁任意则a是广义函数。证明：显然a是Daa上的线性泛函。设jD,D【定义6.3】D,定义0若jD，则更有D上的一切线性连续泛函，称为广义函数，即D上的广义函数满足jaa从而即a在D上是连续的,所以a是一个广义函数,a为集中在点a的Dirac广义函数，简称为函数。特别，当0,0,L,0Rn中零元素时，记为(6.1)从而由式（6.1）定义的积分有意义。根据式（6.1），显然f*是线性的。设jD,D,且jD，丁是存在紧集K使suppjK,suppK，且j在K上一致收敛丁。取常数M0，使supjxM,那

10、么由Lebesgue控制收敛定理，有xK*fjfxjxdxfxixdxKjfxxdxKfxxdxj即*f*jfj这说明*.、.一f连续，因此f是D上的广义函数。记LLOC为上全体局部可积函数组成的集合，通过例6知道，每个fLLOC都对网一个厂义函数f,称这样的f为函数型广义函数。【定理6.3】映射T:LLOCD定义为*Tff则T是一对一线性映射。由丁证明较繁琐，这里略去。通过定理6.3,我们可以把局部可积函数f与由f定义的广义函数f视为同一， 这样局部可积函数是广义函数。例6.7考察在R上的函数0 x,0;hx1x0,通常称hx为Heaviside函数。显然,hLLOCR，丁是它定义DR上的、

11、.、-*广义函数h为*hhxxdxxdx0是否每个广义函数都是函数型的，即对广义函数g*D,是否存在局部可积函数f使*gfxxdx证明：由丁fx是局部可积的，那么对任何D,fxx在supp上可积,应用泛函分析（第二版）回答是否定的。也就是说D中确实存在非函数型广义函数。例6.8a不是函数型的广义函数。证明：用反证法。设a是函数型的，则存在一个定义丁上的局部可积函数f使得对一切D成立fxxdxa取正数r充分小，使耳ax:|xa|r,定义函数显然，a,rD，由式（6.2）得另一方面，lima,rx0ae，由Lebesgue控制收敛定理，有limfxarx0r0（6.4）矛盾，故不是函数型的。【定理

12、6.4】fD当且仅当对任意紧集K，存在常数C及非负整数m,使得当suppK时有fxCsupDpD|pmxK证明：充分性。由式（6.5）知f是D上定义的连续性泛函，因此fD必要性。用反证法。若不然，有紧集K,使式（6.5）不成立。丁是对任何自然数j,存在函数jD,且suppjK使fjjsupDpjx（6.6）IPjxK丁是令jjsupDpjx|p|jxK(6.2)a,rx2re|xar20 xBraxBrafxa,rxdxa,ra这样式（6.3）与式第;六章广义函数与Sobolev空间简介贝U?jD,且supp?jK,再由式（6.6）可得f?j1（6.7）乂supDp?jx1|pjxKj因此，?

13、jD0,丁是f?f0,这与式（6.7）矛盾。在广义函数空间D上规定加法与数乘运算：设fi,f2D,R定义flf2flf2（fl）fl则很容易证明fif2D,fiD,因此D是一个线性空间。【定义6.4】设fjD,fD,如果对丁一切D成立limfjf则称fj在D中收敛丁f,记为fjf。D按照这种收敛概念，称为广义函数空间。容易证明，D中加法与数乘运算关丁收敛是连续的，即如果fjf,gjg,则对任何数，有例6.9在R上，函数列fjx是LLOCR中的函数列，从而可视为广义函数列，那么fj。证明：由丁业dx,因此x.1Tsinjxlimdx1TTx对任意DR，存在 TO0,使suppTO,TO。那么当T

14、T0时TfjxxdxTfjxxdx另一方面，对0取T1足够大，使当TTI时有fjgjfg1sinjj1,2,Lx应用泛函分析（第二版）Tsinjx,dx从而当TmaxT0,T1时有fjTsinjx0dx02Tsinjx0dx对丁固定T，由丁函数？xx20一一.一是Riemann可积的，因此由Riemann引理limT0sinjx?xdx0丁是存在自然数n,当jn时因此fj由的任意性得故fjfjfj这个例子给出了关丁本章例注：(Riemannalimfxsinnxdxnb中找到。1.在D中证明:Tsinjx?xdx0Jlimn2中的Dirac符号的合理数学解释。设f是a,b上Riemann可积函

