纠错编码技术实验指导书

1、纠错编码技术实验指导书昆明理工大学信息工程与自动化学院通信工程实验室2010年12月实验线性分组码的编码与译码一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码的编码原理2、通过实验掌握线性分组码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置线性分组码或汉明码的参数，计算所设计出的线性分 组码或汉明码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。三、实验设计原理1、线性分组码的定义将信源的输出序列分成长为k的段u = (ukukqu1u0),按一定的规则 将u =(Uk,Uk”UiUo)编为长为n的码字(码符号序列) c=

2、(OnqqCiCo)(n Ak)。码字共有n位，其中k位为信息位，n-k位为校 验位，假设共有M个消息序列，则对应的M个码字的集合心,Cm)称 为一个(n,k)分组码，记为C。在上述分组码中，若u与c的对于关系是线性的，则称为线性分组码。(3-1)对应的码字为-gjg2石11g1n I(3-4)2、生成矩阵和校验矩阵(1)生成矩阵根据线性分组码的定义，可以得出如下所述的一种构成线性分组码 的方法。在(n,k)线性分组码中，假设消息序列分别为U1 =(100000)U 2 =(0100 00)U 3 =(001000)Uk=(0000 10)U k =(0000 01)这k个消息序列的长度都是k

3、 bit,对应于的码字分别为g1 , g2 ,g3,，gk、gk,均是长度为n的二进制序列。这样，对于任意的消息序列U=(U1，u2,U3,UjUk),都可以用行矩阵表示为:(3-2)nc = " Uigi =(C1, C2, ,Cn)(3-3)Jk1 gkn_为该分组码的生成矩阵，则有c = uG(3-5)生成矩阵G的行是线性独立的，因此，行的线性组合可以用于生成 C中的码字。生成矩阵将是秩为k的kMn阶矩阵，它完整地描述了编码的 过程，有了生成矩阵G ,编码器的结构就很容易确定，即式(3-5)事实 上给出了编码的实现方法。对一个给定的线性码，它的生成矩阵不是唯 一的，因为生成矩阵

4、的行可以有多种选择。生成矩阵G提供了一种简明而有效地表示线性分组码的方法。k父n阶矩阵可以生成2k个码字。因此，我们只需要一个生成矩阵而不需要含 2k个码字的查询表。这对大码的储存空间是极大的节省。(2)校验矩阵为了在接收端进行正确的译码，可以定义一个对应于生成矩阵G的 矩阵H,称为校验矩阵或监督矩阵，满足GHT =0或 HGT =0(36)即生成矩阵G的行与校验矩阵H的行相互正交。由于G是kMn阶矩 阵，故H是(n_k)"阶矩阵，0是一个女父.心阶的全0矩阵。由c = uG和GHT =0得cHT =uGHT =u(GHT) = u0 = 0或 HcT = H (uG)T = HGT

5、uT = 0uT =0(3-7)由于c是1"阶行矩阵，故式中0亦为1Mn阶行矩阵。式(3-7)事 实上给出了译码的实现方法，因为校验矩阵 H是已知的，如果接收到的 码矢与它转置的乘积为0,则说明接收无误，否则说明存在错误。3、线性分组码的译码(1)用标准阵列译码由标准阵列的构成可知，第一行为码矢，从第二行开始，每一列与 本列的第一行元素都只相差一个陪首集。 在标准阵列中出现的qn个矢量 都是可能的错误图案，而陪集首选的是本行中重量最轻的矢量，所以 ?=y+e就是最小距离译码，即最小错误概率译码。接收到y后，到标准阵列中去找（因为qn个矢量全部列在其中，总 可以找到），如果接收到的字是

6、个合法码字，那么可以下结论说没有错 误发生（这个结论可能是错的，就是当噪声把一个合法码字改变成另一 个合法码字时，但它的错误概率很低）。如果接收到的码字是一个禁用 码字时，我们推测发生了错误。译码器则声明陪集首就是错误图样e,然后译码为y+e,这就是在y同一列中最上边的那个码字。因此，我们 把接收到的字译为包含该字的列的最上边的那个码字。（2）译码表译码我们可以将标准阵列译码和伴随式译码结合起来简化成更为实用的译码表，译码表保留了标准阵列中的 2n个可纠正错误图样ej （陪集 首）与其伴随式s=HeT之间的一一对应关系，译码器存储该表后，在译 码时就可以查表实现从伴随式到错误图样的转换。用译码

