高斯小学奥数五年级上册含答案_直线形计算中的倍数关系

1、第六讲直线型计算中的倍数关系迄今为止,同学们已经学会了很多图形计算面积的方法.在计算这些面积的时候,只要知道相应线段的长度,然后利用公式即可以计算.例如计算长方形的面积,只需知道长方形的长和宽即可利用长方形的面积长宽进行计算？但很多时候,题目中并不给出长和宽,8、那怎么来求面积呢？我们来看下面这个例题.Frz例题1.如图,有9个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为4、12、16、20平方米.其余4个长方形的面积分别是多少平方米？分析如果两个长方形的一条边相等,我们可以比拟它们的另一条边来求它们的面积关系,看看下列图,能利用左上角的三块面积求出的面积吗？对于长方形,我们总结出：如果两个长方形

2、的长宽相等,那么它们的面积的比等于它们宽长之比.例如：如下图的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同,那么长方形ABCD的面积:长方形BEFC的面积AB:BE.如图,有7个小长方形,其中的5个小长方形的面积分别为20,4,6,8,10平方厘米.求阴影长方形的面积是多少平方厘米？2046810从上面的例题可以看出,求一个图形的面积不一定要通过公式,有些时候我们也可以利用图形各局部之间的面积关系进行计算.实际问题中,各图形的形状各异.我们很难直接看出面积间的关系,更容易发现的是长度之间的倍数关系.本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化.过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形那么这

3、两个小三角形面积之比等于该直线分对边所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的F为BE中点,如果三角形三角形ABD的面积：三角形ADC的面积BD:DC例题2.下列图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍.那么三角形ABE的面积是多少平方厘米？分析你能从图中发现前面讲过的根本图形吗？如何利用其中的比例关系解题呢？如图,三角形ABC中,D为AB的中点,E为BC的中点,ABC的面积是120平方厘米,那么三角形DEF的面积是多少？比方知道两条线段的在实际问题中,给出的图形结构往往只能满足上述形式的一局部长度关系,却找不到适宜的图形引出面积关系.此时

4、,我们可以添加适当的辅助线,使得两个图形之间可以找到一个过渡的量,这个量和两个图形都有比拟紧密的联系.角形ABC,例题3.如图,把三角形DEF的各边分别向外延长1倍后得到三三角形DEF的面积为1,那么三角形ABC的面积是多少？分析容易看出,此题也需要通过边长的倍数关系去求三角形面积之间的关系？但是我们所求的是三角形DEF的面积,而没有.那么我们的是三角形ABC的面积,这两个三角形之间一条直接相连的边也该怎么办呢？如图,把三角形DEF的各边分别向外延长1倍、2倍、3倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面积为1,那么三角形ABC的面积是多少？A除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外,我们有时候也利

5、用面积的倍数关系反推出长度的倍数关系.例题4.如图,E是AB上靠近A点的三等分点,梯形ABCD的面积是三角积的倍数关系.需要求的那么是长度的倍数关系,所以我们考虑如形AEC面积的4倍,那么梯形的下底长是上底长的几倍?分析此题中我们并不知道图形的具体面积,而只知道面何利用面积的关系求出长度关系.我们不妨假设三角形AEC的面积是“1份,那么梯形ABCD的面积就是“5份？接着可以看看“E是AB上的三等分点这个条件能得出什么结论,看看怎么利用求出的面积来比拟梯形的上下底？如图,将一个长为18的长方形,分成一个三角形和一个梯形,且梯形的面积是三角形的5倍,那么三角形底边BE的长是多少？除了利用长度间的倍

6、数关系外,积的倍数关系.我们有时候也能从公式入手,寻找图形面例题5.把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米,结果面积增加了50平方厘米,那么原正方形的面积为多少平方厘米？分析由于阴影局部是一个不规那么图形,我们需要把它转化为规那么形状,可以将它分割成几块.如下图,我们将阴影局部分割为、三个长方形？其中,的长和宽分别为4、2,可以求出它的面积？那么和的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系.例题6.如图,直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF,E点恰好在AB边上.又已知直角边AC长20厘米,BC长12厘米,那么正方形的边长为多少厘米？分析注意到EF垂直于AC,ED垂直于BC.我们可以连

