现代控制工程题目及解答答案

1、1. 简述现代控制理论和经典控制理论的区别 . 答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论， 控制系统的分析与设计 是建立在某种近似的和试探的基础上， 控制对象一般是单输入单输出、 线性定常 系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。主要的分析 方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波夫法等。 控制策略仅限于反馈控制、 PID 控制等。这种控制不能实现最优控制。现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状 态方程，控制系统的分析与设计是精确的。 控制对象可以是单输入单输出控制系 统也可以是多输入多输出控制系统， 可以是线性定常

2、控制系统也可以是非线性时 变控制系统， 可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。 主要的控制策 略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。现代控制可以得到最优控制。2. 简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主要思想。答：1：建立数学模型 2：写出传递函数 3：用时域分析和频域分析的方法来判断 系统的稳定性等。以及对其进行系统的校正和反馈。频域响应法、根轨迹法根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于 -1的s值必须满足系统的特征 方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。 频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交界

3、 频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性， 首先调整开环增益， 以满足稳态精度的要求； 然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。 如果相位裕 量和增益裕量提出的性能指标不能满足， 则改变开环传递函数的适当的校正装置 便可以确定下来。 最后还需要满足其他要求， 则在彼此不产生矛盾的条件下应力 图满足这些要求。3. 什么是传递函数？什么是状态方程答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数Xo(s)与输入象函数Xi(s)之比。描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组 (连续 系统)或一阶差分方程组(离散系统)称为状态方程。4. 什么是状态变量？ 答：构成

4、控制系统状态的变量。5. 如何从传递函数转换成状态方程？ 答：首先选定状态变量，然后把系统的 tf 转化的微分方程建立系统状态空间表 达式，写出输入、输出、状态变量之间的关系。具体如下： 传递函数为 Y ( s) /U ( s) =G(S) 状态方程为 : X =Ax+Bu y=Cx+Du 将传递函数和状态方程进行拉普拉斯变换为 sX(s)-x(0)=A X(s)+BU(s) Y(s)=CX(s)+DU(s), 又因为传递函数为在零初始条件下定义的 ,故 sX(s)=A X(s)+BU(s)即 G(S)=C(sI-A)-1B+D 这样就通过状态方程和传递函数联系了起来。6 系统的状态空间表达式

5、经非奇异线性变换后，系统有哪些特性保持不变？ 答：对系统进行线型非奇异变换并不会改变系统原有的性质如行列式相同、 秩相同、特征多项式相同、特征值相同，传递函数、可控性、可观性不变能对该系统 的时域行为表达同样的信息。7什么是可控性的概念？可控标准型的矩阵形式是什么？系统状态完全可控的 充要条件是什么？答：如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x(t。)转移到任一状态，贝U称该系统在时刻 to是能控的。如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x(0),都应满足式n Jx(0) =AkB*k _0书01。这就要求n>h维矩阵=4 B AB 丨:An-B卜Q =

6、 B 1 AB =- An JB的秩为n。由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当nM维矩阵Q满秩,即ran kQ =ra nkB AB AnB工 n 时，由式考虑线性连续时间系统工：其中，x(t) Rn,u(t) R1, A Rn n, B Rn1 确定的系统才是状态能控的。下列状态空间表达式为能控标准形：x(t)二 Ax(t) Bu(t)(单输入)，且初始条件为x(t)t -0=x(0)。x 1010 0 1X 101X2000X20«*=4*+* u«*人丄000 1Xn丄0X 一 anan丄an_2.a1一Xn一1 一乂X2(1.3)y = bn -anb

7、o : bndanb。：b -aib。+ b°u&什么是可观测性的概念？写出可观测标准型矩阵形式答:x = Axy =Cx显然，如果系统是能观测的，那么在owW1时间间隔内，给定输出y(t)，就可由式 y(t) - : 0(t)Cx(0) " <s1(t)CAx(0亠:：j(t)CAnx(0)唯一地确定出 x(0)。可以证明，这就要求nm/维能观测性矩阵-C【CAR =-的秩为n由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式考虑零输入时的状态空间表达式x = Ax(3.13)y = Cx(3.14)式中，x Rn,y Rm,A Rnn,C Rm n。所描述的

