(完整版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

1、1应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1.若f(x)在X0处可导，则以下结论错误的是(D)。Af(x)在xo处有极限；Cf(x)在X0处可微；2.若f(x)在x0处可导，贝U(BA函数f(x)在点xo处有定义；C函数f(x)在xo处连续；Bf(x)在xo处连续；Df(x)limf(x)必成立。xx)是错误的。(02-03电大试题)Blimf(x)A,但Af(x0)；xxD函数f(x)在x0处可微。3 .f(x)在x。处不连续，则f(x)在乂。处(A)A必不可导；B有时可导；C必无定义；D必无极限。4.函数f(x)=|2x|在x=0处的导数(D)。AW0;B*2;C*-2;D不存在。5.函

2、数f(x):=|sinx|在点x=0处的导数(D)。A等于-1;B等于0;C等于1;D不存在。6.yln|x|,则y=(B)。11八11A一；B；C；D。|x|xx|x|7.曲线y=sinx在点(0,0)处的切线方程是(C)。Ay=2xByxCy=xDy=-x28.f(x)xcosx，贝Uf(x)=Acosx+xsinxC2sinx+xcosx9.函数中在1,e上满足Lagrange定理条件的函数是(B)。Ay=ln(lnx);By=lnx;Cy=-；Dy=ln(2-x)。lnx10.若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点E,使(A)。D)。(0

3、2-03电大试题)Bcosx-xsinxD-2sinx-xcosx2Af()Bf()；Cf(b)f(a)f()(ba)；Df()f(b)f(a)。11f(Xo)0,则x0是函数f(x)的(D)。(02-03电大试题)A,极大值点;B.最大值点;C.极小值点;D.驻点。12.x0是连续函数f(x)在(a,b)内的极小值点，贝U(C)。A必有f(xo)0;Bf(x0)必不存在;Cf(x。)0或f(x。)不存在;Dxe(a,b)时,必有f(x)f(x)。13.y=arctane则dy=(CxAe-A2x1ePexdxC1e14.设f(x)2cosx，则f(x)=C)。A1-sinx2;B1+sinx

4、2;C1-sinx22x;D(1-sinx2)2x。设f(t)1；2tt21:22，(t1)3t21.22，(t1)t21t21x.alimxaxa(a0)的值是oo-aa(lna1)。17.若XI与x2分别是函数f(x)在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则(D)必成立。Af(XI)fg)；Bf(x)f(X2)0；C对xC(a,b),f(x)f(XI),f(x)f(X2)；Df(XI)、f(X2)可能为0,也可能不存在。18若limxx0(xf(x)f(x。)x。)2f(x)-定是f(x)的D)。A最大值;B极小值;C最小值;极大值。二.填空题:1.已知f(x)=lnxx)Inx1=ox

5、x3若函数ylnJ3，贝Uy=0曲线y=x3+4在点(0,4)处的切线平行于x轴。抛物线y=x2在点(1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45已知f(x)=xsinx，贝Uf()=2三、解答题：111.求函数yj=亍的导数。1.x1x方程exyxy所确定的隐函数的导数dy=ydx若函数f(x)在x=0处可微，则limx0f(x)=f(0)。dln(sinx)=cotxdx。dln(cosx)=tanxdx。10.d(sinex)excosexdx。11.半径为x的金属圆片，面积为lnxxe12.lim1314.函数15.函数1617S(x)。加热后半径伸长了x，应用微分方法求出SqS(x)x。y

6、=arctan(x2+1)的递增区间是(0,)。y=ln(2x4+8)的递减区间是(，0)。y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。.极值存在的必要条件：如果f(x)在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f(x)0。.若函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内f(x)0,则函数的最小值为f(b)。18.设函数yf(x)二阶可导，若f(x)19.已知生产某种产品的成本函数为C(q)0、f”(x)0,则f(x)是f(x)的极大值。802q，贝U产量q50时，该产品的平均成本为3.620.微分近似计算函数值公式f(xx)f(x)f(x)x。4一，112解：因为y1一1所以1x1x1x5In

