完整word版,不定积分解题方法及技巧总结,推荐文档

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循” 。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词： 不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样， 变幻莫测， 但并不是毫无解题规律可言。 本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。（这就不多说了 ）2.第一类换元法。（凑微分）设 f()具有原函数 F()。则f (x)'( x)dxf (x) d ( x) F ( x) C其中 ( x) 可微。用凑微分法求解不定积分

2、时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。 当实在看不清楚被积函数特点时， 不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例 2：例 1： ln( x1)ln x dxx( x 1)【解】 (ln( x1)ln x)'1111xx( x 1)xln( x 1)ln x dx(ln( x1) ln x)d (ln( x1) ln x)1 (ln( x 1) ln x) 2Cx( x1)2例 2：1 ln x2 dx(x ln x)【解】 ( x ln x)' 1ln x1ln x2 dxdx ln x1x(x1)2C( xln

3、 x)x ln x3. 第二类换元法：设 x(t ) 是单调、可导的函数，并且' (t)0.又设 f (t)' (t) 具有原函数，则有换元公式f (x) dxf (t)'(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。 常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：(1)a 2x 2： xa sin t； xa cost(2)x2a2 ： xa tan t； xa cot t； xasht(3)x 2a2： xa sect； xa csct； xacht(4)naxnbtb： ax(5)naxb naxbtcx：cxdd(6)当被积函数含有 xm ax2bxc，有时

4、倒代换 x1 也奏效。t（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。sinxdxtx 2 t sin tdt2(tcostcostdt )tt2sintC2xcosx2sinxC2 cos但当根号内出现高次幂时可能保留根号，dxx1t11 dtxx 121t11t 2t 121t6dtt 5dttt1121t 1211dt 661t 121 arcsinx6c6（ 7）当根号内出现单项式或多项式时一般用 t代去根号。sinxdxtx 2 t sin tdt2(tcostcostdt )2t cost2sin tC2 x cos x2sinxC但当根号内出现高次幂时可能保留根号，dxx

5、1t11dtx x 121t1t 2t 1211t 6dtt5tt 12dt11t 1211dt 661t 121arcsinx6c64. 分部积分法 .公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、 时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧 ！例 3： x3 arccosxdx1 x2【解】观察被积函数，选取变换tarccosx ,则x3 arccosxdxcos3 t t(sin t)dtt cos3 tdt1 x 2sin tt(sin 2t1)d sin ttd (1 sin 3 tsin

6、 t)31 t sin3t sin t( 1 sin3 tsint )dt331 t sin3t sin t( 1 sin2 t1)d cost331t sin3t sin t2cost1cos3 tC3391 x32 x1 ( x22)1x2 arccosx C933例 4： arcsin2 xdx【解】x x2 arcsin x1dxarcsin2 xdx x sin 2x 21x arcsin x2 arcsin xd 1x2x arcsin x21x2arcsin x1x22dx1x2x arcsin x21x2arcsin x2xC上面的例 3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数

7、的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、 的选取有下面简单的规律：(1)，ax,sin ax, cosaxPm( x)e(2)，Pm (x)ln x, arctanx,arcsin x(3)eax，cosx, sinx(3) 会出现循环，注意 ， 选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：（ lnxarcsinx ）Pm(x（ axsinx)但是，当ln x，arcsin x时，是无法求解的。对于（ 3）情况，有两个通用公式：I 1eaxsin bxdxeax(a sin bxb cosbx)Ca2b2I 2axcosbxdxeax( a cosbxb sin

8、bx )Cea2b2（分部积分法用处多多 在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数1dx 上下同乘 sinx 变形为2 xcos 2sinx1dxcos xd cos xsin x cos x1 cos 2 x 1 cos x令 u cos x ，则为udu(1111 u2 1 u4 1 u)du2 1 u 24 1 u111cos xc2 1 cos xln1cos x41lntan 2x1sec2xc22422.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意 sin 2 x cos 2 x

9、1 的使用。sinx cos xdx1sin xcos x 21 dxsin xcos x2sin xcos x1sin xcos xdx/4)22 sin( x1sin xcos x21ln tanx8c222三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3. 函数的降次形如sin m x cos n xdx的 积分（ m，n 为非负整数）当 m 为奇数时，可令 ucos x ，于是mnm 1nm 1sinx cosxdxsinx cosxd cos x1u2n2u du ，转化为多项式的积分当 n 为奇数时，可令 u

