高中数学双曲线的切线(全面版)

1、双曲线的切线1122本文拟讨论由坐标平面内任意点Px0,y0,引双曲线C1:勺y-2=1a>0,abb>01的切线,切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标.不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形.当P在原点或P在区域I时,不存在切线；当P在C1或C2不含原点上时,仅一条切线；当p在区域n、m、iv、v或在C3不含A、B上时,有两条切线.结论：原点处无切线.点在C3上时一条切线当P在线段AB上时,Q在C1的右支上半支.当P在线段AB的延长线上时,Q在C1的左支下半支.假设点P在区域I内,过P不存在切线.假设点P在曲线C1上异于点A,切点即点P.假设点P在曲

2、线C2上异于点B,假设P在线段OB上,Q在C右支下半支.假设P在线段OB的延长线上,Q在C1右支上半支.假设点P在区域n内,Q1在C1右支下半支,Q2在C1右支上半支.假设点P在区域出内,Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧.假设点P在区域IV内,Q1在C的右支下半支,Q2在C的左支下半支.?假设点P在区域V内,Q1在C左支下半支,Q2在C的右支上半支.如下图,记C1的渐近线为C2：x-=0,C1的右顶点为Aa,0,直线C3:abx=a;C3与C2的交点为Ba,b;C的内部含焦点白局部为区域I;C与C2之间的局部,在C3左侧为区域n,在C3右侧局部为区域出；C2与y轴正半轴所夹的局部,在C3左

3、侧为区域IV,在C3右侧为区域V.1假设P在原点0y2无实数解,21x方程组x22a直线x=0不是Ci的切线.设过P(0,0)的直线l的方程为y=kx,代入(1)消去y得(b2a2k2)x2=a2b2,a实根,l与Ci有两个交点.故过P不存在.的切线.2假设过点P存在无斜率的切线当|k|>b时,此方程无实根,所以|与C1无公共点；当|k|<-时,此方程有两相反此时切线方程为x=x0,代入(1)消去x得a2y2=b2(x；a2),此方程有两相等实根的充要条件是x0a2=0,即|x0|二a.故点P在C3上时,C3为Ci的一条切线,切点为A.3假设过点P存在有斜率的切线设切线斜率为k,那

4、么切线方程为yy0=k(x北)(2)将(2)代入(1)消去y可得(b2a2k2)x22a2k(y.一kxxa2(y.一kx.)2+b2=0(3)方程的判别式A=4a2b2(x0a2)k22x°y°k+(y0+b2)令f(k)=(x0a2)k22x0y0k+(y0+b2)3.1假设点P在C3±(异于点A)x0=a,一次方程f(k)=0的解为22y°b2x0y0(1)当y0=b时,即P与B重合时,k=-,过P且斜率为2的直线即直线C2,不是aaC1的切线.(2)当y°wb时,将(4)代入(2)得切线方程为(y2+b2)x2x0y0y+x0(y2b2

5、)=0.22设切点为Q(Qx,Qy),将切线方程与(1)联立解之可得Qx里一丝,QybV.222bV.222bV.当P在线段AB上时,b>y.,Qx>0,Qv>0,故Q在Ci的右支上半支.当P在线段AB的延长线上时,bvy.,.Q*v0,Qv0,故Q在Ci的左支下半支.3.2假设点P不在C,上此时xowa.二次方程fk=0有实根的充要条件是其判别式=-4b2x0-a2y2-a2b2为0,22设s=-驾-y4-1,ab那么4>0s>0.3.2.1假设点P在区域I内22此日白>1,a2b2Sv0.方程fk=0无实根,故过P不存在切线.3.2.2假设点P在曲线Ci

6、上异于点A22此时=1,ab,S=0,方程fk=0的二重根为k=2"02,注意到X.a将k值代入2整理得切线方程为b2Xc式,那么k=ay.22.222bx0x-ay0y=bx0ay0,注意到5式,切线方程可化为x°xy°y-2-2ab切点即点P.3.2.3假设点P在曲线C2上异于点B22此时华空=0,ab1.(6)S=1>0,方程f(k)=0有两相异实根.易验证,k1二工0是其一根,另一根x0为2222、y°by°x°(y0b)k2=-2一=12；(7)x°ax°yO(x0a)过点P且斜率为k的直线即C2,

