六年级下册数学小升初专题-牛吃草问题全国通用版(含答案)

1、小升初数学专题第3讲牛吃草问题、知识地图：1草增加简单牛吃草'早减少一块草地上牛吃草牛吃草多块草地上牛吃草_f牛的数量增加或减少复杂牛吃早工'有多种动物的牛吃草/八廿"、.2由水问题牛吃草的变例、呼'入口I可题I*心十皿直接给两块草地数量|两块早地上牛吃早、两块早地给出倍比关系、三块草地上牛吃草二、基础知识：英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长

2、。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10X20=200份草。15头牛10天可以吃15X10=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10大要多，

3、原因就在于此。我们来看看下面这幅图：1。头天1.,日dii日商iIII.,一1I一.I1S头牛吃10天.1.j七一唳有的豆|1。天融长的草1囹1从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃1020-15勺0=50份，则这块牧场每天新长50*10=5份牧草。在第一种情况中，20天一共新长了520=100份牧草，而牛一共吃了10乂20=200份，说明原来有牧草200100=100份。因为每天长5份的草，因此我们可

4、以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“T,解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为”五步法”：1. 求出两个总量。2. 总量的差+时间差响天长草量=安排去吃新草的牛数3. 每天长草量X夭数=总共长出来的草4. 草的总量一总共长出来的草=原有的草5

5、. 原有的草+吃原有草的牛=能吃多少天(或原有的草+能吃多少天=吃原有草的牛)当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上”五步法”只能作为参考，切不可生搬硬套。上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：牛吃草总量=草场原有草量+新长草量这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。具体来看这里的关系：牛的头数X吃的天数=草场原有草量+每天长草量X吃的夭数由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：(1) 每天长草量(2)

6、草场原有草量请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。经典透析【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？分析：同学们可以试着用”五步法”来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。设1头牛1天吃1份的草，1. 求两个总量，27X6=16223X9=2072. 总量的差+时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数(207162)+(96)=153. 每天长草量x夭数=总共长出来的草15X6=904. 草的总量一总共长出来的草=原有的草162-90=725. 原有的草+吃原有草的牛=能吃多少天72+(2115)=

7、12所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。【例2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20X5=100份牧草，16头牛6天吃掉16X6=96份牧草，说明6-5=1大牧场上的牧草减少1

8、00-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+4X5=120份。原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120+(11+4)=8天。点评：这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用”五步法”来解决。【例3】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？分析：这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口

9、看成是来帮忙吃草的牛。大家可以试试用”五步法”来解答一下。设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5X20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8X15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，贝咄水口的出水速度是每小时20+5=4单位，水池中原有100+4X20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180+4=45小时。点评：牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是”抽水问题”，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。【例4】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛

10、则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头(草每日匀速生长)？分析：根据”五步法”，我们其实很容易完成前几步的操作。设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：(17x30-19x24)+(30-24)=9份；原有草量:17又30-9又30=240份。做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？我们能不能假设这4头牛没卖？如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4X2=8份的草才可以。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。假设牛的数量保

11、持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240+9X8+4X2=320份,因此有牛320+8=40头。点评：牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。【例5】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？分析：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊

12、一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16X20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为(320-240)+(20-12)=10份草，原有的草量为320-10X20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120+15=8天。点评：不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。【例6】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷

13、，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？分析：之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉24X6=144份，说明每公顷草地6周提供144+4=36份牧草；36头牛12周吃掉36X12=432份，说明每公顷草地12周提供432+8=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草

14、，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18+6=3份，原有草量是36-3X6=18份。10公顷草地原有18X10=180份牧草，每周新增3X10=30份，可供50头牛吃180+(50-30)=9周。点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。【例7】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问:第三块草地可供多少头牛吃80天？分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。（方法一）设1头牛1天吃草量为“1

15、”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10头牛30天吃掉1公顷牧场28头牛45天吃掉1公顷牧场10X30=300份，说明：30天提供300+5=60份草：1公顷原有草量+30天1公顷新生草量28X45=1260份，说明45天提供1260+15=84份草：1公顷原有草量+45天1公顷新生草量每公顷牧场45-30=15夭多提供84-60=24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24+15=1.6份，1公顷原有草量=60-1.6X30=12。1天24公顷新生草=1.6X24=38.4;24公顷原有草=12X24=288那么80天24公顷可提供草：288+38.4X80=3360;所以共需要牛的头

16、数是：3360+80=42（头）牛。（方法二）原条件：15可转化为：除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“5公顷10头牛30天公顷28头牛45天相当于把5公顷草地分割成5块每块一公顷有草量1”相当于把15公顷草地分割成1公顷2头牛3015块每块一公顷有2X30=60:1公顷竺头牛451528-X45=84:1152头牛来吃，所以吃的时间不变28头牛来吃，所以吃的时间不15公顷原有草量+30夭1公顷新生公顷原有草量+45天1公顷新生草量从上易得：X1.6=12;那么80天24公顷可提供草：12+80=42（头）。（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来

