梁的内力计算

1、1第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4-1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载q；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。图4-1工程实际中的受弯杆1.1梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线

2、的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲。在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。1.2平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向冲.秘面（如图42）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。1.3梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即

3、梁的计算简图.。选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁b简易挡水结构中的斜梁d机械传动装置中的蜗杆2使力学计算简便。3图4-2梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：(1)梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度；(2)荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等；(3)支座简化一一主要简化为以下三种典型支座：(a)活动皎支座(或车昆轴支座)，其构造图及支座简图如图43(a)所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过皎心且垂直于支承面，用YA表示。(b)固定皎

4、支座，其构造与支座简图如图43(b)所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过皎心两互相垂直分力，用XA、YA表示。(c)固定端支座，其构造与支座简图如图4-3(c)所示。这种支座限制梁端的线位移(移动)及角位移(转动)，其反力可用三个分量XA、YA及mA来表示。图4-1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。a活动皎支座梁轴变形曲线与外力在同一平面内F11AYA4图4-3三种典型支座b固定皎支座c固定端支座51.4梁的基本形式根据梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式:(1)简支梁。梁的支座为一端固定皎，一端活动皎(如图

5、4-4(a);(2)外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外(如图(3)悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由(如图图4-4梁的类型第二节梁的内力剪力和弯矩2.1截面法求梁的内力为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4-5(a)为例，梁在外力(荷载P和反力YA、YB)作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4-5(b)可知，左脱离体A端原作用有一向上的支座反力YA,要使它保持平衡，由，Y=0和M=0,在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩

6、M。内力分量Q位于横截面上，称为剪力；内力偶矩M位于纵向4-4(b),(c);4-4(d)。这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个, 可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁()简支梁(1)两端外伸梁(:)一端外伸梁(|)悬臂梁6对称平面内，称为弯矩。对左脱离体列平衡方程：由丫=0,有YAQ=0则得由，Me=0，有YAxM=0则得M=YAx注意此处是对截面形心e取矩， 因剪力Q通过截面形心e点， 故在力矩方程中为零。 同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M，其结果与左脱离体求得的Q、M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力关系。为使梁同一截面内力符号一致，必须联系

7、到变形状态规定它们的正负号。若从梁m-n处取一微段梁dx,由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4-6(a),反之为负(如图46(b);使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负(如图4-6(c)、(d)。根据如上符号规定，图4-5中m-n截面内力符号均为正。下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。例4-1夕卜伸梁如图4-7(a)，已知均布荷载q和集中力偶m=qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。图4-6剪力，弯矩的正负号规定之一2m=qapc-i1解(1)求支座反力(c)(d)IYA(a)(b)(a)图4-

8、7例题4-1图7设支座反力YA、YB如图所示。MA=0YB2a-m-qa5a=02YB=7qa4由Y=0YB_qa=0.一3碍治=嘉qa由，MB=0校核支座反力a32YA2a-m-qaqa2a-qa24所求反力无误。(2)求1-1截面内力由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力Qi和弯矩Mi均为正，如图4-7(b)所示。由Y=0YAQ1=0,口一3侍Q1=-YA=-qa4由M1=0YAaM1-m0232q2侍M1=ma=qaqaa44求得的Q1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。(3)求2-2截面(B截面

9、右侧一点)内力由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q2和弯矩M2均设为正，如图4-7(c)。由、Y=0Q2qa0得Q2=qaa一由M2=0-M2qa02由平衡方程82ZRqa得M2=2(4)求3-3截面(D截面左侧边一点)内力取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3截面上Q3=0,M3=0。2.2截面法直接由外力求截面内力的法则9上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件脱离体上所有外力和内力在Y轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：(1)某截面的剪力等于该截面一

10、侧所有外力在截面上投影的代数和，即Q=EY左侧外力(或侧外力代数和中的符号为截面左侧向上的外力(或右侧向下的外力)使截面产生正的剪力，反之产生负剪力，如图4-8(a)所示，截面上的剪力为正。同样，脱离体平衡条件ZMc=0的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形心取力矩的代数和为零。其中只有弯矩M为未知量，移到方程右边即得直接由外力求任一截面弯矩的法则：P外|左上右下IQ(+)剪力为正P外(a)m.、,m_|-z.|_左顺右逆M(+)111弯矩为正甲外(b)图4-8剪力，弯矩的正负号规定之二(2)某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即M=M斑侧外力(或，Mc右侧外力)代数和

