人教版八年级上册整式的乘法与因式分解单元总结与归纳

1、1/17同底数藉的乘积am?anamn(m,n为正整数)注意点：(1)必须清楚底数、指数、藉这三个基本概念的涵义。(2)前提必须是同底数，指数才可以相加(3)底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，(4)指数都是正整数(5)三个或三个以上的同底数藉相乘，即am?an?apamnp(m,n,p为正整数)(6)不要与整式加法相混淆。(7)这个公式是可逆的amnam?an(m,n为正整数)类型一：x-x=x23aaa类型四：已知2a=3,2b=6,2c=12，试探究a、b、c之间的关系;1.藉的乘方整式的乘法3x2xn-x4=2_52222522y2n?yn1m-n2n+111m-1

2、4-n52类型二：(1)已知x-x=x,且y-y=y,求mn的值。若2&8=2n,则n=总结：毒运茸的变形口为偶数(-砂=TI一#口为奇数r的 F口为偶数11炯数类型三：(1)、(-z)(-)2(-)3(2)、-a*(-a)*(-a)(3)、(x-y)3(y-x)(y-x)6(4)、(-2)2011(-2)20122/17(am)namn(m,n为正整数)注意点：(1)藉的底数a可以是具体的数也可以是多项式。(2)不要和同底数藉的乘法法则相混淆(3)公式的可逆性：amn(amin(mn正整数)ram、nran、mamnrm门为正整数)CaICaI(lll,ll(CaIICaICaIll

3、i,(4)公式的扩展：(am)npamnp(m,n,p为正整数)(ab)mn(ab)mn(m,n,为正整数)35类型一：(a)=;3(xm)3；(a2)3?an;23253(a+b)=；(a)=;类型二：【例1】若5x2,5y3,求52x3y2.积的乘方abnanbn(n为正整数)注意点：(1)注意与前二个法则的区别：(2)积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方a1?a2?a3amna1na2na3amn(n为正整数)(3)每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式(4)每个因式都要乘方，然后将所得的藉相乘(5)公式的可逆性：anbnabn(n为正整数)(6)藉的乘方，积的乘方的可逆性：sr=

4、(av=(ay323322类型一：(ab)；(2ab)；(5ab)L类型二：【例1】当ab=上,m=5,n=3,求(ab)的值。【例【例2】若】若10n4,10m5,求102n103m，的值;【例【例3】已知a355,b444,c533，试比较a,b,c的大小；3/17【例【例2】若a%2=15,求-5a6b4的值。4/17(100)20100.12515(215)3994.单项式乘法法则:【例】【例】2222.2.3.2.22x3y(2xy)(5xy)(3xy)(2xy)(ab)(ab)5.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【例

5、】【例】m(abc)2x(2x3y5)3ab(5aab2b2)6.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加【例【例3】如果3m+2n=6求8m-4n的值。【例【例4】(1)解方程3x1?2x162x-3解方程x-11116【例【例5】已知ax=5,ax+y=25,求a+aW值.【例【例6】,xy+1yx-1已知：2=4,27=3，求x-y的值类型三：【例】【例】计算:,99、2oii(一)5/17【例【例1】(x2)(x6)(2x3y)(x2y1)(ab)(a2abb2)【例【例2】：】：解方程与不等式a)18(4+3y)(4-3y)9

6、(y-2)(y+3)【例【例3】确定参数a的值.(x2)(x18)x2ax36(xp)(xq)x2ax36题型一：确定参数的值【例】【例】若x2mx8x23xn展开式中不含x3项和x2项，求m,n的值，并写出展开式中的最后结果练习:x23x3和x23xk的乘积中不含x2项，求k的值，并写出展开式最题型二：整式乘法的实际应用【例【例1】：】：小明将现金x元存入银行，年利率为a,到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b,那么一年后，小明能获得的本息总和是多少(扣除5%勺利息税)练习：一种商品进价是p元，他的价格提高10k%,再打k折，则售价是元【例【例2】：】：. .观察下列

7、各式：q933233323333232(a3)(a2)(a9)(1后的结果6/171112312361234107/17观察等式左边各项藉的底数与右边藉的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来:题型三：整式的乘法能力提升训练；例1.已知x28x15,求（x2）（X2）4x（x1）（2x1）2的值./IX/IX212/.X22ci12/122.2变式:0，求（x2)(x2)2(x3)x(x5)的值.变式:3x90,求(x1)(x3)(x3)x(x1)的值.例2.2x23的值。变式:已知x23x30,求代数式x35x23x10的值。变式：已知x23x10,求代数式2x33x27

