具有外部环境的群集系统的稳定性分析

1、Hebei Normal University of Science & Technology专业： 数学与应用数学 学号： 1111100117 本科毕业论文（自然科学）题 目： 具有外部环境的群集系统的稳定性分析院（系、部）： 学 生 姓 名： 指 导 教 师： 职 称 2014年05月26日河北科技师范学院教务处制 资料目录1.学术声明1 1页2.河北科技师范学院本科毕业论文114页3.河北科技师范学院本科毕业论文任务书1 1页4.河北科技师范学院本科毕业论文计划书1 3页5.河北科技师范学院本科毕业论文中期检查表1 1页6.河北科技师范学院本科毕业论文答辩记录表1 1页7.河北科技师范

2、学院本科毕业论成绩评定汇总表1 2页8.河北科技师范学院本科毕业论文工作总结1 1页9.文献综述1 5页10.外文翻译及原文118页河北科技师范学院本科毕业论文具有外部环境的群集系统的稳定性分析院（系、部）名 称 ： 专 业 名 称： 学 生 姓 名： 学 生 学 号： 指 导 教 师： 2014年05月24日河北科技师范学院教务处制 学 术 声 明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确

3、的方式标明。本学位论文的知识产权归属于河北科技师范学院。 本人签名： 日期： 指导教师签名： 日期： 目录目 录摘 要IAbstractII1引言11.1论文研究的背景与意义11.2群集系统的稳定性的研究现状11.3本文主要研究内容22群集模型33二次型吸引/排斥分布函数54稳定性分析65数值仿真实验9结论10参考文献10致谢13附录 群集稳定性的仿真程序1410Abstract具有外部环境的群集系统的稳定性分析摘 要在生物界，群集是一个非常普遍和有趣的现象。为了在大自然中生存，从简单的细菌到高级的哺乳类动物，很多生物表现出群体行为。近些年来，越来越多的数学家和物理学家从数学模型方面研究这一现

4、象。在本文中，提出了一个在维吸引/排斥函数下的“基于个体”的连续时间各向同性Swarm模型。每个个体的运动都由三个部分决定：（1）吸引处于远处的个体；（2）排斥处于近处的个体；（3）吸引到吸引/排斥分布函数的更有利区域。基于Lyapunov稳定性理论研究了处于二次分布函数下群集的集体行为的稳定性，且仿真结果数值地验证了文中群集系统的稳定性。关键词：Swarm模型；群体行为；稳定性；数值仿真IIStability analysis of the swarm system with the external environmentAbstractSwarming is one of the mos

5、t common and interesting phenomena in the biological world. Many organisms ranging from simple bacteria to more advanced mammals behave collectively in order to survive in nature. In the recent years, more and more mathematicians and physicists study this phenomenon from the aspects of mathematical

6、modeling. In this article we specify an “individual-based” continuous time isotropy swarm model in n-dimensional space with an attractant/repellent profile. The motion of each individual is determined by three components: (1) attraction to the other individuals on long distances; (2) repulsion from

7、the other individuals on short distances; (3) attraction to the more favorable regions of the attractant/repellent profile. The stability properties of the collective behavior of the swarm for quadratic profiles is studied with Lyapunov stability theory. The simulation results were provided that ver

8、ify the stability of the swarm system proposed in this paper.Keywords: Swarm Model; flocking motion; stability; numerical simulations河北科技师范学院2014届本科毕业论文1引言1.1论文研究的背景与意义在生物界，群集是一个非常普遍和有趣的现象，且群体行为是目前复杂性科学的热门研究领域。很长一段时间，生物学家一直在致力于研究群体行为1，从简单的细菌（比如大肠杆菌）到高级哺乳类动物（比如人类），自然界中许多生物由于某种原因相互聚集在一起。许多生物理论证明，这样的合作