11、中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩(或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩)使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图4-8(b)所示，截面上的弯矩为正。这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式(4-2-1)和(4-2-2)直接由截面左侧(或右侧)外力计算任一截面剪力和弯矩。此两法则是由截面法推出的，但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。读者可用此方法验证例4-1的结果是否正确。第三节剪力图与弯矩图在一般情况下，梁截面上的内力(剪力和弯矩)随截面位置x的不同而变化，故横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置x的函数，即Q=Q(x),M=M(x)通常把它们分别叫

12、做剪力方程.和弯矩方程。在写这些方程时，一般是以梁左端为x坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。为了形象地表示剪力、弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图.和弯矩图。根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁Y=0的含义为:(4-2-1)(4-4-2)10横截面沿轴线的位置为横坐标X,以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q=Q(x)或M=M(x)的曲线。绘制剪力图时，一般规定正号

13、剪力画在x轴上侧，负号剪力画在x轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x轴的下侧，负弯矩画在x轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。弯矩图可以不注正负号。由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。例4-2作图4-9(a)所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。ql客=177.5kN解(1)求支座反力由EY=0和对称条件知丫人=桅2(2)列出剪力方程和弯矩方程：以左端A为原点，并将x表示在图上。一、，ql-.Q(x)=YA-qx=5-qx(0 xl)(a)M(x)=YAx-qa=x-(OxMl)(b)注意，由于反力YA=q

14、l/2的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的剪力和弯矩，因此在式(a)和式(b)中它们的符号均为正；由于均布荷载q的指向是朝下的，它将使左()q=56.9kN/mqil|r(I)二图11时川Illi山、一,，J|JH|-()=276.9kN.m图4-9例题4-2图11段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q的合力为分布力图的面积qx,且作用在分布力图的形心 K 处，而分布力对截面形心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的22距离即qx占，因此在式(a)中的qx项和式(b)中的堕项都带负号。22(3)作剪力图和弯矩图从式(a)中可知，Q(x)是x的一次函数，说明剪力图是一条直线。

15、故以x=0和x=l分别代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分别为12QBx1=?ql二一命=*B由这两个控制数值可画出一条直线，即为梁的剪力图，如图4-9(b)所示。从式(b)可知弯矩方程是x的二次式，说明弯矩图是一条二次抛物线，至少需由三个控制点确定。故以x=0,x=1/2,x=1分别代入式(b)得有了这三个控制数值，就可画出式(b)表示的抛物线，即弯矩图，如图4-9(c)所示。对于初学者，为便于作图，可先将上面求得的各控制点的Q、M值排列如下表的示，然后根据表中数据及剪力方程和弯矩方程所示曲线的性质作出剪力图和弯矩图。由作出的剪力图和弯矩图可以看出，最大剪力发生在梁的两端，并且其绝对值

16、相等，数值为Qmax=;最大弯矩发生在跨中点处(Q=0),M=ql2/8。2x0121Q(x)qi_20_q.2M(x)0ql80将已知的q=56.9kN/m和1=6.24m分别代入可得例4-3作图4-10(a)所示简支梁受集中力P作用的剪力图及弯矩图。qi2Mx=0,ql28Mxw=0qi56.96.242=177.5kNmaxql2256.96.2428=276.9kNmQA13图4-10例题4-3图(c)UHJIIIIIIII1pab114CB段：Q(X)=YA_已=丝叩=8(16lPa(axb,则最大剪力发生在BC段，即Qmax=Pa/l。而最大弯矩发生在力P作用截面处，Mmax=Pa

17、b/l；若a=b,即当梁中点受集中力时，最大弯矩发生在梁中点截面上，Mmax=Pl/4。由图还可看出，在集中力P作用的截面C处，弯矩图的斜率x0alQ(x)Pbl左侧右侧PbPbllPblM(x)0Pabl0PbPa发生突变，形成尖角；同时男力图上的数值也突然由+变为-。这种突变现象的发ll(1)求支座反力ZMB=0求得YAMA=0求得YBPblPal分段列剪力方程和弯矩方程C处作用有集中力P,AC和CB两段梁的剪力方程和弯矩方程并不相同。因此，必须(2)由于分别列出各段的剪力方程和弯矩方程：Pb一、AC段：Q(x)=YA=(0 xa)Pb(a)(b)(a)Px(-a)(b)15生是由于我们假

