极坐标与参数方程例题示范(分题型)

1、极坐标与参数方程例题示范（分题型）极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高 考考试说明，归纳总结为四类题型。题型一。极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。八 I K C公皿、TL ， 'X = -3 +t，公皿，- 一1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数万程为,（t为参数），以。为极点，xj=1-1轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为：, 2 cos 1 - 0 .（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（P >0,0 <e <2n ）.试题解析

2、：（1）由P +2cos日=0得P = 2cos日，两边同乘以 P,得x2+y2 =2x；一一、<'x = -3+t、（2）由直线l的参数方程为J（t为参数），得直线的普通方程为 x + y + 2 = 0 ,J=1-1 x = -1 , x = -2 , l 5n ,联立曲线C与直线l的方程得， 或，化为极坐标为（/2,"5）或（2,冗）.y = -1y = 04考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化考点：PcosH =x, Psin 日=y , P2=x2+y2.、33 .V32.在极坐标系中，设圆 C经过点P v3,圆心是直线ssin

3、一日 =与极轴的交点，求圆 C的极坐标方程.试题解析：二n） 3V3 ：法一： P V3,一 转化为直角坐标为：一,<6）22. 2 ）直线Psin f-9= Y3的直角坐标方程为：J3xyJ3 = 0<322它与x轴的交点也就是圆心为 (1,0)10所以r =2所以圆的方程为(x1 )2 + y2 =1 ,得x2 + y2 2x = 0所以，圆的极坐标方程为：=2cosi法二：因为圆心为直线 Psine )=sin2与极轴的交点，所以令 日=0,得P = 1,即圆心是1,0又圆C经过点P'J3，B二,圆的半径r ="3+12j3cos： =1 ,二圆过原点，二圆

4、C的极坐标方程是 P = 2cos e .考点：(1)转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；(2)先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程.题型二。曲线(圆与椭圆)的参数方程。(1)普通方程互化和最值问题。“1”的代换(cos29 +sin28 =1 )、三角解决x = 2cos9., 一 3 .已知曲线C的参数方程是,(6为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴、y =sin日 4 二 为极轴建立极坐标系，A, B的极坐标分别为 A(2冗)B(2 ).'''3 (I)求直线 AB的直角坐标方程； (n)设M为曲线C上的点，求点 M到

5、直线AB距离的最大值.试题解析:4 二4 二(I)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cosn,2sin n), B(2cos,2sin),33即"20), B( -1,-73)，kAB=*=亚，直线 AB的方程为 y0 = -V3（x+2）,即志x+y+2，3=0.（n）设M（2cos&sin日），它到直线 AB的距离为2、3cos 1 sin 二 d 2 3 | .13sin(：3 +q)2 3（其中tan <P =2/3),dmax13 2 32考点：1.椭圆的参数方程;2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值.x = _3L2,4.已知曲线C的极坐标方程是P =

6、2sin日，直线l的参数方程是55y=5t（t为参数）.设直线l与x轴的交点是M ,是曲线C上一动点，求 MN的最大值.试题解析：曲线C的极坐标方程可化为'=2Psin8y = Psin x2 +y2 = P2 , x = PcosH ,22所以曲线c的直角坐标方程为x y 2y=0将直线1的参数方程化为直角坐标方程，得y =-4(x -2)3令y =0，得 x =2,即M点的坐标为（2,0）.又曲线C的圆心坐标为（1,0）,半径r =1 ,则|MN |< |MC| +r =V5 + 1法二：设N的坐标为(cos9,1+sin 8 ).所以 |MN | = JcosA2, +(1

7、+sin2)2=-4cos12sin 1 6=2 <5 sin - ：6<.2.5 6K,5 1考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系5.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，t(t是参数)， t+4V2三C的极坐标方程为(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点，求 x + y的取值范围试题解析：(1)直线l的普通方程为x-y+4j2 = 0,曲线C的直角坐标系下的方程为因为圆心国回 I2 2)到直线x-y +472 = 0的距离为d5 1,所以直线l与曲线C的的位置关系为相离