9、行为具有一定的优势，如增加寻找食物的机会、躲避捕食者和构建巢穴，但是仍需要生物体之间的相互沟通和协调策略的确定。例如，Krause和Ruxton2、Couzin和Krause3表明为了在大自然中生存，鱼群、成群的鸟儿、群居的蚂蚁和其它一些脊椎动物都表现出群体行为，甚至可以在细菌菌落中也发现群体行为。总之，在生物界中群体行为大幅度增加了生存的平均成功率，也就是说，与它们自己单独生存比起来群体的每个个体成员会做的更好，生物学家对这一现象的研究已经有几十年了4。同生物学家一样，许多物理学家在群体行为方面也做出了重要的贡献。由于群中个体成员的相互作用，物理学家采用的普遍方法是把每个个体模拟为一个质点以

10、研究此群集的群体行为。现在，我们一般认为群体行为是个体成员之间远距离吸引和近距离排斥相互作用的结果。近些年来，越来越多的数学家和物理学家从数学模型5-6方面研究这一现象。越来越多的研究集中在由工程领域的发展引起的群体行为，如控制、分布式协调管理以及学习自动化多智能体系统如自治多机器人的应用和无人的海、陆、空中机动群体的控制策略，然而，利用生物原则来研究这样的高度自动化的多智能体系统有几个关键的步骤，其中包括生物群体小组目标的动力学分析的完成、群体的建模和明确协调策略。目前研究群集系统的热点和难点是研究其数学建模、稳定性分析和软控制，来自社会生态学界、理论生物学界、物理界、工程应用界以及控制工程

11、界等不同领域的专家学者对此产生了浓厚的兴趣并进行了深入的研究，从而积累了关于群集系统的丰富理论成果。1.2群集系统的稳定性的研究现状研究一个群集系统性能的关键之处是分析它稳定性，所以分析群集系统的稳定性对于群集系统来说具有深远的意义。早期的分析群集系统的稳定性的一些方法，大部分是利用群集系统的各个孤立子系统的某种稳定性，然后通过适当的控制关联项，来判断群集系统的稳定性。但是，通过不断地研究和实践，人们逐渐发现由群集系统的稳定性一定可以得到孤立子系统的稳定性，但是，由群集的各个孤立子系统的稳定性并不一定可以得到群集系统的稳定性7。为了解决这一现象，来自社会生态学界、理论生物学界、物理界、工程应用

12、界以及控制工程界等不同领域的专家学者研究出了新的分析稳定性的方法，其中主要是应有Lyapunov函数、矩阵指数函数、积分估计和代数关系等方法来判定群集系统的稳定性。Jin8等人提出了一个处于二维空间的同步群集模型，并应用Lyapunov函数方法证明了此群集的稳定性。Breder9提出了一个由一个吸引项和一个排斥项组成的简单群集模型，其中引力是恒定的，斥力与个体间的距离的平方成反比。王龙10-11等人提出了一个基于个体成员间吸引/排斥相互作用的各向异性的群集模型，并讨论了此群集系统的稳定性问题。Gazi和Passino12提出了一个简单的基于个体间的吸引/排斥相互作用群体聚集模型，并表明不管群集

13、中个体成员的数量，该群集都会在有限的时间内收敛到恒定的范围内。在文献12中，作者指定了一个吸引/排斥函数，以确保群集的每个个体成员不离开整个群集。此外，他们在文献13中修改了他们的模型，且引入了环境因素，并表明该群能避免不利区域。2004年，Fax14等人提出了一个线性群集系统，并应用Nyquist稳定性判定方法证明了此群集的稳定性。2005年，陈世明和方华京提出了一个大规模智能群体模型，并应用Lyapunov函数方法分析了此群集的稳定性15。2006年，Olfatis16提出了一个具有Boid模型的群集系统，并在控制工程的方面分析了此群集的稳定性。2009年，郭晓丽等人提出了一种基于一维离散

14、时间的完全异步的群集系统，并对此群集进行了稳定性分析17。2010年，在二维空间中群集系统稳定性的基础上，王冬梅等人提出了在任意有限维中的群集并应用求解凸壳的方法证明了此群集的稳定性18。群集系统的稳定性是将群体行为应用到社会行为控制的前提，对具有外界环境的群集系统稳定性的研究具有实际意义。群集系统的稳定性分析已经取得了一定的研究成果，但是仍有许多亟待解决的问题，比如非线性群体系统的稳定性分析等，在今后的工作中研究人员仍然需要给予更多的关注和研究。1.3本文主要研究内容本文重点研究吸引/排斥环境中的群集系统的稳定性，Breder9提出了一个由一个吸引项和一个排斥项组成的简单群集模型，其中引力是

