高等数学竞赛试题(打印版)

1、竞赛试题1一、填空：nsinx-e-,x0,一一假设f(x)=arctan是(-8,y止的连续函数,那么a=ae2x-1,x三0,2.函数y=x+2sinx在区间口,J上的最大值为,23.4.3/*2y2=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,V2)处的指向外侧的单位法向量为z=05.设函数z=z(x,y)由方程z-y-x+xez_y=拒所确定,那么dz=二、选择题：1.设函数f(x)可导,并且f1所确止,求du,1ud2ydx2x=9五、设n为自然数,计算积分In2sin2n1x0sinxdxox六、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点,证实Lf(t)d

2、t是连续的偶函数,但在x=0点处不可导.证实：七、设f(u,v)有一阶连续偏导数,z=f(x2_y2,cos(xy),x=rcosS,y=rsinS,证实:=2xysin(xy).:ujv八、设函数f(u)连续,在点u=0处可导,且f(0)=0,f(0)=-3求：limJ4口fq1x2+y2+z2dxdydz.Tttx24y2七2包2九、计算1M请就其中L为x+x+y=1正向一周.十、(1)证实：当x充分小时,不等式0Etan2x-x2Wx4成立.n设xn=Ztan2k11一、设常数k1n2-1,证实：当x0且xw1时,(x-1lx-1n2x+2k1nx-1)0证实：十二、设匀质半球壳的半径为

3、R,密度为内在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度为p.假设棒的近壳一端与球心的距离为a,aR,求此半球壳对棒的引力.竞赛试题2一、选择题1 .以下命题中正确的命题有几个？()(1)无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；(3)无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.12.设f(x)=%g(x)xsinx再那么xm是间断点的函数是()0,1,X=0(A)f(x)+g(x)；(B)f(x)-g(x)；(C)maxf(x),g(x)；(D)minf(x),g(x).3 .设：为f(x)m漏门*在

4、0,b上应用拉格朗日中值定理的中值,那么虹0涓=(A)1;(B)1;(C)3;(D)1.4 .设f(x),g(x)连续,当xT0时,f(x)与g(x)为等价无穷小,令F(x)=(f(xt)dt,1G(x)=xg(xt)dt,那么当xT0时,F(x)是G(x)的()(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.5 .设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足lim,f(x,y)f(0,0l=上那么f(x,y)在点(0,0)处()j二0x1xsiny-cosy(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能确定是否有极值.6 .设f(x)在(

5、多位)连续,且导函数y=f(x)的图形如下图,那么f(x)有()(A) 1个极小值点与2个极大值点,无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点,1个拐点；(C) 2个极小值点与2个极大值点,无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点,1个拐点.(1,2)7 .设f有连续的一阶导数,那么(f(x+y)dx+f(x+y)dy=(),(U,0)(A)2jf(x)dx；(B)jf(x)dx；(C)f_f(0);(D)0.8 .设任意项级数fan条件收敛,将其中的正项保存负项改为0所组成的级数记为fbn,将其中的负项保n1-.n.1留正项改为0所组成的级数记为fCn,那么京bn与：fcn()n1n_1n

6、_1(A)两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)以上三种情况都可能发生.二、设f(x)在区间(-,w连续,F(x)=f+f(t)dt(a0),G(x)=jf(t)dt,2a.x30试解答以下问题：(1)用G(x)表小F(x);(2)求F(x);(3)求证：吗F(x)=f(x);(4)设f(x)在x-a,x+a内的最大值和最小值分别是M、m,求证：|F(x)_f(x)三Mm.三、求曲线|lnx+jlny|=1所围成的平面图形的面积.四、设曲面S为曲线产e(1y0,“*)在(田2)内恒有f(x)0且|f(x)|x2,记I=ff(x)dx,那么有().a(A) I=0;(B)I

7、0;(C)I0;(D)不确定.x4.设f(x)有连续导数,且f(0)=0,f(0)0,F(x)=(x2t2)f(t)dt,当xt0时,F(x)与xk是同阶无分小,-0那么k=(B)(A)4;(B)3;(C)2;(D)1.2、儿L,x2y2=0E5 .设f(x,y)/x?+y,那么0,x2y2=0(A)不连续；(C)可微；6 .设a=i+j,b=_2j+k,那么以向量a、f(x,y)在点(0,0)()(B)连续但偏导数不存在；(D)连续且偏导数存在但不可微.b为边的平行四边形的对角线的长度为(b的值,使limf(x)与limf(x)都存在.x1x-4axdydz-2(xa)ydzdx、x2y2z

