菱形的判定专项练习30题

1、菱形的判定专项练习 30题(有答案)1 .如图，梯形 ABCD中，AD / BC, BA=AD=DC=工BC ,点E为BC的中点.2(1)求证：四边形 ABED是菱形；(2)过A点作AF XBC于点F,若BD=4cm ,求AF的长.且 AO=ON=NC ,2 .如图，四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点。，且AC，BD .点M , N分别在BD、AC上,BM=MO=OD .求证：BC=2DN .3 .如图，在 4ABC中，AB=AC , D, E, F分别是 BC, AB , AC的中点.(1)求证：四边形 AEDF是菱形；(2)若AB=12cm,求菱形 AEDF的周长.已知BE=B

2、P .4 .如图，在？ABCD中，EF/ BD,分别交 BC, CD于点P, Q,交AB , AD的延长线于点 E, F. 求证：(1) / E= / F;(2) ?ABCD是菱形.5 .如图，在 4ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点 A作AF / BC , AF与CE的延长线相交于点 F, 连接BF.(1)求证：AF=DC ;(2)若/ BAC=90 °,求证：四边形 AFBD是菱形.6.已知平行四边形 ABCD中，对角线 BD平分/ ABC ,求证：四边形ABCD是菱形.7 .如图，在一个含 30 °的三角板ABC中，将三角板沿着 AB所在直线翻转180得至

3、iJABF,再将三角板绕点 C顺 时针方向旋转 60彳导至ij DEC,点F在AC上，连接AE .(1)求证：四边形 ADCE是菱形.(2)连接BF并延长交AE于G,连接CG.请问：四边形 ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8 .如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，DEAB, DFXBC ,垂足分别是为 E F,并且DE=DF .求证：四边 形ABCD是菱形.9 .如图，在 4ABC中，DE/ BC,分别交 AB , AC于点D, E,以AD , AE为边作？ADFE交BC于点G, H,且 EH=EC .求证：(1) / B= / C;(2) ?ADFE是菱形.CDB10.如图，在 4

4、ABC中，/ ACB=90 °, CD是AB边上的高，/ BAC的平分线 AE交CD于F, EG LAB于G.(1)求证：AEGAEC;(2) 4CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；(3)四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论.11 .如图，在 4ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是 4ABC三边的中点. 求证：四边形 ADEF是菱形.B E C12 .如图，在四边形 ABCD中，AB=CD , M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形 MENF13 .已知：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=AD , / BAD的平分线 AE交BC于点

5、E,连接DE .求证：四 边形ABED是菱形.14 .如图，在 4ABC中，AB=AC , M、O、N分别是AB、BC、CA的中点.求证：四边形 AMON是菱形.15 .如图：在 4ABC 中，/ BAC=90 °, AD，BC 于 D, CE 平分/ ACB ,交 AD 于 G,交 AB 于 E, EFXBC 于 F. 求证：四边形 AEFG是菱形.16.如图，矩形 ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形 求证：四边形 ANCM是菱形.AECF , AB交EC于点N , CD交AF于点 M .17 .如图，四边形 ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF , AD、BE交于M, BC、D

6、F交于N,那么四边形 BMDN是 菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由.£18.已知如图所示， AD是4ABC的角平分线, 吗？说明理由.DE / AC交AB于E, DF / AB交AC于F,四边形 AEDF是菱形19 .已知：如图所示， BD是4ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交 AB于E,交BC于点F.求证: 四边形BFDE是菱形.20 .如图，在平行四边形 ABCD中，。是对角线AC的中点，过点 。作AC的垂线与边 AD、BC分别交于E、F. 求证：四边形 AFCE是菱形.21 .如图，在矩形 ABCD中，EF垂直平分 BD.(1)判断四边形 BEDF

7、的形状，并说明理由.(2)已知BD=20 , EF=15,求矩形 ABCD的周长.22 .如图所示，在 ？ABCD中，点E在BC上，AE平分/ BAF ,过点E作EF/ AB .求证：四边形 ABEF为菱形.B EC23 .已知，如图，矩形 ABCD 中，AB=4cm , AD=8cm ,作/ CAE= Z ACE 交 BC 于 E,作/ ACF= / CAF 交 AD 于 F.(1)求证：AECF是菱形；(2)求四边形 AECF的面积.24 .如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于E、F.问四边形AFCE是菱形吗? 请说明理由.25 .如图：在平行四边形