8、.，、22., 八 五， 八、(2)设点 M +cos“十sin 日I22)-2, .2 .( 国)x y = cosi sin r - 2 sin e 考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程6.已知平面直角坐标系 xOy,以。为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,x = 2cos 1Ly - - 3 2sin(0为参数).的极坐标为 (2 声 口， 曲线C的参数方程为6(1)写出点P的直角坐标及曲线 C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点，求 PQ中点M到直线l : PcosS + 2Psin8 +1= 0的距离的最小值.试题解析：(1)点P的直角坐标(3, J3),由- .3

9、2sn,得 x2 +(y+V3)2 =4 ,所以曲线c的直角坐标方程为x2 (y . 3)2 = 4 .(2)曲线c的参数方程为x = 2cos y = 73 2s"(日为参数)，直线i的普通方程为x +2y +1=0,设 Q(2cos 9, -73 +2sin 日),35I _三5则M ( 一 +cos8,sin8)，那么点M到直线l的距离 2|3+cos日+2sin 日+1|V5sin(B+*)、12 22所以点M到直线l的最小距离为5-12考点: 离.1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距(2)公共点问题。联立求解判别式，直线与圆x - 3

10、cos工"sin 二一7.在直角坐标系中曲线 M的参数万程为 2 (u为参y 2 3 sin cos 2sin 22数).若以直角坐标系中的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N的极坐标方程为Psin(0 +：) =t .(1)求曲线M的普通方程和曲线 N的直角坐标方程；(2)若曲线M与曲线N有公共点，求实数t的取值范围.试 题 解 析 ：(1) 由x=J3oc+ots得 sx2 =(6cosot +sinot)2 =2cos2ot +2>/3sinot cosot +1 ,又由 y =26sin。cos« -2sin 2 a +2 得 2A/3sin

11、a cosa = y +2sin 2a -2 ,所以曲线M的普通方程为x2 =y+1 ,即y = x2 1,又易知x w 2,2曲线M的普通方程为y=x21, xL2,2】.由 Psin(日 +) =-t 得 也 Psin 日PcosQ = t42222所以Psin B十PcosO =t，所以曲线N的直角坐标方程为 x + y=t.(2)当直线N过点(2,3)时，与曲线 M有公共点，此时t = 5,从该位置向左下方平行x y 二t 修 2移动直到与曲线 M相切总有公共点，联立 i 得x2 + x -1 -1 = 0 ,y = x2 -1 55 =1+4(1+t),令 1+4(1+t)=0,解得

12、 t =. Wt W5 .，所求实数 t 的取值44范围是J-5,5 IIL 4考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系.8.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为JX=a+J3t, (t为参数).在极坐标系(以 y =t原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系xOy取相同的长度单位)中，圆C的方程为P=4cos8.(I)求圆C的直角坐标方程；(n)若直线l与圆C相切，求实数a的值.试题解析：()由 : =4cosP2 =4 Pcos = x2 y2 = 4x= (x - 2)2 y2 =42 2 2 2圆C的直角坐标方程为

13、(x0 y -4 (或x y -4x -0)；(n)直线l的参数方程为5=2+疝,= x-V3y-a=0, y =t圆C的圆心为C(2,0) ,半径r =2 ,由直线l与圆C相切，得B13=2= a = -2 或 6.考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.= m(mW R),以极点为原点9.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为 J2Psin fe-) ,4x 二 - 3 cos .极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x "3cos (a为参数,y 二 sin 二且：0,二 I).(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线 C的普通方程；(2)若直线l与曲线C有