15、数，则cosnxdx0。读者可在任何一本数学分析教科书习题6.12*x24t第;六章广义函数与Sobolev空间简介2.设fjx1-j1,2,L，证明：fjxex。jjj3.设Rn是一个开集，fjx是上的一列局部可积函数，并且对任意广义函数求导的思想来源丁经典分析学中的分部积分，为此，先回顾一下分部积分的基本思想是上定义的两个连续可微函数，若supp是内的紧集，贝Uafxxdxfxxdx可见，利用分部积分可将一个函数的求导运算化为对另一个函数的求导，广义函数的导入引入，就是遵循这一法则而得来的。对任一多重指标p,Dp是一个由D到D的连续映射，因此可有：【性质6.11设fD,定义gf一D,则gD

16、。XI证明：显然g是D上线性泛函，设jD,D,若jD，那么jDXIXI从而fDfXI因此gjg，故gD。紧集K，存在常数 MK使得fjx*fjf0。4.设Rn是-个非空开集，K使得0 x1,且在K上包有x5.证明定理6.2o6.2广义函数的导数及性质MK,乂fjxfxae,证明:是紧集。证明：存在函数Co,1。XI应用泛函分析（第二版）所以|xa0,xxdxxxdx0aa0.xdxxdx0a00202【定义6.6】定义D上的泛函为那么f显然是D上连续线性泛函，即D,称是D的一个乘子【定义6.5】fD定义f对x1的一阶偏导数为g,并记为函数。一般地对任意多重指标p，定义Dpf为如下广义函数:即D

17、pfgp0从定义6.5可以看出，广义函数可进行无限次求导运算。例6.10由Heaviside函数h所定义的函数的广义导数h等分别用f,f等来表示。例6.11证明:f，则g仍然是广义XIgp1IPfDp证明：对任意DR,有dx因此h注：如果是一元广义函数（即上的连续线性泛函）则f的一阶、二阶导数证明：对任意使suppa,a。那么有xdxxx2o第;六章广义函数与Sobolev空间简介2x4x注：对丁任何正数k,k为按如下公式定义的广义函数k【性质6.2】（1）设kkkk-110f,gD,是数，贝U一ffgggj1,2,L,nxj（2）设C,ffxj证明：（1）由定义显然。xjxjD,则ffj1,

18、2,L,nxjxj我们来证（2），对丁任意D2o即x2注：对丁C,fD可定义乘积f,但对丁两个广义函数不能定义乘积运例6.12证明x2证明:2x2x应用泛函分析（第二版）,则第;六章广义函数与Sobolev空间简介故（2）成立。fj在D中收敛丁f,j1由性质6.3得：注：对丁广义函数级数可以逐项求导，然而普通函数级数即使每项是连续可导函数,且处处收敛丁某个连续可导数，也不能逐项求导例13fjx1cosjx，则fjx一致收敛丁fx0,但其导函数fxsinjx不j收敛丁fx0。如果将fj,f看成广义函数，则在D中有fjf【性质6.5】设fjD,如果对每个D,极限pmfj存在且有限，M必存xjfxj

19、xjxjXjfxjfxj【性质6.3】设fjD,ffj证明：对丁任意Xifi1,2,LXiflimfjXioXi【定义6.7】设fjD,fD,称级数fj在D中收敛丁f,是指前m项和【性质6.4】若级数fj收敛丁f,则级数1一f二收敛丁i1,2,L,n。j1XiXi记为fjf。应用泛函分析（第二版）在fD,使得fjDf。证明性质6.5需要用到拓扑线性空间的专门知识，故此略去其证明。通过广义函数上述的性质， 我们看到， 广义函数空间D关丁求导与极限运算是封闭的,因此，广义函数的求导与极限运算比普通微积分中函数的相应运算既灵活乂方便。习题6.21.计算x2.已知xdffdxk，那么反复使用（1）,我