18、设集中力P是作用在梁的一：版”上。实际上，集中荷载不可能只作用在梁的一：版”上，而是作用在梁的一段微小的长度上，而剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。图4-11表示出梁在这种荷载作用下的剪力图和弯矩图的实际情况：剪力图是连续变化(如图4-11(b)的，而弯矩图是一段光滑曲线(如图4-11(c)。由于设计时需求的是最大剪力和弯矩，将这种微小长度上实际分布荷载简化为作用于一点的集中力会给16内力计算带来方便，并且引起的误差很小。同时可知，由于集中力处剪力突变，故剪力方程式（a）中x的变化为开区间（即0 xa）。而弯矩在该处不变，故弯矩方程式（b）中的x变化为闭区间（0wxqa）。图4

19、-11在集中力作用下I图与14图的实际形状例4-4图4-12（a）所示简支梁在C截面上受集中力偶m作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解（1）求支座反力假设反力YA、YB方向如图所示。m图wroimnwi 丁(b)mbtmaT(c)图4-12例题4-4图图P(a)AB(b)(a)17由MB=0,YAlm=0，得YA=?。由MA=0,-m-YBl=0，得YB=-?。求得的支座反力YB带有负号，说明它的实际方向与图中假设方向相反，由此可知YA与YB组成一个力偶与外力偶m平衡。（2）分别列Q、M方程以梁左端A为坐标原点。由于全梁只有集中力偶m作用，故只有一18个剪力方程Q(x)=ml弯矩方程则应分为两段：

20、AC段M(x)=YAX=x(0 xl)(a)CB段M(x)=YAXi-m=xi-m(aa时，在集中力偶m作用处的右侧横截面上的弯矩为最大。mbmax当集中力偶作用在梁的一端，例如左端(如图4-13(a)时，其剪力图无变化(图4-13(b),但弯矩图将变为一倾斜直线(如图mA4-13(c)。(a)mmi丁(b)nlllirnTin(c)图4-13I作用在梁的一端时的图由此例可看出，在集中力偶作用处剪力图不变，而弯矩图发生突变。第四节荷载、剪力和弯矩间的关系如图4-14(a)所示的梁、受向上分布荷载q(x)作用，若用垂直于梁轴线且相距为dx的两个假想截面m-m和n-n由梁x处切出一微梁段。因dx非

21、常微小，在微段上作用的分布荷载q(x)可看做是均布的，设截面左边内力分别为Q(x)、M(x),则右边内力相对左边有一增量，故为Q(x)+dQ(x)、M(x)+dM(x)，且都假设为正值，如图5-14(b)所示，根据微1920此三式就是荷载集度q(x)，剪力Q(x)和弯矩M(x)间的微分关系。由以上分析可知，它们的力学意义是平衡方程。一阶导数的几何意义是图形的斜率。因此式(4-4-1)和(4-4-2)说明：剪力图上二点处的斜率等于梁上该点处的荷载集度；弯矩图上匚点处的斜率等于梁上该点处的剪力。二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹向。因此式(4-4-3)说明：弯矩图.上一点处的凸凹方向

22、可由梁上该点处荷载集度q(x)符号来决定。注意，这里荷载的符号和坐标指向的规定为：分布荷载向上为正，x轴向右为正，剪力图的Q轴向上为正，弯矩图的MmL%LiII1hJ.1q(x)mnx图4-14和Q 间的微分关系段平衡条件，由：ZY=0，有Q(x)q(x)dx-Q(x)dQ(x)=0整理可得dQ(x)(、1T=q(x)(4-4-1)由M。=0,dxM(x)Q(x)dxq(x)dx2-I.M(x)dM(x)l-0d2x忽略局阶做重q(x)一项,2整理可得dj对式(4-4-2)再求一次导数并由式(4-4-1)可得(4-4-2)2dM2(x) =q(x)(4-4-3)(a)M(x)(b)21轴则以向

23、下为正。即M互在梁受控一侧，这是与其它内力图不同之处根据以上微分关系可将剪力图和弯矩图的规律归纳如表4-1所示。利用表4-1可以校核剪力图和弯矩图。例题4-5梁的荷载及剪力图、弯矩图如图4-15所示，试用微分关系校核其正确性。图4-15例题4-5图解（1）由平衡方程求反力得YA=75kN,YB=25KN。(2)列表校核如下：2.5ME=4.5YB-2q23.5-R2.52.5q12=4.5252203.-5602.冬530283.8k、m2q21.25=1.2525-201.25222=15.I世m（看右脱离体）各梁段或截面的内力变化均与表4-1相符，所作Q、M图正确。bb由式（4-4-1）可