14、两个公共点，求 m的取值范围.试题解析：(1)由直线l的极坐标方程得：/2 PI sin 6 cos- - cos6 sin m ,44即直线l的直角坐标方程为： y x = m,由曲线C的参数方程! x=囱cos" (a为参数，且 I y = sin :得:2213y2 二八1，。1'2 ) 设曲线 C为 、3cos： ,sin :m = s i -n ,3 c2 I. s： Ji, n直线l与曲线C有两个公共点，,mW J3,2 ).考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换题型三。直线参数方程(t的几何意义)。定点到动点的距离。定标图号联、韦达三定理。10.在直角坐标

15、系、xx2=C aaxOy中，直线l的参数方程为,1忆x =1 -ty-5'2t2,(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为 P =2j5sin日.(1)求圆C的直角坐标方程； 设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(1,J5),求|PA十|PB|.试题解析：(1)由 P = 2Z5sinB,得 x2+y2 275y = 0,即 x2 + (y V5)2 = 5.(2)将l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得(1 亭t)2 +(曰t)2 =5,即 t2 - . 2t -4 =0.由于 A0,故可设t

16、i,t2 ,是上述方程的两实根，所以小+% =只 ti t2 = -4又直线1过点P(i, J5),故由上式及t的几何意义得PA| + |PB| = 1|+|t2| = 1 -t2| = - = 3 五. a考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用.11 .在直角坐标系 xoy中，过点P(1,-2)的直线1的斜率为1,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 Psin28 =2cos8，直线1和曲线C的交点为A, B .(1)求直线l的参数方程；求 |PA|PB|试题解析：(I)由条件知，直线l的倾斜角a =45)2所以 cos =sin

17、 = 2 .设点M(x, y)是直线l上的任意一点，点 P到点M的有向向量为t,'x = 1+且则2.y = -22t,2(n)曲线C的直角坐标方程为22y =2x,由此得(2十万-t)22= 2(12 t)，即 t2 -6、2t 4 =0.设 t1,t2为此方程的两个根，因为l和C的交点为A,B,所以tl,t2分别是点A,B所对应的参数,由韦达定理得|PA| )PB|=|t1t2p4考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12 .在直角坐标系xOy中，以原点为 O极点，以x轴正半轴为极轴，圆 C的极坐标方程为 P = 4j2cos(e +) 4(1)将圆C的极坐标方程化为直角

18、坐标方程；11(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A, B两点，试求-的值.pA PB试题解析：(1)由P = 4&sin(更一日)，可得P =4cos日+4sin日， 4P2 =4 PcosB+4 Psin 8 , . . x2 + y2 =4x+ 4y ,x = 1t2即(x -2)2 (y -2)2 =81y = 2 母(2)过点P(0,2)作斜率为J3的直线l的参数方程为代入(x2)2 +(y 2)2 =8得 t2 -2t 4 = 0,设点A, B对应的参数分别为t1,t2 ,则t1 +t2 = 2 , t1由t的几何意义可得 工=71-111匚乜=1 .|pa|

19、|pb|同M卜11四 2(注：此题也可直接求 A, B两点坐标，再用两点间的距离公式求出|PA，|PB| .)考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系.x =1 t cos A13.在直角坐标系xOy中，直线l的参数万程为(t为参数)，在极坐标系y = 2 tsin”w(与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，圆C的方程为P =6sin 6 .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B ,求|PA|+|PB|的最小值.222_试题解析：(1)由P = 6sin日得P =6Psin8

20、,化为直角坐标方程为 x +y =6y,即22x +(y-3 ) =9；(2)将l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得t2 +2(cosa -sin« )t 7 = 0,2 -II由 =(2cosa 2sin 口)+4父7>0,故可设t1,t2是上述方程的两根，t1 t2 = -2 cos”- -sin 二,所以12*又直线过点(1,2),故结合t的几何意义得t1 t2 = -7PA F 1PB 4工1 心工 I ： 1t1 t2= |-a-| - x 4 cos ：- -sin 1.2 28二32二4sin 2三 一 .32=4 二2,7所以|PA|+|PB|的最小值为2方考点：圆的