7、表译码，译码正确的概率与陪集首的选择有关。根据最大后 验概率译码准则，重量最轻的错误图样产生的可能性最大，所以应该优 先选择重量小的n重作为陪集首。这样构造的译码表，使得ej+G与G之 间的距离最小，从而使译码器能以更大的正确概率译码，这就是最小距 离译码。4、汉明码汉明码是1951年由汉明（R.W.Hamming）提出的能纠正单个错误的线性分组码。它性能良好，既具有较高的可靠性，又具有较高的传输 效率，而且编译码电路较为简单，易于工程实现，因此汉明码在发现后 不久，就得到了广泛的应用。我们的目的是要寻找一个能纠正单个错误，且信息传输率（即码率 r=k/n）最大的线性分组码。我们已经知道，具有

8、纠正单个错误能力的线 性分组码的最小距离应为3,即要求其H矩阵中至少任意两列线性无关。 要做到这一点，只要H矩阵满足“两无”一一无相同的列，无全零列就 可以了。（n, k）线性分组码的H矩阵是一个=父。阶矩阵，这里 r =n-k是校验元的数目。显然，r个校验元能组成2r列互不相同的r重 矢量，其中非全零矢量有2r -1个。如果用这2r-1个非全零矢量作为H矩 阵的全部列，即令H矩阵的歹I数n=2,-1 ,则此H矩阵的各列均不相同， 且无全零列，由此可构造一个纠正单个错误的（n, k）线性分组码。同时，2r-1是n所能取的最大值，因为如果n a 2r-1,那么H矩阵的 n列中必会出现相同的两列，

9、这样就不能满足对 H矩阵的要求。而由于 n=2r -1是n所能取的最大值，也就意味着码率 R取得了最大值，即Rn=1 - =1nr2r -1（3一18）这样设计出来的码是符合我们的要求的，这样的码就是汉明码定义 若H矩阵的列是由非全零且互不相同的所有二进制r重矢量组成，则由此得到的线性分组码，称为 GF（2）上的（2-1, 2r-1-r）汉 明码。表3-9列出了几种r取不同值时汉明码的（n = 2-1, k = 2-1-r）表3-9几种汉明码的(n, k)值rn =2-1k = 2-1 -r11023137441511531266127121例3-19二元(7, 4)汉明码的生成矩阵为 110

10、 10 0 0 0 1 10 10 0 G = 0 0 110 10 J0 0 0 1 10 1-相应的校验矩阵为1 0 1 110 0H = 0 1 0 1 1 1 09 0 1 0 1 1 1 _观察到该校验矩阵的列由(100), (010), (101), (110), (111), (011), (001)构成，这7个是所有长为3的非零二元向量，很容易可 以得到一个系统汉明码。该校验矩阵 H可以被安排成如下的系统型： 1110 10 0H =卜 1 1 1 0 1 0 = L pT | JJ101001j于是该二元汉明码的生成矩阵的系统型为1 0 0G = IP=|0 10 0 0 1

11、p000 10 10 1110 11010 11例3-20 取r=3,构造GF(2)上的(7, 4)汉明码 当r=3时，有7个非全零的三重矢量：(001), (010), (011), (100), (101), (110), (111)构成矩阵0001111H = 01100111010101 _由此得到一个能纠正单个错的(7,4)汉明码。若码字传输中左 边第一位出错，则相应的伴随式s = (001)就是H矩阵的第一列，也正好是 “1的二进制表示。同理可知，无论哪一位出错，它对应的伴随式就是 该位的二进制表示，故译码十分方便，特别适用于计算机内部运算和记 忆系统中的纠错。如果要得到系统码形式

12、的H矩阵，只需对上述矩阵进行初等变换交 换列即可1110 10 0H = 1 10 10 1 0相应地，生成矩阵G为一100-0010000100 1110 1100 10 110 11J 0 11001-由此构成的(7,4)汉明码如表3-3所示表3-3(7, 4)系统码信息组码字000000000000001000101100100010101001100111100100010011001010101101011001100110111011100010001000111100110011001010101001010111011001110011000011101110101011101

