导数的概念及运算

1、导数概念及其意义课前准备厘叵1扣教材夯实基础一一I【自主梳理:1. 函数的平均变化率一般地，已知函数y=f(x),X0,xi是其定义域内不同的两点，记尸xiX0,广yiyo=f(xi)f(x0)=f(xo+Ax)f(x0),则当Ax丰0时，商=«称作函4-x数y=f(x)在区间x°,x0+Ax(或x0+Ax,x。)的平均变化率.2. 函数y=f(x)在x=x0处的导数定义：函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率通常称为f(x)在x=x0处的导数，*记作f'(x°)，即.(1) 几何意义函数f(x)在点冲处的导数f'(x°)的几何意义是过曲

2、线y=f(x)上点(x0,f(x°)的.导函数y=f'(x)的值域即为切线斜率的取值范围.3. 函数f(x)的导函数如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a,b)内可导,其导数也是开区间(a,b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作.4.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)=Cf(x)=f(x)=xa(长Q*)f'(x)=_(a£Q*)F(x)=sinxf(x)=F(x)=cosxrf仅)=f(x)=ax(a>0,a乒1)f(x)=(a>0,a丰1)f(x)=exf'(x)=f(x)=l

3、ogax(a>0,a乒1,且x>0)f(x)=(a>0,a丰1,且x>0)f(x)=Inxf'(x)=5. 导数运算法则(1)f(x)为(x)'=;(2)f(x)g(x)'=6. rf'=g(x)乒°】gx复合函数的导数文科不要求如果函数(X)在点x处可导，函数f(u)在点u=(x)处可导，贝U复合函数y=f(u)=f(X)在点x处也可导，并且(f(X)'=f(x)(x)或记作yx=yu?uxxux熟记链式法则假设y=f(u),u=(x)y=f(x),则yx=f(u)(x)2复合函数求导练习y2x3yInx2y(2x2)

4、3；ysinx2ycos(x);4yInsin(3x1).在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Ax,2+Ay),则噎为()111A.Ax+忑+2B.Ax-x2C.Ax+2D.2+哀1. 设y=x2ex,则y'等于()A.x2ex+2xB.2xexC.(2x+x2)exD.(x+x2)ex假设曲线y=x-1在点(a,a一；)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()A.64B.32C.16D.8假设函数f(x)=ex+aex的导函数是奇函数，并且曲线y=f(x)的一条切线的斜率是3则切点的横坐标是()A.一峻B.-ln2C嶂D.In22. 已知函数f

5、(x)=f()cosx+sinx,贝Uf(；)=.1,(1)f(x)=在x=1处的导数;Xf(x)=1x+2变式迁移1求函数y=W+1在x0到x0+Ax之间的平均变化率，并求出其导函数.探究点二导数的运算lnx(2)y=7；x(3)y=xex;(4)y=tanx.【例2】求以下函数的导数:(1)y=(1一业)1+土；变式迁移2求以下函数的导数：(1)y=x2sinx;(2)y=3xex2x+e;(3)y=.探究点四导数的几何意义14例4】已知曲线y=-x3+-.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线万程；33(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.变式迁移4

6、求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.有效训练练1.求双曲线y1在点(1,2)处的切线的斜率，并写出切线方程练2.求yx2在点x1处的导数.1. 准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，假设直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，假设直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点.(1) 曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y=x3在其过(0,0)点的切线y=0的两侧.2. 曲线的切线的求法：假设已知曲线过点P(x。，y。)，求曲线过点P的切线则需分点P(x。，y。)是切点和不是切点两种情况求解.(1) 点P(

7、xo,yo)是切点的切线方程为yyo=f'(xo)(x-xo).(2) 当点P(xo,yo)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P'(x，f(x)；第二步：写出过P'(x，f(x1)的切线方程为yf(x)=f'(x)(xx1);第三步：将点P的坐标(xo,yo)代入切线方程求出x；第四步：将x1的值代入方程yf(x)=f'(x)(xx1)可得过点P(xo,yo)的切线方程.求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导

8、公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.课堂陪练A组基础达标.选择题：1.f'檄)f(x)=x3+2x+1的导函数，贝Uf-1)的值是()A.1B.2C.3D.42.已知函数f'(x)=3x2,则f(x)的值一-定是A.x3+xB.x3C.x3+c(c为常数)D.3x+c(c为常数)3.假设函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，贝炳数f/(x)的图象是4.以下求导数运算错误的选项是A.(x2013c)2013x2012(c为常数)B.(x2lnx)2xlnxx/cosx、C.()xxsinxcosx2x(3x)3xln35.已知曲线3lnx的一条切线的斜率为