8、ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且 BE=DF ,连接EF交AC于O.(1) AC与EF互相平分吗？为什么？(2)连接CE、AF,再添加一个什么条件，四边形 AECF是菱形？为什么？26 .已知：如图，4ABC和4DBC的顶点在 BC边的同侧，AB=DC , AC=BD交于E, / BEC的平分线交 BC于O, 延长EO到F,使EO=OF .求证：四边形 BFCE是菱形.27 .如图，在 4ABC中，D是BC边的中点，F, E分别是 AD及其延长线上的点， CF / BE .(1)求证：BDECDF;(2)请连接BF, CE,试判断四边形 BECF是何种特殊四边形，并说明理

9、由；(3)在(2)下要使BECF是菱形，则4ABC应满足何条件？并说明理由.28 .如图，在 4ABC中，/ ACB=90 °, BC的垂直平分线 DE交BC于D ,交AB于E, F在DE上，并且 AF=CE .(1)求证：四边形 ACEF是平行四边形；(2)当/ B的大小满足什么条件时，四边形 ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.29 .如图，在 4ABC中，AD是/ BAC的平分线，EF垂直平分 AD交AB于E,交AC于F. 求证：四边形 AEDF是菱形.30 .如图，4ABC中，点。是边AC上一个动点，过O作直线 MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点 E,交/ BC

10、A 的外角平分线于点 F.(1)探究：线段 OE与OF的数量关系并加以证明；(2)当点O运动到何处，且 4ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？(3)当点O在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.矩形的判定专项练习30题参考答案:1. 1)证明：二.点E为BC的中点，be=ce=1bc,2 BA=AD=DC= -BC,2AB=BE=ED=AD ,四边形ABED是菱形；(2)解：过点 D作DHLBC,垂足为H, CD=DE=CE , ./ DEC=60 °, ./ DBE=30 °,在 RtABDH 中，BD=4cm ,DH=

11、2cm , AF=DH ,AF=2cm .2. AO=ON , BM=MO , .四边形AMND是平行四边 形， ACXBD , .平行四边形 AMND是菱形，. . MN=DN , ON=NC , BM=MO , .1. MN=1BC ,BC=2DN23. (1) D, E分别是BC, AB的中点，DE / AC 且 DE=AF= -AC .2同理 DF / AB 且 DF=AE=4AB .2又,. AB=AC , .1. DE=DF=AF=AE ,四边形AEDF是菱形.(2)：E是AB中点，AE=4AB=6cm ,因此菱形 AEDF2的周长为4>6=24cm.4. (1) BE=BP

12、 , . E=/BPE, BC / AF , ./ BPE=/ F,/ E=Z F.(2) EF / BD ,. E=/ABD , / F=Z ADB , ./ ABD= Z ADB ,AB=AD , 四边形ABCD是平行四边形， CABCD是菱形.5. 1)证明：.E是AD的中点， AE=DE , AF / BC,/ 1 = / 2, rZl=Z2在 4AEF 和 4DEC 中，ZAEF=ZDEC， LAE二DEAFEA DCE (AAS ), AF=DC ;(2)证明：.D是BC的中点，DB=CD= IBC,2 AF=CD ,AF=DB , AF / BD , 四边形AFBD是平行四边形，

13、 . / BAC=90 °, D 为 BC 中点，AD=-CB=DB ,2四边形AFBD是菱形.BD C6.二.对角线 BD平分/ ABC ,1 = /2, 四边形ABCD是平行四边形，AB / DC ,./ 3= / 1, / 3=Z 2,DC=BC ,又四边形 ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形.7. (1) .三角板ABC中，将三角板沿着 AB所在直线 翻转180°得至UABF, ABC ABF ,且/ BAC= / BAF=30 °, ./ FAC=60 °,AD=DC=AC ,又. ABC EFC,CA=CE ,又. / ECF=60

14、°,AC=EC=AE ,AD=DC=CE=AE ,，四边形ADCE是菱形；（2）证明：由（1）可知：ACD, AFC是等边三角形， ACBAFB , ./ EDC=/BAC=/FAC=30°,且4ABC 为直角三角2形，bc=1ac,2 EC=CB ,EC=-AC ,2 .E为AC中点， DEXAC ,AE=EC , AG / BC,/ EAG= / ECB , / AGE= / EBC ,AEGA CEB ,AG=BC , （7 分） 四边形ABCG是平行四边形， / ABC=90 °,四边形ABCG是矩形8.在 AADE 和 4CDF 中，四边形ABCD是平行