10、sin x ，于是umnmn 1m21sinx cosxdxsinx cosxd sin xu1u2du ，同样转化为多项式的积分。当 m，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：sin x cos x12x ,sin2sin2x1cos 2,x2cos 2x1cos 2x,2不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。 形如tan n xdx 和cot n xdx 的积分（ n 为正整数）令 u tanxdx ，则 xarctan u ， dxdu2 ，从而u1tannxdxu ndu,1 u 2已转化成有理函数的积分。类似地，cot n xdx 可通过代换 ucot x 转为成有理

11、函数的积分。形如 sec nxdx 和 csc m xdx 的积分（ n 为正整数）当 n 为偶数时，若令 utan x ，则 xarctanu, dxdu，于是u 21sec n xdxnn1n11 tan 2x 2 dx1u 2 22 du1u2 2du1u已转化成多项式的积分。类似地，csc n xdx 可通过代换 ucotx 转化成有理函数的积分。当 n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有 x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。x sin 2 xdxx1cos 2xdx1 x 21x cos 2xdx2421x 21xd sin2x1 x 21x sin2x1sin 2x

12、dx444441x 21x sin 2x1cos 2xc4485. 几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数 P( x) 先化为多项式和真分式P * ( x) 之和，再把P * ( x) 分解为若干Q( x)Q( x)Q(x)个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现I ndxx2 ) n( a2时，记得用递推公式：x2n 3I na2 ) n 1I n 1 ）2a 2 (n 1)( x22a 2 (n 1)1.有理真分式化为部分分式之和求解简单的有理真分式的拆分1dx1x 3dxx 1x 4x1x 4ln x1 ln1x 4c4注意分子和分母在形式上的联系dxx 6

13、dxtx 7dtx 3 x 7x 7 3 x 7t 3 t111dtln tln3t3t3t33cln x 7ln3x 7c3此类题目一般还有另外一种题型：x1dx12x2dxx 22x2x 22x551 lnx 22x5c22.注意分母（分子）有理化的使用dx2x32x 1131 23C23 2322x32x1412xx12例 5： x6x44x22dxx3 (x21)2【解】x6x44x22x6x44x22x4x22x3 ( x2 1)2x3 ( x21) 2x3 ( x21) 2x 2 1 x3 ( x2 1)2x2xdx1 ln( x21)C124x22dx4x22xdx2x 21dx

14、2x2x3( x21)24( x21)2x4( x21)2x21d(1) 21) 22d2 (1)22 (111) 2) d111C1C2(x2 ( x 21)故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分2tan xsin x2xtan 21万能公式：21tan2xcos x2tan2x12P(sin x, cos x)dx可用变换 ttan x 化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q (sin x, cos x)2应尽量避免。对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成sin x 或 cosx 。再用待定系数cosx sin xA(a cosxbsin x)B(a cos'xb

15、sin' x) 来做。（注：没举例题并不代表不重要 ）a cosxbsin x（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x 时，可令 x tan2 t ；同时出现x和1x 时，可令 xsin 2 t ；同时出现1x 2 和 arcsinx 时，可令 x=sint ；同时出现1x2 和 arccosx 时，可令 x=cost 等等。（4）善于利用 e x ，因为其求导后不变。x1x dxexx1dx1x d xexx 1xexx1xexx1xeexetxex11dtlntctt1tlnxexc1 xex这道题目中首先会注意到x

16、e x ，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为 e xxe x 与分母差 ex ，另外因为 e x 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以 e x 。（ 5）某些题正的不行倒着来ln sin x dxsinx1u2lnu1dusin 2xu11u 2u 2ulnudulnud u 21u 21u21 lnuu 21uduu 21 duusec ytanysec ytan ydyusecytan 2ydytan yyc原式sin xd cot xcot x ln sin xcot xd ln sin xcot x ln sin xcos x cos x dxsinx sin xcot x

17、ln sin xcot 2xdxcot x ln sin xcot xx c这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用 usin x ，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当usin x 这类一般的换元法行不通时尝试下1sin x 。这种思路类似于证明u题中的反证法。（ 6）注意复杂部分求导后的导数lnx2dxtt2t dt2ln x2x ln x 12xlnxt 12t e注意到 :y11 6t 2et2t 3ett2t3tet2t3ty 2et2t3tey 312t 2ett122ttet2y 1 - y 23y 3t1 2t2ett2dt1 6t 2et2t 3ett2t 3et31 2t 2ett1 2 2 tt23 tdtt2 3 t dt12 2 t dtt et et ett eln t2t 3ett3 ln tcln ln x2 ln x3lnx3 lnln xceln x本题把被积函