24、得在x=a和x=b处两截面间的积分为idQ（x）=fq（x）dx,也可写成aabQ(b)Q(a)=Jq(x)dx(4-4-4)P2=60kNPi=120kNqi=30kN/mq2=20kN/mYAj-17575n153015.675()W图(勺)(I)图()()A,125T，W 十Iim=80kN.m45FGYB50-1T1_L-IlllriJ11L11mI83.8MG=1.25YB22a同理，由式（4-4-2）可得23bM(b)M(a)=Q(x)dx(4-4-5)a式(4-4-4)和(4-4-5)表示荷载集度q(x)、剪力Q(x)和弯矩例题4-5的附表梁段或awACCCDDDFFFB何载q=

25、0P1=1201(kN)q=0m=80kNm反时针转q=30kNfP2=60kN。q=20kN/mQ图Q=75kN水平线向下突变120kNQ；=75-120c=Y5kNQ=45kN无变化/斜直线Q=0处E点向下突变Q?=7560=15kN斜直线Q=0处G点M图斜直线斜率有改变有尖点Mc=75kNLm/斜直线有突卡突变值=80kNE点有极值ME=83.8kNm斜率有改变有尖点1G处有极值MG=15.6kNm24表4-1梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系M（x）间的积分关系。式（4-4-4）和式（4-4-5）分别说明：（1）剪力图上任意二截面的剪力差值（或改变）等于此二截面间的分布荷载图的面积。（2

26、）弯矩上任意二截面的弯矩差值（或改变）等于此二截面间剪力图的面积。运用上述积分关系时需注意：a、b之间不能有集中力或集中力偶，此外图中面积有正负之分。综合运用上面介绍的微分关系和积分关系，除了可校核剪力图和弯矩图的正确性之外，还可更简捷地绘制剪力图和弯矩图，并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其它的两个图。必须指出，作梁的剪力图、弯矩图方法有多种，如：分段列出内力方程，根据方程作图；直接用微分关系作剪力图和弯矩图等。后一种方法是作梁的内力图的简捷快速的方法。用微分关系作内力图的步骤是：第一步，求反力；第二步，分段求各段控制截面的内力值；第三步，按微分关系分析各段在荷载作用下内力图的

27、形状，并将控制截面内力绘成曲线。q=0（无分布荷载梁段）q0J11q0时Q0时水平线Q=0外，N有极值（U图凹向与荷载类似弓箭的形状）截面有尖角或转折（图形斜率随口的突变而改变，形成尖角和转折）截面M突变，（逆时针）向上突变，突变值=I|QqaKill.一二二:H；mIH25例4-6图4-16(a)为梁剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图(已知梁上无集中力偶)图4-16例题4-6图解(1)求荷载图由QA=50kN知梁在A处有一向下集中力为50kN,B截面两侧剪力由一50kN突变到50kN，故梁在B截面必有一向上荷载100kN。AB段、BC段Q图为水平线，故两段无分布荷载作用，q=0。CE段为右下斜

28、直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即50q=25kN/m2E截面的剪力由一50kN变到0,故梁上必有向上的集中力50kN。根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图4-16(b)。(2)求弯矩图AB段：Q为负值，且为水平线，故M为一向上斜直线。MA=0,MB的大小等于AB间剪力图面积，即MB=50X1=50kN-mBC:Q为正值，且为水平线，故M为一向下的斜直线。aMc=MB-(Q(x)dx=-50+50勺=0。CE段：qBc1a引11川dd川Illi成baII11111l |decdllllinnMbe|l|L|f-一milUhigabcPq.A:B+A1

29、，I|I，t，BCI_IMmax=VM_q|2deacIdb29思考题4-1什么是平面弯曲”？试就日常生活所见，列举几个平面弯曲梁的例子。4-2用截面法求梁的内力后， 怎样才能由左段梁和右段梁外荷载互接求得梁某一截面上的内力值？4-3试判断下列各组中二梁的内力图是否相同，为什么？思考题4-3图4-4图中所示的梁，集中荷载P作用在固定于截面C的倒L刚臂上。在求梁的反力时,是否可将力P沿其作用线直接作用于梁上？在求梁的剪力和弯矩时， 是否也可这样作？为什么？试作出图示梁的剪力图和弯矩图。思考题4-4图4-5图中二梁上所受的荷载大小相同 （都是20kN） ,它们的剪力图和弯矩图是否相同？试加以比较、