15、四边形，. . / A= / C, DEXAB , DF± BC, ./ AED= /CFD=90 °. 又 DE=DF ,ADEA CDF （AAS） DA=DC ,平行四边形ABCD是菱形9. （1） .在？ADFE 中，AD / EF, ，/EHC=/B （两直线平行，同位角相等） EH=EC （已知），丁./ EHC= Z C （等边对等角）， B=/C （等量代换）；（2） DE B BC （已知）， ./ AED= /C, / ADE= ZB. / B=/C,/ AED= / ADE , AD=AE ,?ADFE是菱形.10. 1）证明：. / ACB=90 &

16、#176;, ACXEC.又 EGXAB , AE是/ BAC的平分线， .GE=CE.在 RtAAEG 与 RtAAEC 中，GERE , tAE=AE RtAAEG RtAAEC （HL）;（2）解：4CEF是等腰三角形.理由如下：.CD是AB边上的高， CDXAB .又 EGXAB ,EG / CD, ./ CFE= Z GEA .又由（1）知，RtAAEGRtAAEC,/ GEA= / CEA , ./ CEA= / CFE,即/ CEF=/CFE,CE=CF ,即ACEF是等腰三角形；（3）解：四边形 GECF是菱形.理由如下： ,由（1）知，RtAAEG RtAAEC ,则 GE=

17、EC;由（2） 知，CE=CF,GE=EC=FC .又 EG / CD,即 GE / FC,，四边形GECFR是菱形.11. D、E、F分别是ABC三边的中点,deXIac , ef=Oab ,22四边形ADEF为平行四边形.又 AC=AB , DE=EF .，四边形ADEF为菱形.12. M> E、分别为 AD、BD、的中点，ME / AB , ME=-AB ,2同理：FH/AB, FH=AaB , 2四边形MENF是平行四边形，M . F 是 AD , AC 中点，MF=-DC,2 AB=CD , MF=ME ,四边形MENF为菱形13. AE 平分/ BAD , ./ BAE= /

18、 DAE ,（1 分）在ABAE和ADAE中，rAB=AD，ZBAS=ZDAE，,AE=AEBAE DAE （SAS）分）BE=DE ,（3 分） AD / BC, ./ DAE= Z AEB ,（4 分） ./ BAE= / AEB , . AB=BE ,（5 分）AB=BE=DE=AD ,（6 分） 四边形ABED是菱形.M0 / AC , NO / AB ,且 MO= -AC=AN ,2NO=1AB=AM （三角形中位线定理）， AM=MO=AN=NO ,四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15.证法一：: AD XBC,/ ADB=90 °, / BAC=90

19、°,/ B+/ BAD=90 °, / BAD+ / CAD=90 °, ./ B= Z CAD , CE 平分/ ACB , EFXBC, Z BAC=90 ° （EAXCA）, . AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等）， CE=CE ,，由勾股定理得：AC=CF ,. ACG 和 4FCG 中rAC=CF NACG:/FCC ,ACGA FCG, ./ CAD= / CFG, . / B= Z CAD , ./ B=Z CFG,GF/ AB ,AD ±BC, EF± BC,AD / EF,即 AG / EF, AE /

20、 GF, 四边形AEFG是平行四边形， AE=EF ,，平行四边形 AEFG是菱形.证法二：- AD ±BC, Z CAB=90 °, EF± BC, CE 平分 Z ACB ,AD / EF, / 4=Z 5, AE=EF ,1 .Z 1=180 - 90°-/ 4, / 2=180 - 90° - Z 5,1 = /2,. AD / EF, / 2=Z 3,2 = /3,AG=AE , AE=EF , AG=EF ,. AG / EF,四边形AGFE是平行四边形， AE=EF ,，平行四边形 AGFE是菱形.16. CD / AB ,/ F

21、MC= / FAN ,./ NAE= / MCF （等角的余角相等），在4CFM和4AEN中，rZF=ZE< CF=AE ,i ZFCM=ZEANCFMAAEN （ASA）,CM=AN ,四边形ANCM为平行四边形，在AADM和4CFM中，二Nf，Zdia=Zcmf ,lad=cfADM CFM （AAS）,AM=CF ,，四边形ANCM是菱形17.四边形BMDN是菱形. AM / BC , ./ AMB= / MBN , BM / FN ./ MBN= / BNF , ./ AMB= / BNF ,又. / A= / F=90 °, AB=BF ,ABM BFN ,BM=BN