7、接CE,将三角形ABC分成两个三角形,这两个三角形的底都给出了长度,而它们的高相等.我4们的目标就是求这个高.欧拉的故事欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就.欧拉小时候帮助爸爸放羊,他一面放羊,一面读书.他读的书中,有不少数学书.爸爸的羊群渐渐增多了,到达了100只.原来的羊圈有点小了,爸爸决定建造一个新的羊圈.他用尺量出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平方米.正打算开工的时候,他发现他的材料只够围100米的篱笆,不够用.假设要围成长40米,宽15米的羊圈,其周长将是1

8、10米(15+15+40+40=110)父亲感到很为难,假设要按原方案建造,就要再添10米长的材料；要是缩小面积,每头羊的面积就会小于6平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担忧每头羊的领地会小于原来的方案.他有方法.父亲不相信小欧拉会有方法,没有理会他.小欧拉急了,大声说：只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了.父亲听了直摇头,心想：世界上哪有这样廉价的事情？但是,小欧拉却坚信,他一定有两全齐美的方法.父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲同意了,站起身来,跑到准备开工的羊圈旁.他以一个木桩为中央,将原来的40米边长截短,缩短到25米.父亲着急了,说：那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了

9、,太小了.小欧拉也不答复,跑到另一条边上,将原来15米的边长延长,又增加了10米,变成了25米.经这样一改,原来方案中的羊圈变成了一个25米边长的正方形.然后,小欧拉很自信地对爸爸说：现在,篱笆也够了,面积也够了.父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100米长的篱笆真的够了,不多不少,全部用光.面积也足够了,而且还稍稍大了一些.父亲心里感到非常快乐!作业1.如图,一个长方形被分成了四个小长方形,长方形A的面积是45平方米,长方形B的面积是15平方米,长方形C的面积为15平方米,那么长方形D的面积是多少？作业2.如图,D为AB边上的三等分点,三角形ACD面积为12,那么三角形BCD面积是多少？作

10、业3.如图,D、E分别为AB、BC边上的三等分点,三角形ABC面积为72,那么三角形CDE面积是多少？作业4.如图,把三角形DEF的各边向外延长2倍后得到三角形ABC,三角形DEF的面积为1,那么三角形ABC的面积是多少？作业5.点B是正方形一条边上的四等分点.连接AB、BC,点D、E又是AB、BC的四等分点,连接CD、DE.如果正方形边长为24厘米,那么：1三角形ABC的面积是多少？2三角形CDE的面积是多少?24厘米第六讲直线型计算中的倍数关系例题1.答案：如下图详解：长方形一边确定,面积的倍数关系与另一邻边的倍数关系相同1612241230平方厘米.7个小三角形面积相等.20例题2.答案

11、：30详解：ABD与AADC的面积比是1:1,可求出ABD的面积是90平方厘米.ABE与ABDE的面积比是1:2,那么ABE的面积是90例题3.答案：7详解：连结AE、BF、CD,由等高三角形可以推出图中的例题4.答案：3倍详解：设AAEC的面积是1份,那么有梯形的面积是4份,ABC的面积是3份.所以AACD的面积是1份.而ADC与AABC的高相同,所以底的比等于面积的比,即AD:BC=1:3.例题5.答案：49详解：设正方形边长为a,那么有2a4a2450,a=7.a厘米.可列例题6.答案：7.5详解：连结CE,将三角形切成两个小三角,设正方形边长为方程2012220a12a2,a=7.5.

12、84612平方厘米？再求阴影局部的面积,20102,46812215练习1.答案：15简答：先求出面积为6的长方形下面长方形的面积,应该是练习2.答案：15平方厘米简答：由于D是AB的中点,可知BDC的面积是AABC面积的一半,120260?E点是BC的中点,F是BE的中点,那么DEF的面积是ABCD的四分之一,60415?练习3.答案：18简答：如下图,连结AF、BD和CE?根据等高三角形的性质可以求出其他三角形的面积.练习4.答案：6CDFE的面积是长简答：如下图,连结EF,使得ABEF是一个长方形？那么长方形方形ABEF的两倍,所以EC是BE的两倍,BE长为6.作业1.答案：5简答：长方形A的面积是长方形B的面积的3倍,因此长方形C的面积也是长方形D的面积的3倍,因此长方形D的面积为5.作业2.答案：24简答：BD长度是AD长度的2倍,因此三角形BCD面积也是三角形ACD面积的2倍,因此三角形BCD面积为24.作业3.答案：16简答：由D、E分别为AB、BC边上的三等分点,可求得三角形BCD面积为48,三角作业4.答案：19简答：如下图,连接AE、BF、CD.由AD2DF,BE2ED,