定积分在实际问题中的应用

1、第二节定积分在实际问题中的应用ApplicationofDefiniteIntegral教学目的：熟练掌握求解平面图形的面积方法，并能灵活、恰当地选择积分变量；会求平行截面面积已知的立体的体积，并能求解旋转体的体积；能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.容：定积分几何应用；定积分在物理中的应用.教学重点：求解平面图形的面积；求旋转体的体积.教学难点：运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法：精讲:定积分的几何应用；多练：用定积分求平面图形的面积和立体的体积教学容：、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数yfi(x),yf2(x)均在区间a,b上连续，且f(x)f2(x),

2、xa,b,现计算由yf1(x),yf2(x),xa,xb所围成的平面图形的面积.分析求解如下：(1) 如图6-3所示，该图形对应变量x的变化区间为a,b,且所求平面图形的面积S对区间a,b具有可加性.在区间a,b任取一小区间x,xdx,其所对应的小曲边梯形的面积，可用以dx为底,fi(x)f2(x)为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为dSf1(x)f2(x)dx(3)所求图形的面积bSaf2(x)f2(x)dx图6-3【例1】求曲线yex,直线x0,x1及y0所围成的平面图形的面积.解对应变量x的变化区间为0,1,在0,1任取一小区间x,xdx，其所对应小窄条

3、的面积用以dx为底，以f(x)g(x)ex0ex为高的矩形的面积近似代替，即面积微:dSexdx于是所求面积S°exdxex0e1【例2】求曲线yx2及y2x2所围成的平面图形的面积.vx求出交点坐标为y2x2(1,1)和(1,1),积分变量x的变化区间为1,1,面积微元dSf(x)g(x)dxdS(22(122xx)dx2x)dx于是所求面积112(11(102.x)dxx2)dxx(y),x(y),(若平面图形是由连续曲线面积应如何表达呢？分析求解如下：(1) 对应变量y的变化区间为c,d,且所求面积在y的变化区间c,d任取一小区间y,y(y)为长，以dy为宽的矩形面积近似代替(

4、y)(y),yc,yd所围成的，其用以(y)S对区间c,d具有可加性.dy,其所对应的小曲边梯形的面积可，即面积微元为于是所求面积【例3】此时(y)于是所求面积【例4】dS(y)(y)dydc(y)(y)dyc2.求曲线xy，直线y2xy解碍交点坐标为(2,、2一.一(y)y，则面积微兀dS(y2所围成的平面图形的面积1,1)和(4,2)，则对应变量y的变化区间为1,2,2,(y)2(y)dy2)dy求由y2SdS1122y21(yy2)dy2y3y92x2及yx所围成的平面图形的面积解为了确定积分变量的变化围，首先求交点的坐标由yx得交点(0,0),(1,1).yx方法一选-为积分变量，则对

5、应-的变化区间为0,1,此时f(x)x,g(x)2xdSf(x)g(x)dx(x)dx于是1S0(x2x)dx于是2一x面积微兀13-x3方法二选y为积分变量，对应y的变化区间为0,1,此时(y)dS(y)(y)dy(5y,(y)y)dyy则面积微元y)dyS；(3223y22 12注:由此例可知，积分变量的选取不是唯一的问题的难易程度也会不同.16，但在有些问题中，积分变量选择的不同，求解2x【例5】求椭圆-ya4倍，即2y%1的面积.b解椭圆关于x轴，y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的S4S14oydx利用椭圆的参数方程acostbsint应用定积分的换元法,dxasintdt,

6、且当x0时,t-,xa时,t0,于是20S4_bsint(2acost)dt4ab4ab;1cos2t,2dt04ab1sin2t42, 空间立体的体积(1)平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知，则这个立体的体积可用微元法求解.不失一般性，不妨取定轴为X轴，垂直于x轴的各个截面面积为关于x的连续函数S(x),x的变化区间为a,b.该立体体积V对区间a,b具有可加性.取x为积分变量，在a,b任取一小区间x,xdx,其所对应的小薄片的体积用底面积为S(x)，高为dx的柱体的体积近似代替，即体积微元为dVS(x)dx于是所求立体的体积bVS(x)a【例6】一平面经

7、过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积.222解取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系，则底面圆的万程为xyR，半圆的方程即为yR2x2.在x轴的变化区间R，R任取一点x，过x作垂直于x轴的截面，截得一直角三角形，其底长为y，高度为ytan，故其面积1S(x)-yytan212一ytan2122-(Rx)tan于是体积RVRS(x)dxR122R-tan(Rx)dxR22tan(Rx)dxR213R-tan(Rx-x)3R-R3tan3(2)旋转体的体积类型1：求由连续曲线yf(x)，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成立体的体