8、x2009的值。平方差和完全平方、复习：8/17(a+b)(a-b)=a-b(a+b)=a+2ab+b(a-b)=a-2ab+b22332233(a+b)(a-ab+b)=a+b(a-b)(a+ab+b)=ab归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:1位置变化，xyyxx2y22符号变化，xyxyx2y2x2y26rf2222443指数变化，xyxyxy4系数变化，2ab2ab4a2b25换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmmx2y2z22zmm增项变化,xy2z22xyxyzx2xyxyy2z2x22xyy2z2D连用公式变化，xyxyx2y2x22x22

9、x44逆用公式变化，xyz2xyzxyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例题解析：例1.已知ab2,ab1,求a2b2的值。解：.(ab)2a22abb2-a2b2=(ab)22aba b2 ,ab1 2 ab2=22212例2.已知ab8,ab2,求(ab)2的值。解：.(ab)22.a2abb2(ab)2222a22abb2-(ab)：2(ab)24ab-(a2一-2b)4ab=(ab)9/17ab8,ab2-(ab)2_2-84256例3:计算21999-2000X1998K解析此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解：19992-2000X

10、1998=19992-(1999+1)X(1999-1)=19992-(19992-12)=1999-19992+1=1例4:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。K解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2,y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14X4=56。例5.运用公式简便计算(1)1032(2)1982解：(1)1032100321002210033210000600910609(2)19822002220022200222

11、40000800439204例6.计算(1)a4b3ca4b3c(2)3xy23xy2解：(1)原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2(2)原式3xy23xy29x2y24y49x2y24y4例7.解下列各式(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。22(3)已知aa1a2b2,求aab的值。2(4)已知x13,求x44的值。分析：在公式ab2a2b22ab中，如果把ab,a2b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：(1).a2b213,ab6ab2a2b22ab

12、132625ab2a2b22ab13261(2).ab27,ab24a22abb27a22abb24得2a2b211,即a2b2112得4ab3,即ab343由aa1a2b2得ab210/17几个数的和的平方，等丁它们的平方和加上每两个数的积的、乘法公式的用法套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄活乘法公式的来龙去脉，准确地掌为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。解：原式2y5z3x12y5z3x1例1.计算:22225x3y5x3y一一，22解：原式5x（二1)、连用: 连续使用同一公式或连好两个以上公式解题例2.计算:241aa1a1a1解原式1a21a21a41a

13、41a41a8例3.计算:3x2y5z13x2y5z1o22443y25x9y22ab22ab(4)1-11x1214121x(1)(-1+3x)(-1-3x)(2)(-2m-1)2例8.解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2)(-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2=4m2+4m+1.2-(3x)2=1-9x2.例9.四个连续自然数的乘积加上1,一定是平方数吗？为什么?2分析：由丁123412552345112111234561361192得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上n2,n3是四个连续自然数2n31nn3n1

14、n2解：设n,n1,则nn1n.n是整数，n23n1是n2,3n都是整数个平方数1,都是平方数。n23n2n23n12n23n12例10.计算解：（1）x2（2）分析：abc2a2b2c2n23n1一定是整数四个连续整数的积与1(1)x2x12x22x42x33/2x13m2n2p223mn23m的和必是个完全平方数。2x1x2122x2(2)3mnx2x21x4x212x32x22x23mnp两数和的平方的推广abcab2abcca2ab2ab2bc2ac即abc2J12-29mn2p26mn6mp2np2cabc2ab2bc2acb22一2ac2bc2倍。（一八握其特征,11/17222y

15、5z3x12224y9x25z20yz6x1三、逆用：学习公式不能只会正向运用,向形式，并运用其解决问题。22例4.计算：5a7b8c5a7b8c解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a14b16c140ab160ac四、变用：题目变形后运用公式解题。例5.计算：xy2zxy6z解：原式xy2z4zxy2z4z22xy2z4z222xy12z2xy4xz4yz五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. ab22aba2b22. ab22aba2b222223. abab2ab224. abab4ab六、正确认识和使用乘法公式1、数形结

16、合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种(三个)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：OOOOOO.(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b，可以E用数形结合的数孚思想方法来区分匕们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积一.一.999,999的计算方法，即可得到两个元全平方公式：(a+b)=a+2ab+b与(a-