7、x的导数。sinx解：yexcosxxexcosxxexsinxex(cosxxcosxxsinx)o2.4.求万程yx在点(3,9)处的切线万程。22解：曲线yx在点(3,9)处的切线的斜率为yx在点(3,9)处的导数因为ylx32xlx36,所以切线的方程为y96(x3)即6xy905.求函数ysinxcos2x的导数。B:y2sinx(sinx)cos2xsin2x(sin2x)222sinxcosxcos2x2sinxsin2xsinxsinx2x)2sinxcos3x。8.利用对数求导法求函数y(cosx)sinx的导数。y2(1)2(1x)2(1x)2解：y(lnx)sinxInx

8、(sinx)2sinx1sinxInxcosxx_2sinxsinxxlnxcosxT2。xsinx3.求函数xexcosx的导数。2sinx(cosxcos2x6.求函数解：y7.求函数解：yxylntan一的导数。12x1sec一一,x22tan一21，一，y一的导数。cosx(cosnx)ncos1xx2sincos22n1x(cosx)1sinxnsinxnocosx6解：两边取自然对数，得lnysinxlncosx两边对x求导，得7V、.sinxcosxIncosxsinxycosxsinx，sinxtanx)(cosx)(cosxIncosxsinxtanx)。9.利用对数求导法求

9、函数y(sinx)lnx的导数。解：两边取自然对数，得InyInxlnsinx两边对x求导，得yL.,cosxInsinxInxyxsinxyy1InsinxInxcotx(sinx)Inx1InsinxInxcotxxx10.求方程xyyx所确定的隐函数的导数立。dx解：两边取自然对数，得yInxxIny两边对x求导，得1.yyInxyInyxxy整理，得业y(xInyy)。dxx(yInxx)11.求方程arctanInx2y2所确定的隐函数的导数曳。xdx解：两边对x求导，得解：两边对x求导，得eyxeyyyexyexyy(cosxlncosx整理,12.求方程1yxy22x2yyxey

10、dydxyex所确定的隐函数的导数dyOdx818.判断函数f(x)Inx在区间1,e上是否满足Lagrange解：因为f(x)lnx是初等函数，f(x)在其定义域(0,连续，在区间(1,e)内可导，满足Lagrange定理条件。因而在区间(1,e)内至少存在一点，使得整理，得业dxeyxexyeyxe13.己知函数yxxe,求y(n)。解：因为yexxexex(x1),yex(x1)exex(x2),yxe(x2)exex(x3),所以，y(n)xe(xn)14.已知y(n2)x,求y(n)。lnxIn解：y(n1)(n)y1xxx,2lnx12-lnx(lnxlnx1T2lnxx1)2ln

11、,4lnx2lnxxln3x15.求函数yarcsinVx的微分。解：dy1d(arcsin,x)d(.一x)1xdx2*x)16.求函数yecotx的微分。解：dyd(ecotx)ecotxd(cotx)ecotxcsc2xdx。17.半径为10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm,求所增加面积的精确值与近似值。解：S(rr)2r22rr(r)2,dSd(r2)2rdr。of()lneln11e1e1当r10,drr0.05时，S1.0025,dS即增加面积的精确值为1.0025,近似值为定理？如果满足就求出定理中的)内连续可导，所以f(x)在区间1,e上9lntan5x解：lim型

12、x0lntan8x所以limxx区间。列表x(,0)0(0,)x-0+f(x)-0+f(x)/19.利用LHospital法则求极限limxlnxoxlnx解：lim型xxlnxlimxInxxlnx11x_1limx型20.利用Lxlnxxlimxlnx2Hospital法则求极限limx0lntan5xlntan8x由表可知:函数f（x）在（，0）内递减，在（0,）内递增。limx021.利用L12sec5x5tan5x12oosec8x8tan8xHospital法则求极限解：仰xxxlnxlime:一lnxlim-015sin16xlim8x0sin10 xlimxx。x0lim。xl