8、积,轴的平面，截面是半径为f(x)的圆，其面积为过任意一点xa，b作垂直于S(x)f2(x)，于是所求旋转体的体积baS(x)dxb2af2(x)dx2一【例7】求由yx及x1，y0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成立体的体2一x，则体积5x11'/2.2.14,V(x)dxxdx00解积分变量X轴的变化区间为0,1,此处f(x)505【例8】连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线xh及x轴围成一个直角三角形求将它绕x轴旋转一周而成的圆锥体的体积.解积分变量X的变化区间为0,h,此处y、.r一，f(x)为直线OP的方程y-x，于是体h2dxhx2dx02r2d及y轴所围成的曲边梯形

9、绕y轴旋转rc,y类型2:求由连续曲线x(y),直线y一周而成的立体的体积(cd).过任意一点yc,d,作垂直于y轴的平面，截面是半径为(y)的圆，其面积为S(y)2(y),于是所求旋转体的体积ddVS(y)dy(y)dycc【例9】求由yx3,y8及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.解积分变量y的变化区间为0,8,此处x(y)*7.于是体积8V0(3y)dy8七°y3dy896053:5y2x【例10】求椭圆a土1分别绕x轴、y轴旋转而成椭球体的体积.b解若椭圆绕x轴旋转，积分变量yf(x),a2ax的变化区间为a,a,此处x2，于是体积aabl2Taa2x(b!

10、2ab2a,2a(ax2)dx2aax-3xa2Vx体积若椭圆绕y轴旋转，积分变量y的变化区间为b,b，此处xVyb2b2b(by2)dyb2b2y13-y3a2b二、定积分在物理中的应用1.变力所做的功如果一个物体在恒力F的作用下，沿力F的方向移动距离s,则力F对物体所做的功是WFS.如果一个物体在变力F(x)的作用下作直线运动，不妨设其沿Ox轴运动，那么当物体由Ox轴上的点a移动到点b时，变力F(x)对物体所做的功是多少？我们仍采用微元法，所做的功W对区间a,b具有可加性.设变力F(x)是连续变化的，分割区间a，b，任取一小区间x，xdx，由F(x)的连续性，物体在dx这一小段路径上移动时

11、，F(x)的变化很小，可近似看作不变的，则变力F(x)在小段路径上所做的功可近似看作恒力做功问题，于是得到功的微元为dWF(x)dx将微元从a到b积分,得到整个区间上力所做的功bWaF(x)dx【例11】将弹簧一段固定，令一段连一个小球，放在光滑面上，点。为小球的平衡位置.若将小球从点O拉到点M(OMs)，求克服弹性力所做的功.解由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比，方向指向平衡位置。，即Fkx其中k是比例常数.若把小球从点O(x0)拉到点M(xs)，克服弹性力F，所用力f的大小与F相等，但方向相反，即fkx，它随小球位置x的变化而变化.在x的变化区间0，s上任取一小段x，x

12、dx，则力f所做的功的微元dWkxdx于是功S.k2Wkxdxs02【例12】某空气压缩机，其活塞的面积为S，在等温压缩的过程中，活塞由X处压缩到x2处，求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.解由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p与体积V的乘积为常数k，即pVk由已知，体积V是活塞面积S与任一点位置x的乘积，即VSx，因此于是气体作用于活塞上的力活塞作用力f于是所求功kkpVSxkkFpSSSxxk，则力xf所做的功的微元dW-dxxX1-dxxxk|n二x25米，底圆半径为3米，桶盛满了水.试问要把桶的水全部klnx【例13】一圆柱形的贮水桶高为吸出需做多少功.解取深度x为积分变量，

13、则所求功W对区间任取一小区间x,xdx,则所对应的小薄层的质量将这一薄层水吸出桶外时，需提升的距离近似为dWx9dx0,5具有可加性.应用微元法，在0,5上32dx9dx.x,因此需做功的近似值，即功的微元为9xdx于是所求功xdx22598003.46106J33，225将9.8103N/m3,得W22.液体压力现有面积为S的平板，水平置于密度为，深度为h的液体中，则平板一侧所受的压力FpShS(p为水深为h处的压强值)若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同，那么平板所受压力应如何求解呢？设平板边缘曲线方程为yf(x)，(axb)，则所求压力F对区间具有可加性，现用微元法

14、来求解.在a，b上任取一小区间x，xdx，其对应的小横条上各点液面深度均近似看成x，且液体对它的压力近似看成长为f(x)、宽为dx的小矩形所受的压力，即压力微元为dFxf(x)dx于是所求压力bFxf(x)dxa【例14】有一底面半径为1米，高为2米的圆柱形贮水桶，里面盛满水.求水对桶壁的压力解积分变量x的变化区间为0,2，在其上任取一小区间x，xdx，高为dx的小圆柱面所受压力的近似值，即压力微元为dFx21dx2xdx于是所求压力为22xdx203_49.8103.92410N将9.8103N/m3代入F【例15】有一半径R3米的圆形溢水洞，试求水位为3米时作用在闸板上的压力.解如果水位为3米，积分变量x的变化区间为0,R,在其上任取一小区间x,xdx,所对应的小窄条上所受压力近似值，即压力微元dWx2ydxx2R2x2dx2xR2x2dx于是所求压力R20xR2F!12022_2R323-R332