13、11010011111111111四、完成实验报告1、实验目的2、实验内容3、给出产生线性分组码或汉明码的源程序，并给出运行结果，要求 得到所有码字。4、搭建一个完整的通信仿真模块，并给出运行结果，分析线性分组 码或汉明码对通信性能的影响；5、总结实验遇到的问题及解决方法。实验二循环码的编码与译码一、实验目的1、通过实验掌握循环码的编码原理2、通过实验掌握循环码的译码原理3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置循环码或 BCH码的参数，计算所设计出的循环码或BCH码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单，并作注释。三、实验设

14、计原理1、循环码的定义一个(n, k)线性分组码C,若对任意c = (a，g2，3wC,将码矢 '中的各码符号循环左移(或右移)一位，恒有 C=C/，Cn.C0，cn)C, 就称C为(n, k)循环码。循环码是一种线性码，因此线性码的一切特性均适合于循环码；但 它的特殊性是其循环性，码字集合或者说码组中任意一个码字的循环移 位得到的序列仍是该码字集合中的码字，即它对循环操作满足封闭性。2、循环码的生成矩阵、生成多项式和监督矩阵(1)循环码的生成矩阵在循环码中，一个“的循环码有2k个许用码组。若用g(x)表示其中 2k前小一1)位皆为“0”的码组，用xg，xg，x g分别表示其 向左移1

15、, 2,，卜-1位的码组(实际上是xjg(x)除以xn+1的余式)，根 据循环性可知：g(x) , xg(x) , x2g(x),，xk'g(x)都是许用码组，而且 这k个码组将是线性无关的。因此，可用它们构成循环码的生成矩阵。其中g(x)又被称为循环码的生成多项式。由此可见，循环码的生成矩阵GkM可以写成Gk n(x)=xkg(x)1xk'(x)(4-5)若 g(x)=gxg(x)g(x)n -k*xgi g0(4-6)(因为前(k1)位皆为“0”)Gk n(x)=gn上0gn _k dgn _kgn _k Jgi g0gi0g。0【0(4-7)0 gn _kg n _k J

16、gig0若用U(x)表示信息多项式，其定义为U (x): uk Nk J ，ux u0(4 8)式中Uk,uiu0表示k个信息比特。由此得到的码组为C(x) =U(x) G(x) J UiUo,k i、，、二 (Uk/x - Fx U0) g(x)xk/g(x)-xg(x)g(x)一(4 -9)上式表明，所有的许用码组多项式都可被 g(x)整除，而且任一次数不大于(k-1)的多项式乘g(x)都是循环码的许用码多项式。且因为C(x)是 一个阶次小于n的多项式，所以由上式可知，g(x)应是一常数项不为0 的(n-k)阶多项式。因为如果常数项为0,则经过右移一位，会得到一个 信息位全为0,而监督位不

17、全为0的码组，这在线性码中显然是不可能 的。可以写出此循环码组的多项式表示式:x2g(x) 1C(x)=U(x) G(x) =a6a5a4，xg (x)-g(x)-22= aexg(x) a5xg(x) a4g (x)=(aexa5x a4)g(x)(410)上式表明，所有码多项式都能够被g(x)整除，而且任意一个次数不 大于(k 一1)的多项式乘以g(x)都是码多项式。(2)生成多项式由式(4-10)可知，任意一个循环码多项式C(x)都是g(x*q倍式, 故它可以写成:C(x) =U(x) g(x) (4 -11)而生成多项式g本身也是一个码组，即有, 1C (x) =g(x) (4 -12

18、)'k '由于码组C (x)是一个一2次多项式，故xC(x)是一个n次多项式。k 'n由式(4-12)可知，xC(x)在模口十。运算下也是一个码组，所以有:k 'xkC (x)n ax 1Q(x)等x 1(4 -13)上式左端分子和分母都是n次多项式，故相除的商式Q(x) = 1。因此,上式可以写成:xkC'(x) =(xn 1) C(x)(4 -14)将式(4-11)和式(4-12)代入上式，经过化简后得到:xn 1 =g(x)xk U(x)(4 -15)式(4-15)表明，生成多项式g(x)应该是(xn+。的一个常数项不为0的阶次为(nk)次的因子。