22、 ,同理，EMD0CND,(8DM=DN , ED=BF=AB , / E=/A=90°, Z AMB= / EMD,ABM EDM ,BM=DM ,MB=MD=DN=BN ,四边形BMDN是菱形18.如图，由于DE / AC , DF / AB ,所以四边形 AEDF 为平行四边形. DE / AC , .3=/ 2,又/ 1 = /2,1 = /3,.AE=DE, 平行四边形 AEDF为菱形.方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形. 分）又 EFXAC , （9 分） 四边形AFCE为菱形21 . （1）四边形BEDF是菱形.在ADOF和ABOE中，/ FDO= / E

23、BO , OD=OB , / DOF= / BOE=90 °, 所以DOFA BOE , 所以OE=OF.又因为 EFXBD , OD=OB ,所以四边形BEDF为菱形.（5分）(2)如图，在菱形 EBFD 中，BD=20 , EF=15, 则 DO=10, EO=7.5 .由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 .即.!.M25XAD19. EF是BD的垂直平分线,EB=ED , ./ EBD= ZEDB .BD是 ABC的角平分线， ./ EBD= ZFBD . ./ FBD= ZEDB , ED / BF.同理，DF/BE, 四边形BFDE是平行四边形.又 EB=ED

24、, 四边形BFDE是菱形.20.方法一：: AE / FC. ./ EAC= ZFCA . （2 分）又. / AOE=/COF, AO=CO , AOEA COF. （5 分）EO=FO .又 EFXAC ,AC是EF的垂直平分线.（8分）AF=AE , CF=CE ,又 EA=EC , AF=AE=CE=CF .，四边形AFCE为菱形.（10分）方法二：同方法一，证得 AOECOF. （5分） AE=CF .四边形AFCE是平行四边形.（8分）又EF是AC的垂直平分线， EA=EC ,，四边形AFCE是菱形.（10分）S 菱形 ebfdEF?BD=BE ?AD , 2所以得AD=12 .根

25、据勾股定理可得 AE=3.5 ,有AB=AE+EB=16 由 2 (AB+AD ) =2 (16+12) =56,故矩形ABCD的周长为5622.二.四边形ABCD是平行四边形， AF / BE,又 EF / AB ,四边形ABEF为平行四边形， AE 平分/ BAF , ./ BAE= / FAE,/ FAE= / BEA ,/ BAE= / BEA , BA=BE ,，平行四边形ABEF为菱形23. (1)证明：在矩形 ABCD中， AB / CD,/ BAC= / DCA ,又/ CAE= / ACE, / ACF= / CAF , / EAC= / FCA .AE / CF.四边形AE

26、CF为平行四边形，又/ CAE= / ACE, AE=EC .?AECF为菱形.(2)设 BE=x,贝U EC=AE=8 - x, 在 RtAABE 中， ab2+be2=ae2, 即 4 +x = (8 - x) .解之得x=3 ,所以EC=5,即 S 菱形 aecf=EC >AB=5 >4=20 .24.四边形AFCE是菱形，理由是:四边形ABCD是平行四边形，AD / BC, . L ? . CO F0AO=OC ,.OE=OF,四边形AFCE是平行四边形， EFXAC ,，平行四边形AFCE是菱形25. (1) AC与EF互相平分，连接 CE, AF , 平行四边形 ABC

27、D ,AB / CD , AB=CD ,又 BE=DF , . AB+BE=CD+DF ,AE=CF ,AE / CF, AE=CF , 四边形AECF是平行四边形， AC与EF互相平分；(2)条件：EFXAC, EFXAC ,又四边形AECF是平行四边形，平行四边形 AECF是菱形.26. AB=DC AC=BD BC=CB , ABCA DCB ,/ DBC= / ACB ,BE=CE ,又一/ BEC的平分线是 EF, EO是中线(三线合一)，BO=CO ,四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分)，又 BE=CE , ，四边形BFCE是菱形.27. (1)证明：. CF/BE, . EBD= / FCD,D 是 BC 边的中点，贝U BD=CD , / BDE= / CDF, . BDEACDF .(2)如图所示，由(1)可得CF=BE,又CF/ BE,所 以四边形BECF是平行四边形；(3)AABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD XBC,又(2)中四边形为平行四边形， 所以可判定其为菱形.28.