7、不是C的切线.故C仅有条切线.将7代入2并注意到6,可得切线方程为设切点为Q(QX,(6),那么Qx22X0a2x0Xo>0,Qx>0,2222X0ay°b222aX02by0Qy),由(3)知,Qx2./1、ak(y°kx0)b22.2ak将(7)代入上式并注意到将Qx代入(2)并注意到(6)22X0aQ(k可得Qy2b2旦,故切点为2y0故Q在C的右支上.假设P在线段OB上,0vyYb,Qv<0,故Q在C右支下半支.假设P在线段OB的延长线上,y0>b,Qy>0,故Q在C右支上半支.3.2.4假设点P在区域n内此时0V2X0a2V0.工&l

8、t;1,b(8)0,方程f(k)=0有两相异实根,设为ki、k2,且kiVkz,k1k22x°yk1k22X02V.ab222X0a设相应于k的切点为Qi(Xi,y),i=1,2由(3)知Xi=a2ki(y0kiX°)222baki(10)将(10)代入(2)得b2(y0Mx.)yi=b2a2k2(11)由(10)、(11)和(9)可推得422、a(y°b)X1X2ym,2222bX0ay0422b(X0a)7-2222bX0ay0(12),.0<xo<a,0<yo<b,由8和12知,xix?>0,yyv0,Qi、Q2在Ci的同一支,

9、且在x轴异侧.x2a2<0bb2f(-)(y.-xo)>0aabb2f()(y0x0)>0aa.f(k)=0的两根在区间b之外,即|ki|>b.aaa由(9)知,kik2<0,故Qi在Ci右支下半支,Q2在Ci右支上半支.,土b、特殊地,右P在线段OA上,由对称性知ki=k2,由94#k=f22,代入ax0得切线方程y=±n-bax0x-x0;代入i0、ii得切点坐标为2a(,x0二次函数fk的对称轴为x0y022,x°a易证x°y0、b-2>一x0aaba2x2)x03.2.5假设点P在区域出内仿3.2.4的讨论可知,xix2

10、>0,yiy2>0,Qi、Q2位于Ci同一支且在x轴同侧.2,2事实上,取点Mx0,y为C1右支上半支上的点,那么笔1i,abx0y02x02bx°y0.222.2bx°ab.2.2bx°y0bx0y0-22->22-ayay0b2b-2y0ax2a2>0x°y0b22x0aabb2f()(y0x0)>0aabbb-fk=0的两根在区间一,+oo上,即k1>,k2>一.aaa3.2.6假设点P在区域IV内22此时粤空<0,ab8>0,fk=0有两相异实根.bb伤3.2.4的讨论知：x1x2<0,

11、y1y2>0且卜1<B,k2>-,aaQi在Ci的右支下半支,Q2在Ci的左支下半支.特殊地,假设P在y轴正半轴上,由对称性知,ki=-k2,2222由9得,k=土¥y,代入2得切线方程为y=±也x+V.,aa代入10、11得切点坐标为b2一)V02,2V0a、y°b(土3.2.7假设点P在区域V内bb伤3.2.5的讨论知,x1x2<0,y1y2<0,且k>,k2>,aa.Q1在C左支下半支,Q2在c的右支上半支.综上所述：当P在原点或P在区域I时,不存在切线；当P在C1或C2不含原点上时,仅一条切线；当P在区域n、m、IV、V或在C3不含A、B上时,有两条切线.当由P可引Cq两条切线时,设切线上任一点为Nx,y,那么分PM所成比为入入w1的点Q的坐标为x0y1+y.假设Q在C1上,那么22(X0+x)(y0y)Tf2x整理可得一a2y,2.x°x下-1)入+2(baYoVb21)入+(2x.2a2y.b2-1)=0.2x1)(Ua2y77-1)=0b.PN为切线,此关于入的二次方