8、2-1五、x0=1,x2,x34(B) 3,11;(C)3,.10；(D)2,.11.7 .设L1与L2是包含原点在内的两条同向闭曲线,L2在L1的内部,假设及2xdx：ydy=k(k为常数),那么L2x.y有皿号承()(A)等于k;(B)等于上；(C)大于k;(D)不一定等于k,与L2的形状有关.8 .设:fanxn在x=1处收敛,那么J-ajx-1)n在乂=0处()nn：6n12nl2K、设f(x)=nm、x2na；x(zN),试确定a、设F(x)是f(x)的一个原函数,且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x,求广|f(x)|dx.-0四、设G4x,y,z)ER314a2x2y2Ez

9、0,S为.的边界曲面外侧,计算求证：(1)数列4收敛；(2)4的极限值a是方程x4+4x-1=0的唯一正根.六、设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证:ffxylimIxgdxdy=_2nf(0,0),其中D为圆环域：2x2+y2lnx(15分)六.2t,一设F(x)是f(x)的原函数,且F(1)=n,当x0时,有f(x)F(x)=4Iarctan、x一x(1x),试求f(x)o(15分)x.c0jllim(ax-sinx)=0limfb七.假设曲线Li：y=1-x2(0xx轴和y所围成的平面区域被曲线L2:y=ax2分为面积相等的的两局部,其中a是大于零的常数,试确

10、定a的值.(15分)八.函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证实:(1)存在(0,1),使得f优)=1-%(7分)(2)存在两个不同的点L%使得f()fd)=1(8分)解答提示：一.x=0,时y=1两边对x求导,再将x=0,y=1代入即可.1n:t)dt=0,故必有：b=0.再用洛必达法那么推出a=1,c=1/2.作变换以-1=t即可四.构造辅助函数5J)=*),在区间0,1应用罗尔中值定理.2五.构迫辅助函数F(x)=x+1-证实其在(0,+讷只有一个极小值点,x-故对一切xQ者B有：F(x)之F(三22、31.八一)=-+-ln2022六.由f(x

11、)=F(x),知F(x)F(x)=,ctaxx(1x)即F(x)dF(x)=2arctan、xdarctan.x1解出F(x)=arctanxC2代入初始条件即得f(x)=(x0)2、x(1x)七.先求出两条曲线交点的横坐标x=-积分f(1-a11a-1x2-ax2)dx=2,13.a13*1a八.(1)构造辅助函数F(x)=f(x)1+x,在0,1上应用零点存在定理即可.(2)利用(1)的结果,分别在0,引和仁,1上对f(x)应用拉格朗日中值定理即可.竞赛试题5一、计算题9十x求5dxx12 .求15m11(1x)x-(12x产sinxb3 .求p的值,使a(x+P)2007(xp)2edx

12、=04.2设X/xW(*,+),f(x)0,且0Wf(x)W1e,求f(x)的表达式5.计算口(x2+y)dS,其中S为圆柱面x2+y2=4,(0z1)s、一121、设un=1-23412.-十IH+563n-23n-13nVn二n1n21州43n求(1)u10V10(2)limUnE为DB的中点,现将纸卷三、有一张边长为4n的正方形纸(如图),C、D分别为AA、BB的中点,成圆柱形,使A与A重合,B与B重合,并将圆柱垂直放在xoy平面上,且B与原点O重合,D落在Y轴正向上,此时,求：(1)通过C,E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；(2)此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所

13、围成的立体体积.=(x,y,z)|1x2+y2+z20,b0)qQ2.设幕级数anxn的系数满足a0=2,nan=an+n-1,n=1,2,3,n0求此事级数的和函数s(x)ox1,x解方程s(x)=ce+由s(0)=13s(x)=e+1-x1-x3.f(x)二阶可导,且f(x)0,f(x)f(x)-If(x)f0,xwR(1)证实f(Xi)f(X2)-f2(x1x2Vxi,X2=R(2)假设f(0)=1,证实f(0)xf(x),e,xR4 .求limx_01(1x)x-eln(1x)x二cos(t2)5 .设t2_u2e,求96.sinududxdx(1x2)(1x:)7 .设函数f(x)满

