(完整word)五年级奥数题：因数与倍数

1、因数与倍数相关习题（1）一、填空题1.28的所有因数之和是.2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有中不同的拼法.3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的因数，十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是.4. 李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生人.5. 两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5,则这两个数的差是.6. 现有梨36个，桔108个，分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等，最多可分给小朋友，每个小朋友得梨个，桔个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最

2、大的正方形布片块.8. 长180厘米，宽45厘米，高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，乂以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果个.10. 含有6个因数的两位数有个.11. 写出小丁20的三个自然数，使它们的最大公因数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳41米，黄鼠狼每次跳2?米,24它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔123米设有一个陷井，当它们8之中有一个

3、掉进陷井时，另一个跳了多少米？14. 已知a与b的最大公因数是12,a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）答案答案：1. 5628的因数有1,2,4,7,14,28，它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=227,所以28的因数有6个:1,2,4,

4、7,14,28.在数字0,1,2,，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24,乂6-4=2,8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然，每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时，全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除，不可能.当每人种23棵树时，全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数，符合题目要求.当每人种1棵树时，全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除，不可能.所以，一班共有28名学生.5. 40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然

5、数可能是5和45,15和35,它们的差分另U为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.注这里的关键是依最大公因数是5的条件，将50分拆为两数之和：50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若十个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，乂要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友，可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨：3636=1(只)每个小朋友可分得桔子：10836=3(只)所以,最多可分得

6、36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只，桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数，题目乂要求剪出的正方形最大，故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公因数是6.这样，最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪：长边每排剪8块，宽边可剪7块，共可剪(486)(426)=87=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除，即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18

7、的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段，宽45厘米可分成5段，高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(1809)(459)(189)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果，乂以6元钱卖出15个苹果，这样，他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个因数的数，它的质因数有以下两种情况：一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个因数的数，用a和b表示M的质因数，那么Ma5或Ma

8、2b因为M是两位数，所以M=a5只有一种可能M=25，而M=a2b就有以下15种情况M223,M225,M227,M2211,M2213,M2217,M2219,M2223,M322,M325,M327,M3211,M522,M523,M722.所以，含有6个因数的两位数共有15+1=16（个）11. 三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得1111=11101最大

9、公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,1012,1013,1015,它们的和恰好是101（1+2+3+5）=10111=1111,它们的最大公因数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是23与123的“最小公倍数”99,484即跳了99重=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是41和123的4428“最小公倍数”99,即跳了99-=11次掉进陷井.222经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是14-9=40.5（米）.先将12、

10、300分别进行质因数分解：12=223300=22352(1) 确定a的值.依题意a只能取12或125(=60)或1225(=300).确定b的值.当a=12时，b可取12,或125,或1225;当a=60,300时，b都只能取12.所以，满足条件的a、b共有5组：a=12-a=12-a=12ja=60-a=300b=12,:b=60,:b=300,Ib=12,:b=12.确定a,b,c的组数.对丁上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：222222225,52,52,53,523,523,即25,50,100,75,150,300.所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30(组)

11、因数与倍数相关习题(2)填空题1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块块.5. 一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，钟乂同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子

12、分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得粒.7. 这样的自然数是有的：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是.8. 能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公因数是1,那么至少要分成组.10. 210与330的最小公倍数是最大公因数的倍.解答题答案：1. 9若梨减少2个，则有20-2=18（

13、个）；若将苹果增加2个，则有25+2=27（个），这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方形木板的长和宽的公倍数，乂要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.21614|87故14与16的最小公倍数是287=112.因为正方形的边长最小为112厘米，所以最少需要用这

14、样的木板112112_=78=56（块）16144. 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9,6,7的最小公倍数，9,6,7的最小公倍数是126.所以，至少需要这种长方体木块126126126=142118=5292（块）967注上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知，从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同

15、时发车后90分钟乂同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数由此可知，花生总粒数是12,15,20的公倍数，其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,，那么第一群猴子只数是5,10,15,第二群猴子只数是4,8,12,第三群猴子只数是3,6,9,所以，三群猴子的总只数是12,24,36,.因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知，这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420,所以这个数是421.8. 999768由题意知，最大的六位数是3,7,

16、8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为9999991848=541231,由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以，符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求，有相同质因数的数不能分在一组,26=213,91=713,143=1113,所以，所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案：(1)26,33,35;(2)34,91;(3)63,85,143.因此，至少要分成3组.注所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=35,21=37,35=57,3,5,7各出现两次，而

17、这三个数必须分成三组，而不是两组除了上述分法之外，还有多种分组法，下面再给出三种：(1) 26,35;33,85,91;34,63,143.(2) 85,143,63;26,33,35;34,91.(3) 26,85,63;91,34,33;143,35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”，将210330分解质因数，再进行组合有210330=235723511=223252711=(235)(235711)因此，它们的最小公倍数是最大公因数的711=77(倍).11. 根据题意，先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后，每隔80分钟乂同时发车

18、.从早上6:00至20:00共14小时，求出其中包含多少个80分钟.601480=1040分钟由此可知,20:00前40分钟，即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数，所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商12.这一结论的根据是：(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数乙数=倍约甲数乙数倍约八八一=,所以：约约约约甲数乙数倍甲数乙数=12约约约'约约将12变成互质的两个数的乘积：12=43,12=112先看，说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的4倍，一个是

19、它们最大公因数的3倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差，所得的商，即甲乙两数的最大公因数.18(4-3)=18甲乙两数，一个是:183=54,另一个是：184=72.再看,18(12-1)=1，不符合题意，舍去.1113. 依题意，设所求最小分数为M，则NM5M15M1=a=b1=cN28N56N20M28M56人M20即=a=b=cN5N15N21其中a,b,c为整数.因为地是最小值，且a，b，c是整数，所以M是5,15,21的最小公倍数小是N28,56,20的最大公因数，因此，符合条件的最小分数：M=105=261N4414.(1)根据2号15号同学所述结论，将合数4,6,-,15分解