兰大数分考研试题及解答

1、兰州大学2009年数学分析考研试题及解答.计算题x23isint2dt1.求lim)0ttTintdt3&十卜2xsinx22解原式=limx0xx-sinx32-x=limx0_xsinx-12x=lim。12x0-sinxx230sint2dt江：limx00tt-sintdt=12x23sint2dtlim_=-12t01(t-sint)dt2.求farcta/Xdx.解原式=xarctanVx-1x21:xxdx=xarctanx-11x22乙dxyydyy=,xy=xarctan,x-yarctanyC=x1arctan、x-yC.2x1v3.计算Idx&edy”2dxje栅.yo_

2、2J=-ye1=-2ee-求抛物线y2=4x与它在（1,2）处的法线所围成的有限区域的面积解在（1,2）处，叫=2,dxyk=dy=1,x4法线的斜率为-1,设法线方程为y2=-：ix-1,x=3y,法线与抛物线交丁1,2,9,-6,丁是所求的面积23_y2S=Ldykdx=L3-y-mdy=3y-y21 32七12断1=383222412“5664=2416-一=.4. 32n求籍级数，(-1尸一的收敛域与和函数.2n解设un(x)=(T)n当x#0时，由丁nmxUnx=加：厂X=X,当x1时，原籍级数绝对收敛,tr二-1当x=-1时，为条件收敛,nan-n-1当x=1时，（T）为条件收敛,

3、ndn1时，原籍级数发散,Sx八-12n.nx-12n.n1xnxnJ2n2x-x0L一11l机t2dt2x1t2dtx0t1t21x2tdtx01t2”112x.2xIn1xIn1x2limx)02x=lim=0.xj01计算曲线积分J(exsiny-b(x-y)dx+(excosy-ax)dy，其中L是从(2a,0)沿着曲线y=J2ax-x2到点（0,0）的一段.解记P=exsiny-b(x-y),Q=excosy-ax,Px：:QxQ；:P贝U=ecosyb，二ecosya,于正=b:y:x曲线y=/ax-x2y-0，222(xa)十y=a,y-0，D=(x,y):(x-a)2+y242

4、,y芝0,由Green公式2a原曲线积分=b-adxdy-：i.bxdx,12,1八2=b-a2二ab2a.证明：limsinn不存在.nj:证明由于区间料兀+4,2牌+乎:(k=0,12m长度为A，而存在整数2-,2k.k一4，4同理存在mk在|2k+,2+-44假若limsinn=a存在，n_.7则有limsinnk=a,limsinmk=a,k.，k.：.：2、2由于-sinnk1时，f(x)何为常数；(2)当L1,a=1,存在唯一的la,b,使得f(E)=0证明(1)当a1时，,f(y)-f(X)a/、由0壬x),yx知f(x)=0,Vxwla,b,丁是f(xylS为常数；(2)显然f

5、(x此续，乂a主f(x)b,存在a,bl,使得f=,下证唯一性.设*b,b,也满足f(n)=n,则广叫=|f(p_f(明)L传项|,由于OcL0,总存在正数M,使得当x,y三I,x。y,且f*)-f(-xM时,就有f(y)-f(x)c，.yx证明充分性用反证法.假若f(x并区间I上不一致连续，则存在&00,存在&,%)在1,1，使得xn-yn|一，但f(xn)-f(yn)A知，即有乎)一*0,A一yn由假设条件，对包0,只需要一充分大,2就有|f(xn)-f(yn)：.,矛盾所以f(xX区问I上一致连续;必要性设f(x廊区问I上一致连续，用反证法若结论不成立，则存在0,对任意正整数n,存在G一

6、,ynwI,使得村冷)一0七)引,但fXn-fyn；0.即有Xn-yn|2M,；M=supf(x“，这与f一致连续矛盾.注：对函数f(x)=C，或者f(x)=x,显然在I上一致连续，不成立必要性的结论，反证法中的，y不存在，所以此题应只有充分性，应无必要性.设f:R2TR2是连续映射，若对R2中任何有界闭集K,fK)均是有界的,证明f(R2)是闭集.证明设y是f(R2)的任意一个极限点，则存在&仁R2,使得nf(冷)=y，而集合A=f(xn)：n=1,2，Uy,作为R2中的有界闭集(有界是因为极限存在，而闭性是由丁极限唯一)其原像f(A)是有界的，现因xdA),所以板是有界的，由Weierst

7、rass聚点定理，存在子歹U*页及xR2,使得limxn=x,k_Jnk由f得连续性，limfxn=fx=y,kllk所以y=fxfR2,故f(R2)是闭集.fy(0,0)存在证明二元函数f(x,y)=寸阿在点(0,0)处连续,fx(0,0),但在点(0,0例不可微.证明(1)显然limfy0x,y)=0=f(0,0),所以f(x,y)在点(0,0)处连续,fx,0-f0,0f0,y-f0,0由=0,=0,xy知fx0,0=0,fy0,0=0,Rx,：y)=f.：x,：y):f0,0fx0,0xfy0,0：y=,心,当J(*3(Ay30时，f(Xi)-f(X2)=nJ11jg+x_2n+x21QO-Xi_X?n42X2X2-1Xi-X?1-n4221壬一X|X2,3由此既得f(X)在0,心)一致连续;unx=一一22nx,UnqQZu：（X庶10,E）上一致收敛,n1于是f（x性10,E）连续可导，且_：:1fX】X.unX=2-(2)由丁，f(x0,2k2k二1fxdx=-dX22nT2X2k12k-2心2k2k2k41J1，一k-1,22k42k所以(x)dX发散,k1(x)dx发故.尸(皈,智)不存在极限，2222xy,以y所以f(x,y)在(0,0)处不可微.,、-二1七H*xL