2021年高考数学(文)一轮复习讲义第2章29函数模型及其应用

1、2.9函数模型及其应用最新考纲考情考向分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以选择、填空题为主，中档难度.1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc

2、(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0且a1，那么不存在x0，使x0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()题组二教材改编2用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面

3、积最大，那么隔墙的长度为_答案3解析设隔墙的长度为x(0x0)假设物体的温度总不低于2摄氏度，那么m的取值范围是_答案解析由题意得，m2t21t2恒成立(t0，且m0)，又m2t21t2，22，m.题组三易错自纠5某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，那么该市这两年生产总值的年平均增长率为_答案1解析设年平均增长率为x，那么(1x)2(1p)(1q)，x1.6某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们开展到_只答案200解析由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)当x8时，

4、y100log39200.用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如下列图，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，假设鱼缸水深为h时水的体积为v，那么函数vf(h)的大致图象是()答案B解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，应选B.2设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，那么小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，应选D.3

5、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据得到下面的散点图那么以下哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()AyaxbByabCyabxDyax2bxc答案B解析根据散点图可知，选择yab最适合思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案函数模

6、型的实际问题例(1)某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，那么总利润L(Q)的最大值是_万元答案2500解析L(Q)40QQ210Q2000Q230Q2000(Q300)22500.那么当Q300时，L(Q)取得最大值为2500万元(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式yta(a为常数)，如下列图，根据图中提供的信息，答复以下问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克

7、)与时间t(小时)之间的函数关系式为_据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室答案y0.6解析设ykt，由图象知ykt过点(0.1,1)，那么1k0.1，k10，y10t(0t0.1)由yta过点(0.1,1)，得10.1a，解得a0.1，yt0.1(t0.1)由t0.10.25，得t0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关键点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题跟踪训练(1)

8、拟定甲、乙两地通话m分钟的 费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，那么甲、乙两地通话6.5分钟的 费为_元答案4.24解析m6.5，m6，那么f(6.5)1.06(0.561)4.24.(2)一个容器装有细沙acm3，细沙沉着器底下一细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，那么再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一答案16解析当t0时，ya；当t8时，yae8ba，故e8b.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(

9、e8b)3e24b，那么t24，所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一命题点1构造二次函数模型例1某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，假设每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，那么R的取值范围是()A4,8B6,10C4%,8%D6%,10%答案A解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8命题点2构造指数函数、对数函数模型例2一片森林原来面积为a，方案每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面

10、积至少要保存原面积的，到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，那么a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，那么a(1x)ma，即，即，解得m5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年假设本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年解设从今年开始，以后砍了n年，那么n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，即，解得n15.故今后最多还能砍伐15年命题点3构造“对勾函数模型例3(1)某汽车运输公司购置了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，

11、每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如下列图(抛物线的一段)，那么为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_答案5解析根据图象求得y(x6)211，年平均利润12，x10，当且仅当x5时等号成立要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤稳固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，那么防洪堤的腰长x_米答案2解析由题意可得BC(2x6)，

12、y26.当且仅当(2x6)，即x2时等号成立命题点4构造分段函数模型例4共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，生产新样式单车的固定本钱为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润总收益总本钱(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大最大利润是多少解(1)依题设知，总本钱为(20

13、 000100x)元，那么y(2)当0400时，y60 000100x是减函数，故y60 00010040020 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元素养提升数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示.1某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，那么该厂6年来这种产品的总产量C与时间

14、t(年)的函数关系图象正确的选项是()答案A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，应选A.2在某种新型材料的研制中，实验人员获得了以下一组实验数据，现准备用以下四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2By(x21)Cylog2xDy答案B解析由题表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，应选B.3某大型民企为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入假设该民企2022年全年投入研发

15、资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2023年B2022年C2021年D2022年答案A解析设从2022年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，那么130(112%)n200，那么n3.8，由题意取n4，那么n20222023.应选A.4某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米m元收费；用水超过10m3的，超过局部加倍收费某职工某月缴水费16m元，那么该职工这个月实际

16、用水为()A13m3B14m3C18m3D26m3答案A解析设该职工用水xm3时，缴纳的水费为y元，由题意得y那么10m(x10)2m16m，解得x13.5某杂志每本原定价2元，可发行5万本，假设每本提价0.20元，那么发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是()A2.4元B3元C2.8元D3.2元答案B解析设每本定价x元(x2)，销售总收入是y元，那么yx104x(92x)9104.2x29x90，解得x3，应选B.6某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，那么该股民这支

17、股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有亏损D无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购进股票的资金为a，那么交易结束后，所剩资金为a(110%)n(110%)na(10.01)na0.99na.7.某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如下列图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.8“好酒也怕巷子深，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为

18、DaA.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为_(用常数a表示)答案a2解析令t(t0)，那么At2，Datt22a2，当ta，即Aa2时，D取得最大值9(2022皖南八校联考)某购物网站在2022年11月开展“全部6折促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为_答案3解析为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元，即每张订单打折前原金额不少于500元由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，

19、又421139，所以最少需要下的订单张数为3.10某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，某市到灾区公路线长400km，为了平安起见，两辆汽车的间距不得小于2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是_h(车身长度不计)答案12解析设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间，因此，t212，当且仅当，即v时取等号故这些汽车以km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.11“活水围网养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究说明：“活水围网养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x到达20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年(1)当0x20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以到达最大并求出最大值解(1)由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，a0，显然vaxb在4,20内是减函数，由得解得所以vx，故函数v(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f