第2讲高考中的向量问题

1、第2讲高考中的向量问题r.r,1.（2008浙江局考真题）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向重，右向重A.12.（2016四川高考真题）在平面内，定点A,B,C,D满足|瓦 11 铜|函虱；最大值是rr,rracbc0,则Cl的最大值是（DC-瓦=2动点p,M满足|晶|=1，曲WE,则两的最大值是（）A.-_3B.4C.rr3.（2018浙江局考真题）已知a、br-rr,r,e是平面向重，e是单位向重.右非苓向重a与e的夹角为 g，向量 b 满足b4eb3rr0，贝 Uab 的最小值是（A.431B.后 1C.2D.2、34.（2017浙江高考真题）已知向量a,b 满足a1,b2,贝 Ua

2、ab的最小值是B.25.（2019浙江高考真题）已知正方形ABCD的边长为1,当每个 i（i1,2,3,4,5,6)取遍i【解析】试题分析:由于切侦垂直，不妨设3=（LO）,1=（。）二=心）,则白一=任一 L，）3u=一 1） ， !式_占）5_X-r=0,匚|二+厂表示：工y）到原点。；。I,尤+工一 p=o 表示圆心：亍 s：,为半径的圆，因此 H 的最大值，故答案为C.2.【解析】由已知易得Jinc=JLADB=JL3DC-120|M|=K5|=|DC|=2-比为原点，直线幅为冗轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（2.0B（TL逐 W1 书）设P3已知 I 丽=1，得+私虬蜂日斌节尊

3、）,已|虱?卫|=心 T 件就，它表示圆（X-乡+俨=上的点#,y）与点（T,一 3 佝的距离的平方的 m 二（而二H】+（3向+1）曳=?,故选B.uuuuuir时，|1AB2BCuuur3CDuuu4DAuuir5ACuur6BD|的最小值是rr3.【解析】设 ax,y,er1,0,brr一m,n，则由（a,ejg 得aeae*-x1按aeaecos,xx32yJ3x，由冒4eb30得uuv2BCuuv3CDuuv4DAuuv5ACuuv6BD135uuv6AB245uuv6ADuuuvuuvuuvuuvuuivuuvAB2BC3CD4DA5AC6BD的最小，口手审八而要使1uuv1AB2

4、562562356222565612122222256565625226222l5612022442526564%I56等号成立当且仅当1,3,56均非负或者均非正，并且2,4,56均非负或者均2_22n4m30,m2n1,因此,rb的最小值为圆心2,0到直线右 x 的距离3 二 J3 减去半径 i,为很21.选A.rr4.【解析】设向量 a,b 的夹角为，由余弦定理有:212cosJ54cos，1222212cos4cos则:4cos,54cosV54cos,225216cos16,20,据此可得:vvv,vababmaxv/vvababmin164,r，b的取小值是最大值是5.【解析】正方

5、形ABCD的边长为1,可得uurABuurADuurACuurBDuurADuuuuuruuirAB?AD0,此时uuv1ABuuv2BCuuuvuuv4DA此时只需要uuvuuv5AC6BDmin2BC3CD4DA5AC6BD1,21,31,46AB1,51,AD4,则102025,2y、考向分析:二、考向讲解（一）平面向量的数量积问题平面向量的数量积问题，主要考向有:1.平面向量的计算；2.平面向量的夹角；3.平面向量的模；4.平面向量垂直的充要条件.例1.（2018天津高考真题（理）如图，在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）B.A.C.D.【解析】连接BD,取

6、AD中点为O,可知ABD为等腰三角形，而uuvuuiv以VBCD为等边三角形，BDJ3.设 DEtDC(0t1)uuuuuulluvuuvuuvuuvluvuuvuuvnuvuuvAEBE(ADDE)(BDDE)ADBDDE(ADBD)c.23,3,-八 121=3tt(0t1),所以当 t时，上式取最小值,22416ABBC,ADCD,所uuv23uuvuuvULU/2DEBDDEDE2选A.(二)平面向量的应用平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离,的问题，总的思路有：转化成平面向量的夹角、模(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就

