导数与定积分

1、普通高中课程标准实验教科书一数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座38)一导数、定积分一.课标要求：1. 导数及其应用(1) 导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 通过函数图像直观地理解导数的几何意义。(2) 导数的运算 能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的导数； 会使用导数公式表。(3) 导数在研究函数中的应用

2、 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。(4) 生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。(5) 定积分与微积分基本定理通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的

3、概念；通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义。(2)定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。三. 要点精讲1.导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量Ax,那么函数y相应地有增量Ay=fy(x0+Ax)f(x0)，比值叫做函数y=f(x)在x0到x0+Axn间的平均变化率，xyf(x。：x)-f(x。)W|J=oxxy工如果当Axt0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个x极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f(x0)或vxL。0即f(x)=lim丝=

4、limf&W)。x0xx0x说明：函数f(x)在点x0处可导，是指Axt0时，包有极限。如果四不存在xx极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。(1) ix是自变量x在x0处的改变量，Ax#0时，而Ay是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤：(1) 求函数的增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0);求平均变化率坐二皿+叫一冷0)；xLxy(2) 取极限，碍导数f(x)=成。.X0*2. 导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0,f(x

5、0)处的切线的斜率是f(x0)。相应地，切线方程为yy0=f/(x0)(xx0)。3. 常见函数的导出公式.4. 两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(U二v)=u-v.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)=uvuv.若C为常数，则(Cu)=Cu.法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方:=uv；uv(v/0)。vv2形如y=fB(x)】的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。法

6、则：y|X=y/IUu|X5. 导数的应用(1) 一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f(x)0，贝Uf(x)为增函数；如果f(x)0,贝Uf(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)=0，贝Uf(x)为常数；(2) 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；一般地，在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。求函数？(x)在(a,b)内的极值；求函数？(x)在区间端点的值？(a)、?(b)；将函数？(x)的各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是

7、最小值。6.定积分(1)概念设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0xixiixi-xn=b把区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xj上取任一点S(i=1,2,n)作和式In=f(Ei=1i)Ax(其中x为小区间长度)，把n8即xr0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作：f(x)dx，即Jf(x)dx=limf(沁x。aan:-iT这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：j0dx=C；xmdx=1xm+C(mQ,m乒一1)；m11dx=lnx+

8、C;xjexdx=ex+C；xx，aadx=+C；cosxdx=sinx+C；Inasinxdx=-cosx+C(表中C均为常数)。定积分的性质bbfkf(x)dx=kf(x)dx(k为常数)；aabbbf(x)g(x)dx=Jf(x)dxg(x)dx；aaabcbf(x)dx=af(x)dx+Cf(x)dx(其中avcvb)。(2) 定积分求曲边梯形面积由三条直线x=a,x=b(a0)围成的曲边梯的面积S=f(x)dx。a如果图形由曲线y=f(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)f2(x)0),及直线x=a,x=b(a0,贝U必有()A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)

9、2f(1)已知函数f(x。(i)设a0，讨论y=f(x)的单调性；(n)1-x若对任意xw(0,1叵有f(x)1,求a的取值范围。解析：(1)依题意，当x#时，f(x)知，函数f(x)在(1,+西)上是增函数；当x1时，f(x)色，f(x)在(8,1)上是减函数，故f(x)当x=1时取得最小值，即有f(0)牙(1),f(2)M(1)，故选C;.一.-ax2+2a次(3):(I)f(x)的定义域为(8,1)u(1,+8).对f(x)求导数得f(x)=e。(1-x)(i)当a=2时,f(x)=2x、2e2x,f(x)在(一8,0),(0,1)和(1,+)均大于0,所以f(x)(1-x)在(一,1)

10、,(1,+00).为增函数；(ii)当0a0,f(x)在(一8,1),(1,+oo)为增函数(iii)当a2时，0与，1,令f(x)=0,解得x1=aaa(H)(i)当0af(0)=1;a2M)为22,x2八曾；1；a2-(ii)当a2时，取x0=2喝C(0,1),则由(I)知f(x)f(0)=1;(iii)当a1且aaxA1,Ix得：f(x)=!eaxEx1.综上当且仅当as(8,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例8.(1)f(x)=x33x2+2在区间1-1,1上的最大值是()(A)2(B)0(C)2

11、(D)4(n)(2)设函数f(x)=2x33(a1)x2+1,其中a芝1.(i)求f(x)的单调区间；解析：(1)f(x)=3x26x=3x(x2),令f(x)=0可得x=0或2(2舍去)，当一1。近时，(x)刃，当0x金时，f(x)0，所以当x=0时，f(x)取得最大值为2。选C;(2)由已知得f(x)=6x【x(a1),令f(x)=0，解得xi=0,x2=a1。(i)当a=1时，f(x)=6x2,f(x)在(_o,e)上单调递增；当a1时，f(x)=6xx(a1),f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(q,0)0(0,a-1)a1(a1,e)f(x)+00+f(x)匚极大值极小值匚从

12、上表可知，函数f(x)在(-,0)上单调递增；在(0,a-1)上单调递减；在(a-1,十龙)上单调递增。(口)由(I)知，当a=1时，函数f(x)没有极值；当aa1时，函数f(x)在x=0处取得极大值，在x=a-1处取得极小值1(a1)3。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型5：导数综合题例9.设函数f(x)=-x3+3x+2分别在为、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A口A、B的坐标分别为(x1,f(x1)、(x2,f(x2)，该平面上动点P7两足PA?PB=4,点Q是点P关于直线y=2(x4)的对称点.求求点A、B的

13、坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.解析：(I)令f(x)=(x3+3x+2)=3x2+3=0解得x=1或x=-1；当xT时,f(x)0,当Tx1时,f(x)A0，当xA1时，f(x)0。所以，函数在X=1处取得极小值，在X=1取得极大值，故Xi=-1,X2=1,f(-1)=0，f(1)=4。所以，点A、B的坐标为A(1,0),B(1,4)。(n)设p(m,n),Q(x,y),1 PA*PB-1-m,-n,1-m,4-n)=m2-1n2-4n=4,y-n1kPQ=一一，所以=。2 x-m2又PQ的中点在y=2(x4)上，所以旦=2三些4,消去m,n得22)(x-82+(y+2f=9。点评：该题是

14、导数与平面向量结合的综合题。题型6:导数实际应用题例11.（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点。到底面中心。1的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为32（x-1）8,2x-x2（单位：m。于是底面正六边形的面积为（单位：R1）:32(x-1)2=6尸卜82x-x2)2=注(82x-x2)。帐篷的体积为(单位：m3):3321.33V(x)=或(82x-x2)-(x

15、-1)1=3(1612x-x3)求导数，得V（x）=亟（123x2）；2令V(x)=0解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1x0,V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0。1a二当x=0时，t=0;当x=a时，t=t1=()3,b又ds=vdt,故阻力所作的功为：b。27Q727Q7oW232333/2zu=Fzuds=qkvvdt=kqvdt=kq(3bt)dt=3kbt1=；k.ab(2)依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为xi=0,x2=-b/a,b所以S=疽(ax213bx)dx=2b(1)6a又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点,x+y=4、y=ax2+bx得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0.-r.B十正a1,八2-(b+1)2,代入(1)式得：16S(b)=128b3128b2(3-b)4,(b0),S(b)=5;6(b1)43(b1)5令S(b)=0;