15、恒定的，斥力与个体间的距离的平方成反比。文献11中提出了一个基于个体之间的吸引/排斥相互作用的群集聚合体的简单模型，并且表明了有限的时间内群体的稳定性。文献19提出了一个新的吸引/排斥函数，由于该函数更接近于群的性质，所以它在群体行为的建模方面有更好地效果，且该函数还表明斥力增加到无穷时群中的两个个体之间的距离减少到零，引力减少到零时距离增加到无穷。然而，在文献16中的吸引/排斥函数，当引力增加到无穷时群中的两个个体之间的距离增加到无穷，距离减少到零时斥力是有界的。且仿真结果数值的验证了，此群集在有限时间内收敛到平衡位置的任意小领域。本文在文献19中的吸引/排斥函数存在的基础上提出了一个各向同

16、性群集的简单模型，并且在二次分布函数下分析它的稳定性。然后，对该群集系统的运动行为在Matlab环境下进行数值仿真，来验证了文中群集系统的稳定性。2群集模型在本节中描述了一个群集模型，此模型中的个体是在吸引/排斥环境下运动的。取维欧几里得空间中由个个体（成员）组成的一个群集，不考虑每个个体的尺寸，将每个个体看作空间中的一点，群集的成员的空间位置由表示。假设所有个体之间保持同步运动和没有时间延迟，也就是说，所有的个体同时行动并且知道所有其他个体成员的确切位置。令表示一个吸引/排斥分布函数。然后，我们把每个个体的运动方程定义为， （1）其中代表个体的位置；表示个体之间相互的吸引/排斥函数且， （2

17、）其中和是正常数，且是由定义的欧几里得范数，它是用来表示群中两个个体之间的距离。当参数，时，函数如图1（图1是来自文献19）所示，其中横轴代表个体间的距离，纵轴代表个体间的相互作用力（相互作用力大于零表示斥力，相互作用力小于零表示引力）。从图1中我们很容易观察到，随着个体间距离的逐渐变大，两个个体从相互排斥（相互作用力大于零）到相互吸引（相互作用力小于零），且引力随着距离的变大而减小，图1中的星号代表引力和斥力平衡的位置。在更高维空间中（即，），该函数与在一维空间情况下完全一样，除了它作用于两个个体的位置连接线。同文献9中的函数一样，本文的函数构成一个人工的社会势能函数，支配着个体间的相互作用

18、，其中代表吸引关系，代表排斥关系。该函数给出了群集个体之间的远距离吸引（也就是说，占据支配地位）和近距离排斥（也就是说，占据支配地位）的关系，这与生物群体中的不同个体间的吸引/排斥是一致的，因此，它构成生物群体相互作用的一个粗略近似。图1 吸引/排斥函数令，即，可得或，其中距离是引力和斥力的平衡距离，即如果两个个体成员之间的距离为，则它们之间是没有相互作用的，因此，若，斥力占主导地位；若，引力占主导地位。同样令，可得距离是引力和斥力的总作用力开始减少的距离19，这是因为随着距离的增加，个体与其他成员有较少的接触。从此模型可以直观的看到，方程（1）中的每个个体成员的运动由三个方面决定，分别是吸引

19、其它个体成员由决定、排斥其它个体成员由决定和吸引到此分布函数的更有利区域由决定20。定义2.18 群集中心定义为 。 （3）因为，又由于，故得，对任意有，即吸引/排斥函数是奇函数。令，由文献19中的定理3.2可知，则群集中心的运动方程推导为所以，群集中心的运动方程为。 （4）上式意味着群集的中心沿着地形上各点所在位置的梯度的平均方向运动，然而，这并不意味着它会收敛到分布函数的全局最小点，此外，这也并不意味着关于个体运动的任何事情。事实上，群集能否收敛到分布函数的全局最小点取决于该分布函数的性质。在下面的章节中，我们将会分析处于二次型分布函数描述的环境中的群集的群体行为。3二次型吸引/排斥分布函