7、能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.例2.（2018江苏省连云港市锦屏高级中学）如图所示，在平行四边形是边的中点,若,则【解析】方法一：以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,（为锐角），则A0,0,B4,0,D3cos,3sinC3cos4,3sin，由中点坐标公式得E3cos2,3sin,设 BADuuiv1uuvuuur 又DF-DA,AF2uurBF2cos4,2sin,则F2cos,2sinunrAE3cos2,3sinuuvuuuvcAEBF3

8、cos22cos43sinsin6cos26sin28cos828cos4,.15.-cos，贝 UsinUULV1UUV方法二：AB4,AD3,E是边CD的中点，DF-DA,由平面向量加法的三3688cosBAD4,（三）平面向量与其它知识的交汇问题平面向量与其它知识的交汇问题，主要考向有:1.与平面解析几何交汇；2.与三角函数、三角形交汇角形法则得uuvUUVAEBFULUrUULTUUULULTADDEgBAAFUULT1UUU2UULTUUUADABgADAB232uuur2AD32UUTAD31UUT2AB22UULT23AD2ULUT-AD3UUUABcosBAD1LUU2-AB2

9、BAD 为锐角,sinBAD例3.（2018上海高考真题）已知实数满足:,则的最大值为urnuuu【解析】设A(X1,y1),B(X2,y2),OA=(X1,y1),OB=(X2,y2),22.22.122.,一UJU_U!UU.由X112+y12=1x22+y22=1x1X2+y1y2=,可得AB两点在圆x2+y=1土 J=LOA?OB=1X1Xcos21ZAOB=，即有/AOB=60，即二角形OAB为等边二角形，AB=1,2X2V21._I的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离d1与d2之和,、2显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0,

10、(t0),由圆心O到直线AB的距离d=&,可得2h!_=1，解得t=J6，即有两平行线的距离222为136=23，即22X2y21的最大值为 72+73,故答案为：41+4i-例4.（2019安徽高三月考）若r3,r2,rabcA.3.2【解析】由得最大值1,rr 一，则 ab 的最大值为2、31rarbrcr/ab1 得rab1rarbrcrarbrcrarb2rr22,r2,r-rrr r2abab22ab132a bab122/3 时,ma选：D题型一与平面向量的模有关的综合问题向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合

11、几何法、代数法（坐标）求解.（2）灵活应用向量运算的规律和平面基本定理.（3）向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某个边求其长.（4）求向量模的常用方法:若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式.若向量 a,b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2=a2=a-b|2=（a 土 b）2=a22ab+b2,先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.（5）求向量模的最值（范围）的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解.几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.a, 或|a

12、1,r.rr、F 面向重 a,b,c7 两足B-321C.2、31D.11ab*132ab当 abab2题型二与平面向量夹角有关的问题向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为0,兀.一.一.ab(2)求非零向量a,b的夹角一般利用公式cosa,b=|a|b|先求出夹角的余弦值，然后求夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.(3)平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：1“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；2“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式

13、的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.例5.(2019年一轮复习讲练测)在 2况中,而-击=3豳的面积SarE傅占，则访L-I-nJ与瓦?夹角的取值范围是()【解析】由三角形面积公式及已知知号至方兀=营且3|睨|娅2：所以V3|Aff|C|sin53，由仙-3.知，leaser-=3,所以1-BC|,代入得，、号 MU&,所以LtmSV,所以坦 MB丝,所以赤鸟死的夹角为TT-B，其取值范围为百日，故选B.题型三平面向量的垂直问题(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两向量垂直

14、求参数：根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解1*,cos=.右 n3(tm+n)，则实数 t 的值为(所以t4,故选B.例6.(2016高考山东理)已知非零向量n 满足4m|=3A.4B. -4C.D.ur【解析】由 4mrir3n，可设 mr3k,nr4k(k0),又nrrITrrITrITrr2n)ntmnntmncosm,nnt3kITr(tmn),所以124k(4k)234tk216k2题型四平面向量与其它知识的交汇问题1.向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用ab?ab=0;a/b?a=?b(b丰0)可解决垂直、平行问题，特别是向量是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.2.向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解.例7.(2020天