20、们有2L因此根据公式（2）的左边，我们仅需要函数u在上局部xn3.求证Ln4.设R1,a第一类问断点,a内有界lin0 xdx,DR。x内除a点外是连续可微的，且在a点是证明f的广义函数为6.3Sobolev空间的定义及性质6.3.1Sobolev空间C1即在内连续可微，C。,由分部积分公式可得udxxidxi1,2,L,nxi类似地，如果k是一个正整数，uCk1,2,L,n是一个多重指标且2uDdx(1)Dudx这里D1x1x2第;六章广义函数与Sobolev空间简介可积，则公式有定义，这样可以将函数导数的概念通过（2）来推广应用泛函分析（第二版）记为Duv,如果满足例15设0,2,且ux对

21、任何CJ成立。注：如果u的次弱偏导数存在，那么在除去一个皂M测度集外是惟-1v,vLLOC,那么由uDdx11vdx111-.vdx得对一切C0成立vvdx0。不难证明vvae（留为习题）。例14设0,2，且uxx0 x1,vx10 x1uDdx11202x的。事实上，设1x(1)vdx那么u不存在弱导数。证明：事实上，若有乂2u0dxvLLOCdxdxC1,xdx02vdx0dxdxdxC0记Lc为上的局部可积函数全体。【定义6.8】设u,vLLOC是一个多重指标。我们称v是u的第次弱偏导数,则v是u的偏导数。证明：对任何Co2,udx01,2,xdxdx011dx01010dx2u0是否每

22、个局部可积函数都存在弱导数呢?另一方面,2vdx0dx,所以dxdxdx,因此,回答是否定的，见下面的例15。第;六章广义函数与Sobolev空间简介应用泛函分析（第二版）选择Co中一列函数kx满足据式（6.8）有再由Lebesgue控制收敛定理,21vlim0k2vkdx0k令k110kdx得kdx0|imkdx0这显然是不可能的。【定义6.9】记号Wk,p表示满足下面条件的函数的全体:1uLp2对任何满足注：Wk,pk的多重指标Lp,Wk,p【定义6.10】对丁uWk,pk,p,都存在u的次弱偏导数D是Lp的一个线性子空间。1pPDudx则Wk,p,|k,p是赋范线性空间，更进一步，我们有

23、uL3【定理6.5】Wk,p是Banach空间证明：即证明Wk,p是完备的。设um是Wk,p中的一个Cauchy歹U,那么，对丁每个多重指标um是Lp中的Cauchy歹0。因Lp完备，因此存在uaLp使Dumua（在Lp范数下）令ulimummm我们来检验ua事实上,对任何CuDadxlimumDadxmlim1mDaumdx.111uadx第;六章广义函数与Sobolev空间简介这说明Dau。丁是由DaumDau（在Lp范数下）知umu（在Wk,p数下），因此Wk,p是Banach空间通常称Wk,p为Sobolev空间【性质6.6】设u,vWk,pR,uvWk,p,对任何多重指标如果CO，则

24、uWk,pDu。这里记号ii1,2,L,n,!1!?!Ln!,这些性质的证明十分容易，留给读者做练习。【定义6.11】记W0k,puWk,p存在序列umCO使umuk,p则W0k,p是Wk,p的闭子空间,因此是Banach空间，同样也是一类Sobolev空间。注：当p2时，Wk,2及W0k,p通常用Hk及H；表示，它们都是Hilbert空间，其内积为u,v）DuDvdx。任何【定义6.12】设1【性质6.7】设1CORn有|LP*R-L为p的Sobolev共钥指数。nppn,那么存在一个仅与p和n有关的常数C,使对C|D|LPRn。注：性质6.7是著名的GagliardoNirenbergSo