17、就可以了！1天1公顷新生草量=（84-60)+(4530)=1.6;1公顷原有草量=60-30X24+1.6X24X80=3360;所以共需要牛的头数：33605,15,24=120，设1头牛1方便分析，原条件：5公顷10头牛3015公顷28头牛45可转化为：120公顷240头牛30公顷新生草量120公顷224头牛45天224X45=10080:天天夭240X30=7200:天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式120公顷原有草量+30天120120公顷原有草量+45天120公顷新生草量从上易得：1天120公顷新生草量=192;120公顷原有草量=则1天24公顷新生草量=192+5

18、=38.4,24公顷原有草量=那么80天24公顷可提供草：288+38.4X80=3360;所以共需要牛的头数是：3360+80=42（头）牛。720030X192=1440;1440+5=288;【例8】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？分析：这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化

19、为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。甲：30头牛12天30X12=360:甲原有草量+12大甲地自然增加的草量甲转化为：10头牛12天10X12=120:乙原有草量+12大乙地自然增加的草量乙：20头牛4天20X4=80:乙原有草量+4大乙地自然增加的草量从上表中可以看出（124）=8大乙地长草量为（12080）=40,即1大乙地长草量为40+8=5;乙地的原有草量为：1205X12=60;则甲、乙两地1天的新生草为：5X

20、（3+1）=20,原有草量为：60X（3+1）=240;10天甲、乙两地共提供青草为：240+20X10=440,需要：440+10=44（头）牛。点评：面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。【例9】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？分析：这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的

21、思想，最终的目的还是要转化为单一动物。设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析牛和羊45天45天牛和羊吃草量=原有草量+45天新长草量（1）牛和鹅60天60天牛和鹅吃草量=原有草量+60天新长草量（2）鹅和羊（相当于1牛）90天90天牛（鹅和羊）吃草量=原有草量+90天新长草量（3）由（1）X2（3）可得：90天羊吃草量=原有草量羊每天吃草量=原有草量+90;由（3）分析知道：90天鹅吃草量=90天新长草量，鹅每天吃草量=每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量=60,带入（3）得90天羊吃草量=60羊每天吃2草量=-32N样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃

22、新生早，牛和羊吃原有早可以吃：60+（1+）3=36（夭）。拓展训练：1. 现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干;用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？3. 画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分

23、就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？4. 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人,5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）5. 有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？6. 某建

24、筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？7. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？8. 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6

25、000平方米的牧场,可供多少头牛吃6天？9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光。(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地1吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把1的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外3的牛放在号草地吃草，结果发现它

26、们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？初级点拨：1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。L4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。5、这是一道经典的牛吃草的变例。6、注意这道题当中人数发生了变化。7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。9、这是一道三块草地上牛吃草问题。10、这是一个结合平面图形

27、的牛吃草问题。深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。8、注意2000平米与6000平米之间的关系。9、参照第2题的解法。10、注意观察平面图形的特征。全解过程：1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：(6X20-8X10)+(20-10)=4单位，

28、池塘中原有水量：6X20-4X20=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机40+5+4=12台。2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：(21X63+30-12X28+10)+(63-28)=0.3(份)，每公亩牧场上的原有草量：21X63+30-0.3X63=25.2(份)，贝U72公亩的牧场126天可提供牧草：(25.2+0.3X126)X72=4536(份)，可供养4536+126=36头牛3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5

29、分时共来了25份，来25份需要25+0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。4、设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了12x5=60份，乙仓库中28个工人3小时搬了28x3=84份，说明甲仓库的传送机5-3=2小时多输送了84一60=24份面粉，即每小时输送24+2=12份，仓库中共有面粉（12+12）x5=120份。丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬120-2=60份，因此需要工人60-12x2=36名。5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”6人4天6X4=24:原有酒一4天自然减少的酒4

30、人5天4X5=20:原有酒一5天自然减少的酒从上面看出：1天减少的酒为（24-20）+（54）=4,可供4人喝一天。原有酒为：24+4X4=40,由4个人来喝需要：40+4=10（大）。6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得15人14天15X14=210:原有砖的数量+14天运来砖的数量20人9天20X9=180:原有砖的数量+9大运来砖的数量从上面的表中可以看出（14-9）=5天运来的砖为（210180）=30,即1天运来的砖为30+5=6原有砖的数量为：1806X9=126;假设6名工人不走，则能多砌6X4=24份砖，则砖的总数为126+24+6X（6+4）=210因为是10天工作完，所以有210+10=21名工人。7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析马和牛15天15天马和牛吃早量=原有早量+15天新长草量(1)马和羊20天20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长草量(2)牛和羊（同马）30天30马（牛和羊）吃=原有草量+30天新长草量(3)由(1)X2(3)可得:30天