19、例如，xn+1当n=7时因式分解为:(4-16)x71 = (x 1)(x3 x2 1)(x3x 1)构成如表4-2所示的（7，k）循环码。(n,k)g(x)(7,6)x +1(7,4)x3 + x2 +1或*3 +x +1(7,3)(x +1) (x3 +x2 +1)或(x +1) ( x3 + x +1)(7,1)(x3 + x2 + 1) ( x3 + x + 1)时，可写出（7, 4）循环码的生成矩阵如下53x x表4-2 x7 +1因式分解构成的循环码当 g(x) = x3 x2 1-x6G(x)=x3g(x)2x g(x)xg(x). g(x) 一5x4 x42x x3x x一11

20、010001 0110100 10011010-0001101-为了求出（7, 3）循环码的生成多项式g（x）,需要从上式中找到一个5-2=4次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即:(4-17)(4 -18)(x 1)(x3x21) = x4x2 x 1 (x 1)(x3 x 1) = x4 x3 x2 1以上两式都可以作为生成多项式。但是，选用的生成多项式不同，产生 的循环码的码组也不同。（3）循环码的监督矩阵-xk，g(x)xk“g(x)xg(x):.g(x)项式g(x)能除尽xn十1 (因为它是xn+1的一个因子，且可表示为g(x) =g-xn " +gx +go ,且 go

21、=1),因止匕有式(4-5 ) Gk>n(x)=给出了循环码的生成矩阵，由于生成多xn 1 = g(x)h(x) (4-19)由于式(4-19)是循环码许用码组必需要满足的监督关系，因此h(x)称为监督多项式，且h(x) = hkxk + h1x + h0。由式(4-19)可知，必定有gn ± hk =1g0 h0 =1g1 h0 - g0 h1 =0g2 h0 g1 % g0 h2 =0gnh°gnN ，. gn“ hk. g0 hn.=0因此可确定监督多项式的系数，而H.完全由监督多项式h(x)的系数确定，因为GHT=0, r=n-k。由此可得循环码的监督矩阵为H

22、rn-0h1h00h1h0h1hkhk0hkhkh000hkh1-hk000hk(4-20)3、循环码的译码我们知道，循环码任一许用码多项式 C(x)都能被生成多项式g(x)所 整除，所以接收端只需将接收到的码多项式C'(x)用生成多项式g(x)去除。若余式为0 (被生成多项式整除)，说明传输过程中未发生错误；若 余式不为0 (没有被生成多项式整除)，则说明传输过程中发生了误码。 因此可以用余式是否为零来判断码组中有无差错。需要说明的是，当一许用码多项式错成另一许用码多项式时，它也能被g(x)所整除，这时的错码就不能被检出了，这种错误称为不可检错误。在接收端如果需要纠错，则采用的译码方

23、法要比检错时复杂很多， 为了能够纠错，要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定的余式有一 一对应关系，这样才可能从上述余式中唯一地确定其错误图样，从而纠 正错码。如同其他线性分组码，循环码的纠错译码也可以分为以下三步 进行。1 .由接收到的码C'(x)计算校正子(伴随式)多项式r'(x)。对于循环码而言，校正子多项式就是用接收到的码多项式 C'(x)除以 生成多项式g(x)所得到的余式，即r'(x)=C'(x)modg(x)2 .由校正子多项式r'(x)确定错误图样E(x)。3 .将错误图样E(x)与接收码多项式C'(x)相加，即可纠正错误

24、恢复原 发送码组。4、BCH 码BC喇是线性循环分组码中功能最强大的一种。 它是1959年由发现 这种码的三个人是名字(Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)来命名。它的 生成多项式g(x)与最小码距喘口之间有密切的关系，可根据所要求的纠 错能力t,很容易地构造出BCH码，且其译码也比较容易实现。由于它 具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也教容易实现等一系列优 点而被广泛采用。BCFK可分为两类：本原 BCFK和非本原BCFK。本原BCFK的码长为n =2m -1 ( m为正整数)，它的生成多项式g(x)中含有最高次数为m次 的本原多项式；非本原BCHK的码长n是2m-1