8、线性定常系统，当且仅当 n Xim维能观测性矩阵RT = CT FaTCT * ( A'n-feT 的秩为n，即rankRT =n时，该系统才是能观测的。如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统 在时刻to是能观测的F列状态空间表达式为能观测标准形:0X21««Xn 一-an一 anV-日1X1X2y =0 01x/bouX2-bn -anbo"Ibn_! anbo(1.5)(1.6)Xn丄Xn注意，式(1.5)给出的状态方程中n沟维系统矩阵是式(1.3)所给出的相应矩 阵的转置。9.控制系统状态可观测条件是什么？答：系统

9、能观测的充要条件为：(1) SAS二J J中没有两个Jordan块与同一 特征值有关；(2)与每个Jordan块的第一行相对应的矩阵CS列中，没有一列元 素全为零；(3)与相异特征值对应的矩阵CS列中，没有一列包含的元素全为零。10极点配置的主要思想是什么？极点配置的算法1的主要设计步骤答：首先假定期望闭环极点为s = gl, s =比,，s = 5。我们将证明，如果被控系 统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵 K，利用状态反馈 方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列 步骤继续。第2步：利用系统矩阵A的特

10、征多项式det(sl A) = si - A = sn+ans + an确定出aa2,an的值。第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P = l。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P可由P = QW式给出，即式中Q、W由n _1ai1an 1an _2Q =B ： AB ： An B (4.5)an _2(4.6)Jn “n-1-sa1s+an_is + an式中ai为如下特征多项式的系数。si A可写出期望的特征多项式为 -sn a；snJ- ans an定义。第4步：利用给定的期望闭环极点，(S-B)(S-巴厂(

11、S-叫):并确定出a,a2,an的值。K为、a； -a2 十：a1 PJ第5步：此时的状态反馈增益矩阵K 二an - an an 4 ' ' an411.单输入-单输出系统能否通过输出反馈实现极点的任意配置？为什么？答：能。因为单输入单输出系统rB=1,完全可控。12什么是爱克曼公式？ 答：对任一正整数n,有K 二0 00 1 B AB；An4B 4 (A) 其中 (A) = B(a2K aA KA2) AB(a1 K KA) A2BKa2K +a1KA十KA2 丨-2*=B :AB :A2Ba1KA. K 一为用于确定状态反馈增益矩阵 K的爱克曼方程。13控制系统状态观测器的

12、作用是什么？极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况 中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。 有时一个纯微分环节 可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。 对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称 为状态观测器，或简称观测器。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。14什么是全阶状态观测器？全阶状态观测器的设计方法。如果状态观测器能观测

13、到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种状态观测器均称为全维状态观测器。15。什么是最小阶状态观测器？最小状态观测器的设计方法。估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测 器，或简称降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为 最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观 测器。16什么是调节器系统？什么是伺服系统？采用极点配置的状态反馈方法来设计控制器的系统为调节器系统。在给定的初始条件 e( 0)设计一个渐近稳定的调节器系统，使得e( t)趋于0的系统为伺服系统17. I型伺服系统如何设计？零型伺服系统如何设计？I型

14、闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e(0),设计一个渐近稳定的调节器系统，使得 e(t)趋于零。如果由Bu确定的系统是状态完全能控的，则对矩阵A-BK通过指定的期望特征值 卩1，卩2,，卩n，可由极点配置方法来确定线性反馈增 益矩阵K。x(t)和 u(t)的稳态值求法为：在稳态(t =二)时，由式x =Ax Bu =(A -BK)x Bk,r 可得x(：) =0 =(A - BK)x(：) Bk,r由于A-BK的期望特征值均在 s的左半平面，所以矩阵 A-BK的逆存在。从而，x(：)可 确定为xD = -(A-BK)Bkd同样，u(：)可求得为u(：) - -Kx(：)&