20、数为了简单起见，考虑群集在由 （5）定义的最简单的二次分布函数描述的环境中运动，其中和。这个分布函数在时有一个全局最小点，它在点处的梯度20为。 （6）把公式（6）代入由（4）式定义的的运动方程中得到， （7）同时代入由（1）式定义的个体的运动方程得，。在下面一节中，我们将会分析处于二次型分布函数描述的环境中的群集的稳定性。4稳定性分析定义4.1 群集中心与全局最小点的误差矢量定义为。 （8）Lyapunov函数定义21：设为相空间坐标原点的邻域中的连续函数，且是正定的，则函数称为Lyapunov函数。Lyapunov稳定性定理21：若对于动力学方程存在一个Lyapunov函数，且其全导数分别

21、是半负定、负定、正定，则方程的定点相应的是稳定的、渐近稳定的、不稳定的。根据Lyapunov稳定性定理证明定理4.1和定理4.2。定理4.1 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当时，有（也就是说，群集中心收敛到该分布函数的全局最小点）。证明：根据定义4.1，可以得到。 （9）选择下面的Lyapunov函数：，然后，对函数求导并把公式（9）代入得由于，所以。综上所述，有。 （10）依据Lyapunov稳定性定理，误差系统(8)渐进稳定，即当时，有。由定理4.1可知，对任意的有限数，在有限的时间内

22、满足，也就是说，在有限的时间内在的任意邻域内。根据文献22的结果，我们将会预料到在有限的时间内个体将会围绕在的附近而群集，然而，我们要证明它还需证明在有限时间内群集中个体将会收敛到群集中心。同文献8一样，我们把群集中的成员定义为自由成员，这意味着在群集中个体成员之间不存在斥力。定义4.223 若对时间有， （11）则群集中成员称为自由成员，其中，是群集中成员的集合。注意如果群中每个自由成员和其他个体成员之间的距离大于，则不会存在有排斥力的自由成员，群集中所有个体成员之间只有吸引力，且作用于它的总力将会是由所有其他个体成员施加的引力的总和。定义4.3 个体与群集中心的误差矢量定义为，。 （12）

23、定理4.2 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当对时间群中所有成员是自由成员时，群集中的个体成员收敛到群集中心。证明：注意成员的运动可以表述为。 （13）且根据定义4.3，可以得到所以，可得 （14）选择下面的Lyapunov函数：，其中代表成员和群中心之间距离的一半。然后，对函数求导并把公式（14）代入得 其中还用到了公式和，因为所有个体成员对时间是自由成员，由定义4.2知，对所有，且，有，可得，因此，有。又由于，故有，所以，。综上所述，有。 （15）依据Lyapunov稳定性定理，得到误差

24、系统(12)渐进稳定，即群集中的个体成员收敛到群集中心。注：这个定理很重要是因为若原始群是分散的它可以证明该群收敛的可能性，也就是说，当群体中的所有个体成员均是自由成员时，则所有成员将会聚集在群集中心的周围。通过观察定理4.1和定理4.2，有下面的结论。定理4.3 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当对时间群集中所有个体成员是自由成员时，群集中的个体成员收敛到该分布函数的全局最小点。二次型分布函数是相当简单的分布函数，现在，假设这个分布函数是一个二次型分布函数的总和，也就是说，考虑由定义的分布

25、函数。在点处的梯度被定义为，且定义和，得到，则该分布函数和上述的二次分布函数的式子是完全一样的。事实上，点也是这联合分布函数函数的全局最小点，因此，上面的结论可以直接延伸到这个情况而不需要任何修改。同上述的结论一样，当群集中的所有个体成员均是自由成员时，则群集中所有成员将会收敛到这个分布函数的全局最小点处，并且在处形成一个群集，也就是说，当群体中的所有个体成员均是自由成员时，该群集系统是稳定的。5数值仿真实验在本节中，为了阐明前述理论结果的有效性，对该群集系统的运动行为在Matlab环境下进行了数值仿真。为了便于仿真结果的可视化，在仿真实验中，我们就简单的取维空间，且群集系统包含了10个个体，