25、的一个因子，它的生成多 项式g(x)中不含有最高次数为m次的本原多项式。对本原BCHK的定义，可以直接从其生成的角度来定义。定义 令为GF(2m)中的本原元，若多项式g(x)是以，口2,6,， 1t为根的GF(2)上的最低次多项式，则由它生成的码长为2m 一1、纠正t个 错误的码元为二元本原BCFKo由上述定义可知，BC删是循环码中的一类，因此它具有分组码、 循环码的一切性质；但它明确地界定了码长、一致校验位数目、码的最 小距离，从而可以看出它的性能较好，在同样的编码效率情况下，纠、 检错的能力均较强；它特别适合于不太长的码，故在无线通信系统中获 得广泛应用。另外，BCHK也是现阶段比较容易实

26、现的一种码。1) BCH码的生成多项式g(x)由定义可知，二元本原Bcnm的生成多项式g(x)的全部根为口，支2, 6 ,，口 2t及其共钝根组，令m(X)是小的最小多项式，则有g(x) = LCM mi(x),m2(x),m3(x), ,m2t (x)LCM表示取最小公倍式。在GF(2)上，由于62i与"具有相同的最小多项式，所以有g(x)=LCMmi(x),n(x), ,m2t(x)(4 -28)二元本原BCFK的参数为：(1)码长 n=2m-12) ) 一致校验位数目为r=n-(3)最小距离为dm- -2t+1(4)纠错能力为t由于BCHK是循环码，所以它的编码可用前面讨论的循

27、环码生成技 术来简单地实现。即只要给定生成多项式 g(x),利用下面步骤就可得到具有系统码形式的BCH马:(1)首先利用xn”乘以信息码多项式U(x)；(2)然后再用g除xU，得到商式P(x)和余式r(x),即xn'U(x) ”(x) . r(x) g(x)g(x)n k(3)最后编出码组 c(x)=U(x)，x +r(x),、44、例4-8 考虑由P(x)=x +x+1为本原多项式而生成的GF(2)域，其本原元为a ,试求可纠正1个错、2个错、3个错的BCFK的生成多项式。44、对于由本原多项式p(x)=x +x+1生成的GF(2),可以求出其所有元素的最小多项式，即-2.4.84-

28、,-,-x x 136912432不，：，：，：x x x x 15102,，：x x 1711131443,二，：，：，：x x 14,(1)对于 t=1, n = 15,有 g(x) = LCMmi(x) = x +x+1 即BCH(15, 11, 1)的生成多项式为g(x) = x4+x+1。对于t=2, n=15,有g(x) = LCM m1(x)m3(x) = (x4 x 1)(x4 x3 x2 x 1)8764=x x x x 18 7 6 4即BCH(15, 7, 2)的生成多项式为g(x) = x+x +x +x+1。(3)对于 t=3, n=15 ,有44322g(x) =

29、LCM m1(x)m3(x)m5(x) = (x x 1)(x x x x 1)(x x 1) 108542=x x x x x x 1 108542即 BCH(15, 5, 3)的生成多项式为 g(x) = x +x +x +x +x +x + 1o用这种求几个最小多项式乘积的方法来求生成多项式，数学模型清晰，计算较为简单。2. BCH码的校验矩阵若口、S3、口2是二元本原BCH码的生成多项式g(x)的根，则 由于码字多项式c(x)是生成多项式的倍式，故 "2也必是码字多项式c(x)的根，即Cn 式：i)n,Cn/(：V G(： i)1 Co =0 i =1,3, ,2t -1n

30、1n J2ota/3、n/3 n -2(a )(a )、/ 2t/、n/ 2t、nJ«)(a)写成矩阵形式为1:31a" 1 一 一C。由于HCT =0 ,故码的校验矩阵为n -1n -2/:：1/ 3、n4/ 3、nJ23/| (a )(a )a1H =:(a2t)n，("/”/' 1在H矩阵中，GF(2m)上的每个元素ui(i'3217),可用二进制m 表示，因此H矩阵至多只有mt行，说明码的校验元至多只有 mt个。例4-9 例4-8中对于t = 2, n=15,生成BCH(15, 7, 2)码，其校验矩阵为1442141213 Ot39Ot1