17、b)=a-2ab+b。有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组12/17七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一. 先分组，再用公式例1.计算：(abcd)(abcd)简析： 本题若以多项式乘多项式的方法展开， 则显得非常繁杂。 通过观察， 将整式(abcd)运用加法交换律和结合律变形为(bd)(ac)；将另一个整式(abcd)变形为(bd)(ac)

18、,则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。解：原式(bd)(ac)bdac(bd)2(ac)2b22bdd2a22acc2二. 先提公因式，再用公式例2.计算：8x&4xj简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为24x,则可利用乘法公式。4解：原式24xj4xj224x2宣42y232x8三. 先分项，再用公式例3.计算：2x3y22x3y6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同,y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析

19、如何将常数进行变化。若将2分解成4与2的和,将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。13/17解：原式=(2x4)(23y)2x423y22(2x4)45623y2_24x16x1212y9y四.先整体展开，再用公式例4.计算：(a2b)(a2b1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即(a2b)1,再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式(a2b)(a2b)1(a2b)(a2b)(a2b)a24b2a2b五. 先补项，再用公式例5.计算：3(381)(341)(321)(31)简析：由观察整式(31),不难发现，若先补上一项(31),则可满足平方差公

20、式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。.8.4.2-解：原式3(31)(31)(31)(31)(31)2(381)(341)(321)(321)2(381)(341)(37891)七.乘法公式交替用例7.计算：(xz)(x22xzz2)(xz)(x22xzz2)简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合,则可利用乘法公式展开。解：原式(xz)(x22xzz2)(x22xzz2)(xz)2(381)(381)5(3161)2322六.先用公式，再展开例6.计算：1-122简析：第一个整式11可表小为121102212,由简单的变化，可看出

21、整式符合平方差公式，其它解：原式1111111111111【112233441010314253119112233441010202因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可14/17八、中考与乘法公式1.结论开放例1.请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是0分析：利用面积公式即可列出xyxyx2y2或x2y2xyxy或xy2x22xyy2在上述公式中任意选一个即可。例2.如图2,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab）,把余下的部分剪成一个矩形，如图3,通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是o分析：利用

22、面积公式即可歹0出ababa2b2或a2b2abab2.条件开放例3.多项式9x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。分析：解答时，可能习惯丁按课本上的完全平方公式，得出92、少29x216x3x1或9x216x3x1只要再动点脑筋，还会得出(xz)(xz)2(xz)3(xz)3(xz)(xz)3(x2z2)36x423xz3xz)2(xz)(x24z15/17将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式:（用含n的代数式表示）分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等丁前一个等式的左边，将已知等

23、式左右两边分别相加，例6.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：2abab2a23abb2就可以用图4或图5等图表示。281499x1x-x42229x113x9x21c229x1或切x4，或1,或9x2等。43.找规律例4.观察下列各式:x1x1x2x1xx13x1xxx11x314x由猜想到的规律可得分析：由已知等式观察可知4.推与 ，新公式例5.在公式a121122221222321322n22n2na22a1中，当a分别取1,2,3,，n时，可得下列n个等式122nn移项，整理得:abab7Aah21

24、故所加的单项式可以是112311216/17(1)请写出图6中所表示的代数包等式;(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：22aba3ba4ab3b(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数包等式，并画出与之对应的几何图形解：(1)2ab2ba2a22b25ab(2)如图7(3)略九、怎样熟练运用公式：(一)、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数； 等号右边是乘式中两项的平方差， 且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.(二)、理解字母的广泛

25、含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(x+2y3z)2,若视x+2y为公式中的a,3z为b,则222就可用(a-b)=a2ab+b来解了。(三)、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、位置变化如(3x+5y)(5y3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.2、符号变化如(2m7n)(2nv7n)变为一(2m+7n)(2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)3、数字变化如98X10

26、2,992,912等分别变为(1002)(100+2,(1001):(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.此时要根据公式特征，合理调17/174、系数变化如(4n+-)(2nv旦)变为2(2n+-)(2m-)后即可用平方差公式进行计算了.24445、项数变化如(x+3y+2z)(x3y+6z)变为(x+3y+4z2z)(x3y+4z+2z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.18/17因式分解十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0Va0而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数，a1例2、分解因式：x25x6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5。1:-2解：x25x6=x2(23