26、也即是说，。每个个体的动态依式（1）在2维欧式空间中运动，其中吸引/排斥函数采用式（2）的形式，二次分布函数采用式（5）的形式。系统参数确定如下：，。由于式（5）中的参数需满足的条件： ，所以可取。又由于式（5）中的是二次分布函数的全局最小点，且，所以可取点为（50，50）。对该群集模型使用Matlab数值方法进行仿真，得到图2。图2展示了当二次分布函数的参数时，群集的每个个体成员的运动路径，群集中的所有个体成员逐渐聚集和形成一个紧密结合的群，随着时间的增加每个个体成员最终稳定到二次分布函数的全局最小点处。图2 当二次分布函数的参数时，群集收敛路径个体成员在各自运动模型的基础上通过个体间的相互

27、作用，逐渐朝着二次分布函数的全局最小点聚合的趋势运动，最终形成了方向一致的群集运动且都收敛到点（50，50）处的效果。图2很好的反映了这一点，所以，仿真结果数值验证了文中所提出的群集系统的稳定性。结论将群体行为应用到社会行为控制的前提条件是此群集系统必须是稳定的，对具有外部环境的群集系统的稳定性分析具有实际意义。在本文中，通过假设自由成员在一个吸引/排斥分布函数中移动来建立这个模型，也就是说，在一个吸引/排斥分布函数存在的基础上提出了一个各向同性群集的简单模型并且在二次分布函数下分析它的稳定性，且仿真结果数值地验证了文中群集系统的稳定性。参考文献1 A. Okubo. Dynamical As

28、pects of Animal Grouping: Swarms, Schools, Flocks and HerdsJ. Advances Biophys, 1986, 22(1): 1-94.2 J. Krause, G. Ruxton. Living in GroupsD. Oxford University Press, Oxford, U K, 2002.3 I. D. Couzin, J. Krause. Self-organization and Collective Behavior in VertebratesC. Advances in the Study of Behav

29、ior, 2003, 32: 1-75.4 陈世明. 群集行为的建模与控制方法综述J. 计算机工程与科学, 2007, 29(7): 102-105.5 E. Boabeau, M. Dorigo, G. Theraulaz. Swarm Intelligence: From Natural to Artificial SystemsD. Oxford University Press, Oxford, U K, 1999.6 A. Czirok, T. Vicsek. Collective Behavior of Interacting Self-propelled ParticlesD.

30、Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2000, 281(1): 17-29.7 廖晓昕. 稳定性的数学理论及应用C. 武汉: 华中师范大学出版社, 2006: 19-547.8 K. Jin, P. Liang, G. Beni. Stability of Synchronized Distributed Control of Discrete Swarm StructuresC. Proc of IEEE Intol Conference Robotics Automation, San Diego, CA, 1994

31、:1033-1038. 9 C. M. Breder. Equations Descriptive of Fish Schools and other Animal AggregationsJ. Ecology, 1954, 35(3): 361-370.10 CHU Tian guang, WANG Long, MU Shu mei. Collective Behavior Analysis of an Anisotropic Swarm ModelC. Proc of the 16th Intol Symp on Mathematical Theory of Network and Sys

32、tems, 2004: 1-13.11 SHI Hong, WANG Long, CHU Tian guang. Swarming Behavior of Multi Agent SystemsJ. Journal of Control Theory and Applications, 2004, 2(4): 313-318.12 V. Gazi, K. M. Passino. Stability Analysis of SwarmsJ. IEEE Transactions on Automatic Control, 2003, 48(4): 692-697.13 V. Gazi. K. M.

33、 Passino. Stability Analysis of Social for Aging SwarmsJ. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, 2004, 34(1): 539557.14 A. J. Fax, R. M. Murray. Information Flow and Cooperative Control of Vehicle FormationsJ. IEEE Transaction on Automatic Control, 2004, 49(9): 1465-1476.15 陈世明, 方华京. 大规模智能群体的建模及稳定性分析J. 控制与决策, 2005, 20(5): 490-494.16 R. Olfatis. Flocking for Multi-agent Dynamic System: Algor