25、bolev不等式，其中12卫E22dxLpRnRndxi1x.Rn1Ptdx应用泛函分析（第二版）这里D表示向量X1X2,L,在Rn空间中的欧式范数。Xn为了使读者能更好地这个不等式, 我们给出n2的证明。证明:因为这里R2先证p1的情形,这时p*2CoR2XiX1s,X2dsX2X2x1,tdtoXiX2X2因此dX1XdxL2R2X|s,X2dsX2X2X1,tdtXis,X2dsXs,x2dsX1s,x2ds2.Xdx1dx2Xis,X2X2X2X2R2dxR2L1R2R2现在设1p2。取R21dx2R2dsdx2DdxdxX1,tdtdx1X1,tdtdx1dxR2R2R2dx2Ddx

26、dx(6.9)r，则%CoR2。由式（6.9）(6.10),11由Holder不等式一一pq第;六章广义函数与Sobolev空间简介R2dxR2Ddx代入式(6.9)注意到R2R2r1qdx*dx112qdxR21p下dx1ppdxR21PAPdxLP*R2对丁日 的情形， 可以类似证明。【定义6.13】设Rn使有界开集,是表示的边界。称是Ck光滑的，是指对每个点,存在r0及一个Ck函数r:Rn1R满足ox,rxBox,rxnrx,xn1例1622x1,x2:x1x22x：XIx；1是Ck光滑的。根据性质6.7,我们有下面的是Rn的有界开集，且那么【定理6.6】设Sobolev嵌入不等式。是C

27、1的，那么对丁1pn及uW1,p有uLp且uLP*CuW1,p,这里常数C仅依赖丁p,n和【推论6.1】设是Rn的有界开集,是C1的，1pn,uW0,p,那么对任何q1,p*,成立LqCDuLP式中，C是仅依赖丁p,q,n和的常数。证明：由丁uW1,p那么存在mCO使得W1,p应用泛函分析（第二版）C。有Yi,Xi,L,Xndyiyi,X2，L,Xndyi亦即|um|LP0和DuDm|Lp记LRn,则%C。R根据性质6.i有图L*pRnCID%|LP0即Rnnoa2i2dyiaa2.yigL,Xndyi2ayi,X2,L,XndyimLP*CDmLP故令m,由定理6.6ULPCDuLp,丁是对

28、qi,p*有1uLqCuLP*结合上面两式，可得1uLqCDuLP【推论6.2】设Rn有界开集，且uH；，那么存在仅依赖丁的常数C0,uL2CDUL这个不等式就是著名的Poincare不等式，我们给出它一个直接证明。证明：取方体BnXI,X2,L,XnRXia,ii,2,L,n，使B,对任意另一方面，因为有界，故m这里常数C不加以区别。第;六章广义函数与Sobolev空间简介2xdxa2aa22aBaaLaa2dxL22a|D|L2Bo注意到C0L2BL2，DL2B于是有L2y，x2,L,xndydx?Ldx”dx2aDL2设uH0muL2根据式(6.11),有L2L2这里C2a。接下来我们研

29、究函数空间的概念。【定义6.14】指存在常数C0,此时，记那么uC0,【定义6.15】2aDL2(6.11)C00及IIDmDu|L22aDmL2CDuL2Sobolev空间W1,pRn曰使对x,yuC0，supx,yxy1,的情形，为此我们引入有关Holder连续R为次Holder连续的，是Cku在上k次连续可微，且u在上自身及其所有次数小丁等丁k的偏导数连续有界,如果对任意多重指标且k,Du是次Holder连续的，把具有这样性质的所有函数u的集合记为Ck，。对丁uCk，,定义范数应用泛函分析（第二版）第;六章广义函数与Sobolev空间简介这里1旦。p这个不等式就是著名的Morrey不等式。为了证明的方便，记号？fdz表示函数f在A上的积分平均，即1fzdzAA表示A的Lebesgue测度。因此Ck,C-DuC0,11k那么Ck,是一个Banach空间。【性质6.8】p，那么存在仅依赖丁p和n的常数C,使对任意C0Rn有C0,RnC|IW1,pRnBx,sxdsyBx,n1s-n1dsd?AfZdZ证明: 首先来证明在Bx,rdyCBx,rn1dyx,r1_d0dttyxdtty1txdtyxty1txdt对丁0r, Bx,s表示Bx,s的球面,dsy表示球