线段和差最值问题

1、实用标准文案精彩文档专题一.线段和(差)的最值问题【知识依据】1线段公理一一两点之间，线段最短；2对称的性质一一关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线;3.三角形两边之和大于第三边；4.三角形两边之差小于第三边； 5、垂直线段最短。一、已知两个定点： 1、在一条直线 m上，求一点 P,(1)点A B在直线m两侧：A 0 mB (2)点A B在直线同侧： AB * mA A 是关于直线m的对称点。 2、在直线m n上分别找两点P (1)两个点都在直线外侧：A ea. B使PA+PB最小；A .%A mP *BA： M /；m m:/ P /|辛1*Z A、Q

2、使 PA+PQ+Q鼠小。A m- mn nQ、g7、B实用标准文案(2) 一个点在内侧，一个点在外侧:精彩文档(3)两个点都在内侧:(4)、台球两次碰壁模型变式一：已知点A B位于直线m,n的内侧，在直线nABm变式二：已知点A位于直线m,n的内侧，在直线mr n分别上求点P、Q点PA+PQ+Q楠长最短.nAmA实用标准文案二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PBiyJ、（在图中画出点 P和点B）1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧:A（二）动点在圆上运动：点B在O。上运动，在直线 m上找一点P,使PA+PBM小（在图中画出点 P

3、和点B）1、点与圆在直线两侧:2、点与圆在直线同侧:A实用标准文案三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点, 使彳导PA+PQ+Q的值最小。(原理用平移知识解)(1)点A B在直线m两侧:A. m精彩文档过A点作AC/ m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。(2)点A B在直线m同侧：AE四、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边 )1、在一条直线 m上，求一点 P,使PA与PB的差最大;(1)点A B在直线m同侧:(2)点A B在直线m异侧：AD

4、*m B过B作关于直线 m的对称点B,连接AB交点直线 m P,此时PB=PB , PA-PB最大值为AP最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和(差)问题，要归归于几何模型：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.n.典型例题剖析一归入“两点之间的连线中，线段最短”I .“饮马”几何模型：条件：如下左图， A B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使P知PB的值最小.模型应用：1 .如图，正方形 ABCD勺边长为2, E为A

5、B的中点，P是AC上一动点.则 P/PE的最小值是 .2 .如图，。的半径为2,点A、R C在O O上，OALOB / AOC60 , P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ,/ BA3J平分线交BC于点D, M N分别是AD和AB上的动点，则3 .如图，在锐角 ABC, AB= 42, Z BAC= 45BMMN勺最小值是第3题第4题4 .如图，在直角梯形ABCW,/ABO 90 ,AD/BC,AD= 4,AB= 5,BC= 6,点P是AB上一个动点，当PO PD的和最小时，PB的长为.5 .如图，等腰梯形 ABC珅，AB= AD= CD= 1, Z ABC= 60 , P是上底，下底中

6、点 EF直线上的一点，则 PA+PB的最小 值为.6.如图，MN半彳全为1的。O的直径，点 A在OO, Z AMN= 30 , B为AN弧的中点，P是直径MNh一动点，则 PA第5题第6题第7题7 .已知A(-2, 3), B(3 , 1), P点在x轴上，若 PA+ PB长度最小，则最小值为 .若PAPB长度最大，贝U最大值为 .28.已知：如图所不，抛物线 y= x+bx+c与x轴的两个交点分别为 A(1 , 0), B(3 , 0).实用标准文案实用标准文案(1)求抛物线的解析式；(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件Sapab= 1的点P有几个？并求出所有点 P的坐标；(3)设抛物线

7、交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M使彳MA MAC勺周长最小？若存在，求出点 M的坐标;精彩文档n .台球两次碰壁模型已知点A位于直线mi n的内侧，在直线 mi n分别上求点P、Q点，使PA+PQQ颂长最短.变式：已知点A B位于直线 m n的内侧，在直线 m n分别上求点 D E点，使得围成的四边形ADE明长最短.模型应用：1.如图，/ AOB45 , P是/ AO的一点,PG10, Q R分别是 OA 0时的动点，求PQ函长的最小值.2.如图，已知平面直角坐标系，A, B两点的坐标分别为 A(2, 3) , B(4, 1)设M N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点

8、Mm 0) , M。，n),使四边形ABMN1周长最短？若存在，请求出m=, n = (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.IIIIIII-2-10D 12345X-1r*5中考赏析:精彩文档1 .著名的恩施大峡谷（A和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50kmr B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为 P）, P到A、B的距离之和S = P- PB图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是 A,连接BA交直线X于点P）

9、, P至IJA、B的距离之和S2=P/V PB（1）求S、S2,并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请彳在X旁和Y旁各修建一服务区 P、Q使P、A、R Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.2 .如图，抛物线y=5x2 枭+3和y轴的交点为A,M为OA勺中点，若有一动点P,自M点处出发，沿直线运动到xF）,最后又沿直线运动到点A,求使点P轴上的某点（设为点 E）,再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 运动的总路程最短的点 E,点F的坐标，并求出

10、这个最短路程的长.m.已知AB是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两实用标准文案点，使得PA+PQQB的值最小.(原理用平移知识解)(2)点A B在直线m同侧:(1)点A B在直线m两侧：模型应用：轴交于点B.1.如图，抛物线y = ；x2x错误！未指定书签。+2的顶点为A,与y(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA- PB AB(3)当PA- PB最大时，求点 P的坐标.2.如图，已知直线 y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,2抛物线y= 1x2+bx+c与直线交于 A、E两点，与x轴交于B C两点,

11、2(1)求该抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上找一点且B点坐标为(1 , 0).M使|AMk MC的值最大，求出点 M的坐标.3 .如图，直线y = *x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B,点A为y轴正半轴上的一点，O A经过点B和点O 精彩文档实用标准文案直线BC交O A于点D.(1)求点D的坐标；P,使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求(2)过O C, D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 出这个最大值和点 P的坐标.若不存在，请说明理由.精彩文档4 .已知：如图，把矩形 OCB傲置于直角坐标系中， OC= 3, BC= 2,取AB的中点M连接MC把 MB加x轴的负方

12、 向平移OC的长度后得到 DAO(1)试直接写出点 D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点 P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQLx轴于点Q连接OP若以O P、Q为顶点的三角形与 DAO似，试求出点 P的坐标；(3)试问在(2)抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得1Td明 的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由.y*,.归入“三角形两边之差小于第三边”实用标准文案1 .直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点 A (4,-1)、B (3, 4)的距离之差最大，则P点的坐标是 .2 .已知A、B两个村庄的坐标分别为 (2, 2) , (7, 4),

13、一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车 (点P)的位置：(1)求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A B两村距离之差最大？(2)汽车行驶到什么点时，到 A B两村距离相等？1 v月(7,4 )/卜 OP好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABC里的一点，求P/PB+ PC的最小值.精彩文档例题：如图，四边形 ABCD1正方形， ABE等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN连接EN AM CM(1)求证： AM摩 ENB(2)当M点在何处时，A叫CM勺值最小；当M点在何处时，AMT BMF CM的值最小，并说明理由；(3)当AM BMF CM的最小彳