31、3 a9 Ot12 Ot36Ot12 a6 an-1I a33nH = 3）n/ 2t（二）11 a33 Ot11 a3 Ot10 ot30Ot10 Ct0 a用二进制4重表示H矩阵中的9 Ot27 a9 Ot12 a：- i8 Ot24 a8 a9Ot得7 a21 a7a6Ot6 Ot18 Ot6ao ot5 Ot15 Ot54 a12 Ot4 a12 a3 Ot9 a3Ot9 Ot2 Ot6 Ot2Ot6Ot1Ct3Ot:110f31 一110 10 111110 10 0 1 0 0 0 10 110 0 100 11 1H =1 01 11 11 10 00 01 01 110 100

32、 10 1110 00 1100 10 10 111110 0 10 01001000011000100110000 0 10 10 010 111103、BCH码的译码BCH译码方法大体上分为“频域译码”和“时域译码”两大类所谓“频域译码”，就是把每个码组看成一个数字信号，将接收到的信 号进行离散傅氏变换(DFT ,然后利用数字信号处理技术在“频域”内 译码，最后，再进行傅氏反变换得到译码后的码组。“时域译码”则是在时域上直接利用码的代数结构进行译码。一旦它的代数基础建立起 来，译码器就会很简单。时域译码的方法很多，这里只简单介绍彼得森 译码方法的基本思路。在彼得森译码中，仍然采用计算校正子

33、，然后用 校正子寻找错误图样的方法，其译码基本思路如下：(1)用生成多项式的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余,得到t个余式，称为“部分校正子”或“部分伴随式”(2)通过下列步骤确定接收多项式中码错误的位置；首先根据“部分校正子”确定错误位置多项式；然后解出多项式的 根，由这些根可直接确定接收多项式中错误的位置。(3)纠正接收多项式中的错误。四、完成实验报告1、实验目的2、实验内容3、给出产生循环码或 BCH码的源程序，并给出运行结果，要求得 到所有码字。4、搭建一个完整的通信仿真模块，并给出运行结果，分析循环码或 BCH码对通信性能的影响；5、总结实验遇到的问题及解决方法。实验参考实例1

34、、利用库函数(encode)来实现编码语法：code=encode(msg, N, K, method, opt);说明：这个函数可完成六种主要的差错控制编码：汉明码、线性分 组码、循环码、BCH码、R-S码和卷积码。Msg是信息；method注明编码方式；N是码字长度；K是信息位的长度；opt是有些编码方式需要的参数，具体含义见下表。encode函数的参数用法method含义opt'haming '汉明编码可用来指定一个原始多项式，如省略，则使用默认多项式linear'线性分组码opt必须指定一个校验矩阵Cyclic'循环他必须指定一个生成多项式bch'

35、;BCH码可用来指定一个生成多项式，如省略，则使用默认生成多项 式例：msg=randint(1,40);%生成一行40列的信息序列code=encode(msg,7,4, 'hamming' );% 进行汉明编码2、利用生成矩阵实现编码例：已知G =一100.001000 10 10 10 1110 00 0 11110 , u=1 0 1 1,11求c。G=1 0 0 1 0 1 1；0 1 0 1 0 1 0；0 0 1 1 0 0 1；0 0 0 0 1 1 l；%k 成矩阵u=1 0 1 1;%信息码字c=rem(u*G,2);% 生成码字disp(c) 101010

36、13、利用通信工具箱仿真模块( Communications Blockset )实现编码GeneratorLinear Encoder线性分组码的产生模块参数设置如下：Bernoulli Binary GeneratorBinary Linear EncoderParaihet etsGenerator mat rix Cbinarr KbyaN mratriz):To workspaceParametersVariable naime:EimoutLindt data points to last: infDecimations 1Sample t(T for inherited): -1

37、S&ve format: ArrayVLoe fised-poiM dat右行与 a fi object在命令窗口看到的运行结果为(输出序列长短与运行时间有关)：>> simouiCans *Calumns 1 LhrDugji IBlOjOOlJJOlOOJlllCaluans 19 throigli 2E00100 J .11 O 14、利用m文件来实现编码以下是产生（7, 4）汉明码的程序function f=haniDiing&fLCod (a)G1 0 0 0 1 0 J :0 1 0 0 J 1 1 0 0 J 0 1 1 0:0 0 0 1 0 J 1:陶 E4) 汉明码的生成矩阵 inpmL C输入。或L'：肌=D则产生7.。汉明码，产1则对输入，序列进行编码if