30、讨论。4-6试用第4节中的方法，推导在下列二情况下荷载、剪力、弯矩之间的关系：（a）在所截微段梁上作用有集中力P时；（b）在所截微段梁上作用有集中力偶m时。c题4-1图30Q(x)m叫M(x)+dM(x)zmnx)+dQ(x)P思考题4-6图4-7试判断图示各梁的弯矩图是否正确？如有错误，指出发生错误的原因并加以改正。,.iiiiniiiiiiiirl2iiiiiniiiiiiiiiirK-小川iHiiiiiiiPaPa卜Pl1f/fillHiHHlll思考题4-7图4-8什么是叠加原理，应用叠加原理的前提是什么?习题4-1试求图示各梁在点q=20kN/mb思考题4-5图A(c)M(x)M(x

31、)bC和D处截面上的剪力和弯矩。314-2列出图示各梁的剪力、弯矩方程，作出剪力图和弯矩图并求出Qmax与Mmaxnmaxmaxo题4-2图4-4图示为起吊自重为q(N/m)的等截面梁，问起吊点的合理位置x应为多少，才能使梁-hm=12kN.mP=qlB2PcP=10kNBr一川川川m”,.%AiB_Lb4-3根据q(x),Q(x),M(x)间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。32在吊点处和中点处的正、负弯矩绝对值相等。33iql题4-4图4-5根据q、Q、M间微分关系改正下列剪力、弯矩图错误。qlql22qaqarrmMiMill1r1uqa2qa2l|l11弘2oqTHiTITIlli

32、.PlQqa，l-qaHl Qm=qaa21qaqa2qa22m川III山】III34题4-5图4-6试判断图示各梁的弯矩图是否正确。如有错误，指出产生错误的原因并加以改正。题 4-6 图4-7图（a）表示某混凝土大坝前的人行道支承梁，它承受的荷载为人群、盖板重和梁的自重等，其计算简图如图（b）所示。试求此梁的剪力、弯矩图。题4-12图35人群荷载题4-7图4-8试作图示斜梁的内力图。P=20kNBICA(Q14kN/mIII.图题4-8图10kN1BIT111kN1上一:二I11jJnLri_,j3kN，图3kN10kN.m题4-9图A1111C,D11LlB.110kN.m110kN.m一

33、卜_LmHr题4-10图ql2Wk)B题4-11图题4-12图36374-9梁剪力图如图所示，已知梁上无集中力偶，作梁的荷载图与弯矩图。4-10梁弯矩图如图示，试作梁的荷载图和剪力图。4-11用叠加原理作下列梁的弯矩图。4-12作图示（a）、（b）、（c）三组梁的弯矩图，并比较其最大弯矩值，从中可得出什么结论？4-13一狭小座艇承载如图，画出所加荷载引起的剪力图和弯矩图。PP15kN/m60kN1水面（-II!1:L题4-13图4-14图示吊车梁，受吊车轮压P如图示，问吊车在何位置时：（1）梁有最大弯矩，其值为多少？（2）梁有最大反力或最大剪力，其值各为多少？答案4-1(a)Qc=0,Mc=6

34、0kNLm,QD17.5kN,MD=45kNLm(b)Qc=125.7kN,Mc=61.9kNim,QD=-262.kNM,D=-25d5lb2i(c)Q=34.5kN,Qc右=16kN,Mc=73.05Nm,M=8kNmtQ4-2(a)Qmax=2P,Mmax=Pl(d)Qmax=半，Mmax=ql2题4-14图(b)Q(c)Qmax=P,Mmaxmax=3ql,M8Plmax128ql(e)Qmaxmaxql238(f)lQmax=16kN,Mmax=52kNLm39(g)。恤=；5|恤=0.064%124-4x=0.20714-8(a)Me=15kNm,Q；=8.66kN,Q：=8.66kN(a)P-10kN(府福二5kN/m(e=10k,Me=10kNmQA=QD=10kN,R=10kN(),(a)MD=10kNm,PD=10kNJ)QA=0,QB=Qe=20kN,MA=40kNLm,(b)PB=20kN(),P=20kNJ),PD=01d5Pd24-12(1)X=二-二，Mmax=二(1-二)22212PdPd(2)X=0,RA=2P-,Qmax=P-p4-1040小结及学习指导平面弯曲变形是杆件四种基本变形中最复杂的一种变形，其内力有两个剪力和弯矩。剪力弯矩图的绘制在土木及建筑工程等专业是材料力学