15、r =0如果被控系统中没有积分器(0型被控系统)，则设计I型闭环伺服系统的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器。18什么是系统的平衡状态？考虑如下非线性系统x=f(x,t)(5.1)式中x为n维状态向量，f (x,t)是变量X1,x2,n和t的n维向量函数。假设在 给定的初始条件下，式(5.1)有唯一解叮心和切)。当t =to时，x=x°。于是G(t°； X0,t°) = X。在式(5.1 )的系统中，总存在f(Xe,t)三 0,对所有 t(5.2)则称Xe为系统的平衡状态或平衡点。19.什么是李雅普诺夫意义下的稳定？设系统X= f (x,t)

16、， f (Xe,t)三 0之平衡状态Xe = 0的H邻域为h - Xe < H其中，H .0, 为向量的2范数或欧几里德范数，即X-Xe| (Xi -XQ2 % -X2e)区-Xne)21/2类似地，也可以相应定义球域 S9)和S(§)。在H邻域内，若对于任意给定的0 H，均有如果对应于每一个S( 8)，存在一个S(6),使得当t趋于无穷时，始于S(6) 的轨迹不脱离S(£)，则式X=f(x,t)系统之平衡状态Xe=0称为在Lyapunov意义 下是稳定的。20，什么是渐进稳定和大范围渐进稳定？如果平衡状态Xe=0，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域 S(J

17、的任 一条轨迹，当时间t趋于无穷时，都不脱离S(®,且收敛于Xe=0，则称式(5.1) 系统之平衡状态Xe =0为渐近稳定的，其中球域SG)被称为平衡状态Xe =0的吸 引域。对所有的状态(状态空间中的所有点)，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近 稳定性，则平衡状态Xe =0称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1)系统之平衡状态Xe=0渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 Xe =0为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空 间中只有一个平衡状态。21。李雅普诺夫稳定性定理1，定理2，定理3。定理5.1 (Lyapunov,皮尔希德斯基，巴

18、巴辛，克拉索夫斯基)考虑如下非线性系 统x(t)= f(x(t),t)式中f(O,t)三0,对所有"t。如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数V(x,t)，且满足以下条件：1、V(x,t)正定；2、V(x,t)负定则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的。进一步地，若x|，V(x,t)：，则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。定理5.2克拉索夫斯基，巴巴辛)考虑如下非线性系统x(t)= f(x(t),t)式中f(O,t) =0,对所有 t 一 to若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t)，且满足以下条件：1、V(x,t)是正定的；2、V(x,t)是负半定的；3、VG

19、(t; x°,to),t对于任意to和任意Xo=O，在t_to时，不恒等于零，其 中的V:(t; xo ,to)表示在to时从Xo出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 大范围渐近稳定的。定理5.3 (Lyapunov)考虑如下非线性系统x(t) = f (x(t),t)式中f(0,t)三0,对所有t to若存在一个纯量函数 W(x,t)，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：1、W(x,t)在原点附近的某一邻域内是正定的；2、W(x,t)在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的。22用李雅普诺夫第二法解决参数优化的主要思想方法是什么？x = Ax式中，A的所有特征

20、值均具有负实部，即原点 x=0是渐近稳定的(称矩阵A为 稳定矩阵)。假设矩阵A包括一个(或几个)可调参数。要求下列性能指标00 HJ = x QxdtJo达到极小，式中Q为正定(或正半定)Hermite或实对称矩阵。因而该问题变为 确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。假设 xHQxd(xHPx)dt因此可得HHHH A HHHHx Qx = -x Px -x Px = -x A Px -x PAx = -x (A P PA)x根据Lyapunov第二法可知，如果A是稳定矩阵，则对给定的 Q，必存在一 个P，使得AH P PA Q可由该方程确定P的各元素。23、什么是黎卡提方程，如何推导利

21、卡提方程？ 答案：黎卡提方程：AH P PA-PBRBHP Q =0 主要推导步骤：x二Ax - BKx = (A - BK)x°o HH HJ 二 o (x Qx x K RKx)dt=厂xh(Q Kh RK)xdt取 xH(Q KhRK)x = -Q(xhPx)dt于是xH (Q K HRK)x 二-xH Px - xHPx 二-xH( A - BK)H P P(A- BK)x比较上式两端，并注意到方程对任意 x均应成立，这就要求Hh(A BK)H P P(A BK) - _(Q K RK)令 r = tht贝U (Ah -Kh Bh )P P(A_BK) Q KhThTK =0