13、nx型ym0 x125168100,22.求函数x1的单调区间。解：令y0，解得驻点x0,0把定义域）分成（，0）和（0,）两个子102.23.求函数yxlnx的极值点和极值。11224.求函数y2xx4的极值点和极值。解：令y4x4x34x(1x2)4x(1x)(1x)0，解得x0和x1。驻点x0和x解：令y2xln191xx2x(2lnx1)0,解得x0或xe2。因为x0不在函数的定义域x(0,)内，舍去;111xe2把(0,)分成0,e2和e2两个子区间。列表x10,e21e1e,2lnx1-0+f(x)-0+f(x)极小值12e/12时，函数有极小值1xe由表可知：当x1o2ex(,1

14、)1(1,0)0(0,1)1(1,)1x-0+x-0+1x+0-f(x)+0-0+0-f(x)/极大值1极小值0/极大值10时，函数有极小值y0；当x1时，函数有极大值y1。)分成(，1),(1,0),(0,1)和(1,)四个子区间。列表把函数的定义域(由表可知：当x25.求函数f(x)xln(1x)的单调区间与极值解：Qf(x)ln(1x)x(1,)f(x)1x(1,0)0(0,)y0由f(x)=0，知x=012y0Zf(x)的单调下降区间为(-1,0),上升区间为(0,)f(x)的极小值f(0)026若f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数。证：因f(x)是可导的奇函数，知f(x)f

15、(x)，求导，有f(x)f(x),所以f(x)f(x)，即f(x)是偶函数。H中值定理对函数yax2bxc(a0)所求得的点E恒在正中间。bxc(a0)在任意一个区间m,n上连续，在(m,n)内可导，因此在(m,n)内至少存在一点E使f()2ab2aba(mn)by648x4x322.一y4812x12(x4)由y0知x2x,222,222,27.验证Lagrange解：函数yax2f()f(n)f(m)nm由已知条件:f(n)f(m),22(anbnc)(ambmc)(nm)a(nm)bf(n)尝a(nm)bnm28.求曲线6x24x24一、一.x的凹凸区间和拐点解:6x_224x2x4xR

16、13y0-0+y926814x,222,y-0y2e2所以曲线fx的凹区间2,所以曲线fx的凸区间,2拐点2,2e230.求曲线yx44x32x5的凹凸区间和拐点由y12xx20知：x10 x22x,000,222,y+0-0+y517所以曲线fx的凹区间，02,所以曲线fx的凸区间0,2拐点0,52,17.1c531.求函数yxx4x在区|可-1,2上的取值。32解yx25x4(x1)(x4)令y0,求得区间-1,2上的驻点x1。所以曲线fx的凸区间2,2拐点2,292,68x29.求曲线yxe的凹凸区间和拐点,xx解：yexeyxxeexxe所以yexx2由于y0 x2所以曲线fx的凹区间

17、22,解：y4x312x212一2-y12x24x15因为f(1)4111Sfa2,所以函数的最大值为f(1)113最小值为41f(1)632.设有一根长为L的铁丝，现将其分为两段, 分别构造成圆形和正方形。若记圆形的面积为S11， 正万形，S1的面积为S2,求证：当S1+S2最小时，一S2证：设圆的半径为由已知2xf(x)SiS2x,正方形的边长为4yf(x)2令f(x)这时，鱼S2L所以y-L40得唯一驻点2x2y4x0222.2Lx2x-LxL_424416L(02xL822L82xL)33.某窗户的形状为半圆置于矩形之上,试所能通过的光线是充足的。若此窗框的周长为一定值L,试确定半圆的半径r和矩形的高h,设半圆的半径为r,矩形的高为h,则由题意，得Lr2r2h,Lr2rh22令sLr224r0容积是常量V。解:2r2r2434要做一个上下均有底的圆柱形容器,此最小面积。问底半径r为多大时，容器的表面积最小？并求出解：设半圆的半径为r,矩形的高为h,贝U由题意得:Vr2h1617S2rh22V2r35.将一根定长为L的铁丝剪成两段，一段弯成圆形，另一段弯成正方形