14、足方程,exf(x)+2e7rf(n-x)=3sinx,xwR,求f(x)的极值.8 .证实当xw(jn)时,21-sinxln(1sinx)1sinx10 .设lim(2x-3/1-x3-ax-b)=0,x-y二求a,b的值sinx2sin1x9.求limx0ln(1x)11 .设f(x)=x2-2x-312 .某水库的泄洪口为圆形,半径为下降多少米时,泄洪口被盖住一半?1米,现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方(如图)问闸门113 .y=f(x)是0,1上二阶可导函数,且f(0)=1,f(1)=12f(1),证实:Ue(0,1)使得f(匕)=1.证实竞赛试题7一.选择1.函数z=f(x

15、,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的:A、必要而非充分条件;C、充分必要条件；B、充分而非必要条件；D、既非充分又非必要条件2.设u=arctanyx,那么电=A、:xyb2,2B、xyC、D、-x2xy3.曲线弧aB上的曲线积分和BA上的曲线积分有关系:A、.ABf(x,y)ds=-BAf(x,y)dsB、.abf(x,y)ds=BAf(x,y)dsC、.ABf(x,y)ds.BAf(x,y)ds=0.ab“x,y)ds=BAf(-x,-y)ds=04.设I1=JJln(x+y)7dxdy,I2=JJ(x+y)7dxdy,I3=fsin7(x+y)dxdy其中D是由x=0,y

16、=0,x+y,x+y=1所围成的区域,那么I1,I2,I3的大小顺序是A、I1I2I3;二、填空题B、I3I2I1；C、I1I3I2；D、I3I1I2.5.设u=xy,丫,贝U-u=xFy6.函数f(x,y)=esin(x+2y)在点(0,三)处沿y轴负向的方向导数是.4227 .设C表示椭圆勺+%=1,其方向为逆时针方向,那么曲线积分%(x+y2)dx=ab2cc8 .设I=JJJ(3ysiny+ztanx+3)dv,贝I=xyz三、计算9 .求极限Hm0y02210 .函数z=z(x,y)由方程sin(xz)+3x-z=1+lny所确定,求：xx=00y=111 .求函数z=x3+y2-x

17、y-x的极大值点或极小值点.12 .设闭区域D:x2+y20.f(x,y)为D上的连续函数,且f(x,y)=丫；1一x2-y2口f(u,v)dudv,求f(x,y)1c.13 .计算二重积分Hxdxdy,其中D是由抛物线y=x2及直线y=x+4所围成的区域.d214 .计算I=川2yzdv,其中.是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z方暗B分的立体.615 .L是由x2+y2M1,0MyMx所确定的平面域的边界线,求cosdx2+y2ds.16 .计算曲线积分(xsin(x2+y2)dx+ycos(x2+y2)dy,式中L是正向圆周x2+y2：四、证实题17 .试证曲面xyz=a3的切

18、平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数.证实：曲面上点切平面法向量竞赛试题8一.填空题JIlimX01假设ax-sinxx3二c(c=0)Uldtbt,试确定常数a一,b=_,c=_2设F(x)是f(x)的原函数,且F(1)一二4f(x)F(x),当X0时,有arctan、x.x(1x)那么f(x)3.设f(x)有连续导数,且f(0)=0,f(0)x22F(x)=(x-t)f(t)dt0,当x0时,F(x)与是同阶无穷小,那么k=.0i(x)1dx4.设F(x)是f(x)的一个原函数,且F()=1,F(X)f(x)=cos2x,那么x22F(x)=(x2-t2)f(t)dt2f(0)5,当XT

19、0时,p的导数F(叩与乂为等价无穷小,那么1()=6 .设y(x)是微分方程y*+(x-1)y+xy=e的满足y(0)=,y(0)=1的解,那么lim&px0x=27 .设巴为f(x)=arCtan,b上应用拉格朗日中值定理的中值,那么叫0b2lnx+lny=18 .曲线Inxy1所围成的平面图形的面积是cosx,9,求y=(sinx)的导数.y=11一110.求极限n：n21j22/n2n2).二.计算题3dxf12421 .求x1x2 .设f(x)在x0处连续.证实：在x0的某邻域(x0-6,x0+肉)f(x)有界3 .设y=ln(secx+tgx),求y4,设f(x)在区间(*连续,1x-aF(x)二痴xJxG(x)=f(t)dt试解答以