22、上式也可写为Hh 1 H Hh 1 H1 HA P PA TK -(T ) B P TK -(T ) B P_PBR B P Q =0 求J对K的极小值，即求下式对K的极小值xHTK 一仃 H尸BHPHTK _(TH)BHPx由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当TK =(TH )，BH P退化方程 Ah P PA - PBR jBh P Q =024二次型最优化设计的步骤。答案： 1、求解退化矩阵黎卡提式，以求出矩阵 P。如果存在正定 矩阵P (某些系统可能没有正定矩阵 P)，那么系统是稳定的，即矩阵 A-BK是稳定矩阵。2、将矩阵P代入式TK珂T H)JBHP，求得的矩阵K就是最

23、优矩阵。25. 已知系统传递函数丫(s)二仝 6 ，导出其状态空间方程的可控标准 U (s) s + 5s + 6型和可观测标准型。能控标准形为：茫吋 1 F胡(t)_X2(t). IL-6-5 x2(t)_1 3 y(t) =6能观测标准形为:CrJ0酬讣舟)y(t)二026. 已知控制系统y 6y ny 66u，写出其状态方程的对角标准型为对角标准Y(s) 632U(s) s 6s 11s 6=6(s 1)(s 2)( s 3)363= r s 1 s 2 s 3 其对角标准型为xj-100广1x/lX2=0-2X2+1uy=3_6 3X2X-00011iiX327. 已知受控系统的传递函

24、数为12s 4s 6(1) 设计一个全维观测器重构状态，使观测器极点为-8和-8。(2) 采用状态反馈，使闭环极点配置在-6和-8解：(1)由传递函数知，系统能控且能观，因而存在状态反馈及状态观测器，可以根 据分离性原理进行分别设计。由传递函数，写出能观标准II型为0 -61X =X u1 -40y = 0 1X求全维观测器令G=g1 g2T闭环特征多项式为6 + gi 1 丸+2 + g2.A_GC = f _6Lg1lb 1】=l1 -4 一廿2f( J 二det" -(A-GC)LdetIL_1与期望特征多项式f (人)=(九+ 8)( k+8)=九2+16九+ 64比较得T5

25、8X=(A-GC )5?+Gy+bu0 -64581X+ y+j U1 -16 一12 一0(3)求状态反馈阵K。直接写出系统的能观标准II型实现为。L?1一1全维观测器方程为_0令K=k1k2,得闭环系统矩阵A bK =_ 6I14bk2 -6-4闭环特征多项式为+ It：= ?；-2 (4_kj )(4kr k2 _6)比较得K=-10-228.判断下列二次函数的定号性：2 2 2Q = X +4x2 + X3 2x1 X2 6X2X3 X1X32 2 2(b) Q = X 34 X2 11X3 + 2x1 X2 4 X2 X3 2x1 X3_1-1(a) A= _ 14- 0.5 -3因

26、此(a)(b) B=-0.5_-31函数的符号不能确定-1-2-11-11-11-34-2所以-B正定，因此B负定29.已知非线性控制系统X1 = -X| x2 x1(x12X22)1 0,1-1-10,1-1-0.5-14一3-0.5-31:01 B 1-1111 -11-11-B =-13421 >0,-134>0,-1342(i1211 一1211 02 2X2 二x1 -x2 x2(x1 X2 )试判断在原点处平衡的稳定性。解：由系统平衡状态方程2 2-X1+X2+X1(X1 +X2 )=02 2-X1-X2-X2(X1 +X2 )=0解出唯一的平衡状态xe=0,即状态空间原点是其唯一平衡状态。 如果定义一个正定纯量函数 V (x)2 2V(x) = x1 x2v(x) =2x1x1 2x2x2将系统状态方程代入上式并整理得：2 2 2 2V(x) = 2(论 x2 -1)(x1x2 )determ ine its因此当X+X-1<=0时，在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的 当X12+X22-1>0时，在系统原点处的平衡状态是不稳定的30 Try to find the Liapunov function of the following system, and stability at the