平面向量复习提纲

1、平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示.向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。本章知识框架相等向相反向1. 一.基本知识点回顾向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.2. 向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB.说明：（1）不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同

2、的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量不同于数量.数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的.向量的模（是正数或零）可以比较大小.'.几组特殊的向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或0.说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个.规定所有的零向量都相等. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量. 平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作a/b.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关

3、系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（3）规定：零向量与任意向量平行.相等呻：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若a与b相等，记作a=b.相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量a的相反向量记为-a.t向|量加法的概专:弓知四量a和b,专面内传取厂O.作宁=a,AB=b，则向量OB叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=OA+aB=OB.求两个向量和可料算售向芦的力日法.TT4规定：0+a=a,a十（-a）=（-a）+a=0,即AB+BA=0;向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位而连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一

4、个向量终点的有向线段所表示的向量；向量加法的平行四边形法则：说明：（1）求和向量必须共起点.（2）向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共营可想加，仍用三角.5. 向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.6. 向量减法的有关概念：若b+x=a,贝U向量X叫做a与b的差，记作a-b,求两个向量差的运算，叫做向量的减法.%切邱型勺您可石法.：4平面内任取二点O,作OA=*,虽直，则BA=BOOA-OBOAb即a-b表示从向量b的终点指向被减向量言的终点的向量.9. 向量的数乘的定义：一般的，实数兀与向量a的积是一个向量，记作指，它的长

5、度和方向规定如下：，（1）|斜啊a；（2）当舄>0时，房与a方向相同，当&<0时，值与a,方向相反，普=o时，挡=0.实数人与向量a相乘，叫做向量的数乘.10. 向量数乘的运算律：（1）从福=（心冒（结合律）；（2）（九十篇=措十房（分配律）；（3）九（*点=挡+思（分配律）.ii.向量共线定理：一般地，对于，两个向量a（a#0）,b,如果有一个实数兀，使得；=指（：#0）,那么b与a是共线向量，反之，如果b与a（&0）是共线向量，那么有且只有一个实数舄，使得b=挡.12. 平面向量基本定理：如果e,言是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向M四有且

6、只有一对实数幺，,使&言秘?2.我们把不共线的向量e,：叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.13. 向量的坐标表示：在直角坐标系内，分另U取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a,有且只有一对实数x、y,使得，则把（x,y）叫做向量的直角坐标，记作：（x,y）其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，式为向量的坐标表示.向量坐标运算:已知a=（x,yi）,b=（x2,y2）,a+b=（x+治,y+y2）,ab=（xx2,y一y?）,房=（仪，切1）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向

7、量的相应坐标.共线向量坐标表示的一般性结论：设3=（x1,）,b=（x2,y2）（a乒0）,如果allb,那么xyx2y=0;反过来,如果xy乂2火=0,那么allb.结论（简单表7K）:向量a与b共线b尹0ua=，buxy2-x2y=。.向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作OA=a,OB=b，则4B=e（0wew180°）叫做向量a和b的夹角.特别地，当。=0°时，a与b同向；当e=180°时，a与b反向；当e=90°时，则称向量a与b垂直，记作a±b.14. 平面向量数量积：已知两个非零向量a和b,它们的夹角是9,我们把数量0叫做向量a和

8、b的数量积（或内积）（），记作ab,即:a。.我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量数量积模的性质：当a与b同向时，a；当a与b反向时，a特别地，a-2或.向量数量积的运算律：设向量a,b,c和实数入，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a-a；（交换律）；（2）（入a）（入b）=入（ab）=入ab；（结合律）;（3）（）c.（分配律）。15. 平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为（xii）,（X22），则aiX2iy2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.推论及公式：设（x,y）,则a222，即.两点A（X1,yi）,B（X2,y2）间的距离公式为=J（X1X2）2+（yi

9、-y2）2.（Xii）,（X22），它们的夹角为e，则有cosH=常=/2*、：2abX12y12.X2y2a_b=al_b=0=x*yy2=0.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：向量运算/定理/定义几何意义物理学原型相反向量：作用力与反作用力加法：a+b三角形法则(平行四边形法则)位移的合成、力的合成减法：a-b一角形法则(减法是加法的逆运算)数乘：入a共线向量(b=入a(a，0)u)位移=速度X时间平面向量基本定理力的分解数量积：a-b=9功二.典型例题分析例1.在四边形中,已知林=尽+屈，试判断四边形是什么样的四边形？例2.化简：/八T_TT/八、TTT

10、T(1)AB+BCCD=；(2)AB-AD-DC=；(3)(AB-CD)-(AC-BD)=.例3.若Ab=36iCd5ei,且AdBc,判断四边形的形状.例4.若2(X_1a)_1(b+c3x)+b=0则1=.32,例5.已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3(10-y)2(44)a,则.例6.向量；=(1,1),且与£+2b的方向相同，贝Uab的取值范围是_(-1E.例7.已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若oA上oB,贝Um的值为.例8.已知|OA|=1,|OB|=M,OAOB=0,点C在ZAOB内，且MOCmg,设OC=mOTrO,其中m,KR,则m等于.n例9

11、.已知向量a=(3,1),b=(1,2)，贝U-3a2b的坐标是.例10.已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x)满足BA_LAC，则X的值为.例11.设向量OA=(3,1),OB=(-1,2)，向量OC垂直于向量OB,向量BC平行于OA,试求OD+OA=OC时,OD的坐标.例12.已知a=(1,2),s=(3,2),心+3有一茹垂直，求实数k的值.例13.已知22,3,p、q的夹角为45°,求以52q,-3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长.例14.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(DB十DC-2DA)(AB-AC)=0，试判断的形状.例15.已知a

12、3,b4,(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量ab与akb互相垂直？例16.已知向量a：b满足a=3,a+b|=5,ab|=5求b.例17.若向量a,b满足E|=1b=2且a与b的夹角为二则：十b=.例18.已知A,B,C为平面上不共线的三点，若向量Ab=(1,1),n=(1,一1),且n-Ac=2，则nBC等于.例19.中，|AB|=3,|AC|=4,|BC|=5,则AB，BC=(答：9)例20.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+兀AC(成R)，则当乳=时，点P在第一、三象限的角平分线上(答：1)；2例21.已知；=(1,1),：=(4次),，=：+2?

13、,v=2a+b，且u/v,贝UX=(答:4)；例22.已知中，A(2,1),B(3,2),C(3,1),边上的高为,求点D和向量的坐标.例23.已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.例24.把一个函数图像按向量a=u,一2）平移后，得到的图象的表达式为3y=sin（x+当2，则原函数的解析式为.（y=cosx）6例25.设向量a与b的夹角为8,a=（3,，2ba=（_1,1）,则海日=.（m°）10例26.设向量度=（3,i），浸=（i,2），向量oc,垂直于向量oB,向量bC平行于一、TTOA，试求OD+OA=OC时,OD的坐标.例27.已知；=（也_1）,；=（1，也），若存在不为零的实数k和角口，使得22c=a+（sin3p,：=-ka+sinb,且C_Ld,试求实数k的取值范围.例28.已知岬（12x,1）,N=（1,<32）（x,aR,a是常数），且om，on（O是坐标原点）求y关于x的函数关系式（x）;若x0,